En matemáticas , una función entre espacios topológicos se denomina propia si las imágenes inversas de subconjuntos compactos son compactas. En geometría algebraica , el concepto análogo se llama morfismo propio .
Definición
Hay varias definiciones en competencia de una " función adecuada ". Algunos autores llaman a una funciónentre dos espacios topológicos adecuada si el preimagen de cada compacto conjunto de es compacto en Otros autores llaman mapa propiamente dicha si es continua y cerrada con fibras compactas ; es decir, si se trata de un mapa cerrado continuo y la preimagen de cada punto enes compacto . Las dos definiciones son equivalentes sies localmente compacto y Hausdorff .
Prueba parcial de equivalencia |
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Dejar ser un mapa cerrado, tal que es compacto (en X) para todos Dejar ser un subconjunto compacto de Queda por demostrar que es compacto. Dejar ser una tapa abierta de Entonces para todos esta es también una tapa abierta de Dado que se supone que este último es compacto, tiene una subcubierta finita. En otras palabras, para cada existe un subconjunto finito tal que El conjunto está cerrado en y su imagen debajo está cerrado en porque es un mapa cerrado. De ahí el conjunto está abierto en Resulta que contiene el punto Ahora y porqué se supone que es compacto, hay un número finito de puntos tal que Además, el conjunto es una unión finita de conjuntos finitos, que hace un conjunto finito. Ahora se sigue que y hemos encontrado una subcubierta finita de que completa la prueba. |
Si es Hausdorff y es Hausdorff localmente compacto, entonces apropiado es equivalente a universalmente cerrado . Un mapa está cerrado universalmente si para cualquier espacio topológico el mapa está cerrado. En el caso de que es Hausdorff, esto equivale a requerir que para cualquier mapa el retroceso ser cerrado, como se desprende del hecho de que es un subespacio cerrado de
Una definición equivalente, posiblemente más intuitiva cuando y son espacios métricos es el siguiente: decimos una secuencia infinita de puntos en un espacio topológico se escapa al infinito si, por cada conjunto compacto solo un número finito de puntos estan en Luego un mapa continuo es apropiado si y solo si para cada secuencia de puntos que se escapa al infinito en la secuencia escapa al infinito en
Propiedades
- Cada mapa continuo desde un espacio compacto a un espacio de Hausdorff es apropiado y cerrado .
- Cada mapa sobreyectivo adecuado es un mapa de cobertura compacto.
- Un mapa se llama una cubierta compacta si para cada subconjunto compacto existe un subconjunto compacto tal que
- Un espacio topológico es compacto si y solo si el mapa de ese espacio a un solo punto es adecuado.
- Si es un mapa continuo adecuado y es un espacio de Hausdorff generado de forma compacta (esto incluye espacios de Hausdorff que son primero contables o localmente compactos ), luegoestá cerrado. [1]
Generalización
Es posible generalizar la noción de mapas adecuados de espacios topológicos a lugares y topoi , ver ( Johnstone 2002 ).
Ver también
Referencias
- Bourbaki, Nicolas (1998). Topología general. Capítulos 5–10 . Elementos de las matemáticas. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-64563-4. Señor 1726872 .
- Johnstone, Peter (2002). Bocetos de un elefante: un compendio de teoría topos . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 0-19-851598-7., esp. sección C3.2 "Mapas adecuados"
- Brown, Ronald (2006). Topología y grupoides . Carolina del Norte: Booksurge . ISBN 1-4196-2722-8., esp. pag. 90 "Mapas adecuados" y los ejercicios de la sección 3.6.
- Brown, Ronald (1973). "Mapas secuencialmente adecuados y una compactación secuencial". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . 2. 7 : 515-522.
- Lee, John M. (2003). Introducción a los colectores lisos . Nueva York: Springer . doi : 10.1007 / 978-0-387-21752-9 . ISBN 978-0-387-95448-6. (Textos de Posgrado en Matemáticas; vol 218).
- ^ Palais, Richard S. (1970). "Cuando se cierran los mapas adecuados" (PDF) . Actas de la American Mathematical Society . 24 : 835–836. doi : 10.1090 / s0002-9939-1970-0254818-x .