Número palindrómico

Un número palindrómico (también conocido como palíndromo numérico o palíndromo numérico ) es un número (como 16461) que permanece igual cuando sus dígitos se invierten. En otras palabras, tiene simetría de reflexión a través de un eje vertical. El término palindrómico se deriva de palíndromo , que se refiere a una palabra (como rotor o coche de carreras ) cuya ortografía no cambia cuando sus letras se invierten. Los primeros 30 números palindrómicos (en decimal ) son:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 202,… (secuencia A002113 en la OEIS ).

Los números palindrómicos reciben la mayor atención en el ámbito de las matemáticas recreativas . Un problema típico pide números que posean una determinada propiedad y sean palindrómicos. Por ejemplo:

Los primos palindrómicos son 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151,… (secuencia A002385 en la OEIS ).
Los números cuadrados palindrómicos son 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321,… (secuencia A002779 en la OEIS ).

Es obvio que en cualquier base hay infinitos números palindrómicos, ya que en cualquier base la secuencia infinita de números escritos (en esa base) como 101, 1001, 10001, 100001, etc. consta únicamente de números palindrómicos.

Definición formal [ editar ]

Aunque los números palindrómicos se consideran con mayor frecuencia en el sistema decimal , el concepto de palindromicidad se puede aplicar a los números naturales en cualquier sistema numérico . Considere un número n > 0 en base b ≥ 2, donde está escrito en notación estándar con k +1 dígitos a _i como:

{\ Displaystyle n = \ sum _ {i = 0} ^ {k} a_ {i} b ^ {i}}

con, como de costumbre, 0 ≤ a _i < b para todo i y a _k ≠ 0. Entonces n es palindrómico si y solo si a _i = a _{k - i} para todo i . El cero se escribe 0 en cualquier base y también es palindrómico por definición.

Números palindrómicos decimales [ editar ]

Todos los números en base 10 (y de hecho en cualquier base) con un dígito son palindrómicos, por lo que hay diez números palindrómicos decimales con un dígito:

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Hay 9 números palindrómicos con dos dígitos:

{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.

Hay 90 números palindrómicos con tres dígitos (usando la regla del producto : 9 opciones para el primer dígito, que también determina el tercer dígito, multiplicado por 10 opciones para el segundo dígito):

{101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191,…, 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}

También hay 90 números palindrómicos con cuatro dígitos (nuevamente, 9 opciones para el primer dígito multiplicado por diez opciones para el segundo dígito. Los otros dos dígitos están determinados por la elección de los dos primeros):

{1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991,…, 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999},

por lo que hay 199 números palindrómicos por debajo de 10 ⁴ .

Por debajo de 10 ⁵ hay 1099 números palindrómicos y para otros exponentes de 10 ⁿ tenemos: 1999, 10999, 19999, 109999, 199999, 1099999,… (secuencia A070199 en la OEIS ). El número de números palindrómicos que tienen alguna otra propiedad se enumeran a continuación:

	10 ¹	10 ²	10 ³	10 ⁴	10 ⁵	10 ⁶	10 ⁷	10 ⁸	10 ⁹	10 ¹⁰
n natural	10	19	109	199	1099	1999	10999	19999	109999	199999
n incluso	5	9	49	89	489	889	4889	8889	48889	88889
n extraño	5	10	60	110	610	1110	6110	11110	61110	111110
n cuadrado	4		7		14	15	20		31
n cubo	3		4	5			7			8
n prime	4	5	20		113		781		5953
n cuadrado libre	6	12	67	120	675	1200	6821	12160	+	+
n no libre de cuadrados ( μ ( n ) = 0)	4	7	42	79	424	799	4178	7839	+	+
n cuadrado con raíz prima ^[1]	2	3		5
n con un número par de factores primos distintos (μ ( n ) = 1)	2	6	35	56	324	583	3383	6093	+	+
n con un número impar de factores primos distintos (μ ( n ) = - 1)	4	6	32	64	351	617	3438	6067	+	+
n par con un número impar de factores primos	1	2	9	21	100	180	1010	6067	+	+
n par con un número impar de factores primos distintos	3	4	21	49	268	482	2486	4452	+	+
n impar con un número impar de factores primos	3	4	23	43	251	437	2428	4315	+	+
n impar con un número impar de factores primos distintos	4	5	28	56	317	566	3070	5607	+	+
n incluso sin cuadrados con un número par de factores primos (distintos)	1	2	11	15	98	171	991	1782	+	+
n cuadrado impar libre con un número par de factores primos (distintos)	1	4	24	41	226	412	2392	4221	+	+
n impar con exactamente 2 factores primos	1	4	25	39	205	303	1768	2403	+	+
n incluso con exactamente 2 factores primos	2	3	11		64		413		+	+
n incluso con exactamente 3 factores primos	1	3	14	24	122	179	1056	1400	+	+
n incluso con exactamente 3 factores primos distintos	0	1	18	44	250	390	2001	2814	+	+
n impar con exactamente 3 factores primos	0	1	12	34	173	348	1762	3292	+	+
n Número de Carmichael	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1
n para el cual σ ( n ) es palindrómico	6	10	47	114	688	1417	5683	+	+	+

Poderes perfectos [ editar ]

Hay muchas potencias palindrómicas perfectas n ^k , donde n es un número natural y k es 2, 3 o 4.

Cuadrados palindrómicos : 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, 14641, 40804, 44944, ... (secuencia A002779 en la OEIS )
Cubos palindrómicos : 0, 1, 8, 343, 1331, 1030301, 1367631, 1003003001, ... (secuencia A002781 en la OEIS )
Cuartas potencias palindrómicas : 0, 1, 14641, 104060401, 1004006004001, ... (secuencia A186080 en la OEIS )

Los primeros nueve términos de la secuencia 1 ² , 11 ² , 111 ² , 1111 ² , ... forman los palíndromos 1, 121, 12321, 1234321, ... (secuencia A002477 en la OEIS )

El único número no palindrómico conocido cuyo cubo es un palíndromo es 2201, y es una conjetura que la cuarta raíz de todas las cuartas potencias del palíndromo es un palíndromo con 100000 ... 000001 (10 ⁿ + 1).

GJ Simmons conjeturó que no hay palíndromos de la forma n ^k para k > 4 (y n > 1). ^[2]

Otras bases [ editar ]

Los números palindrómicos se pueden considerar en sistemas numéricos distintos al decimal . Por ejemplo, los números palindrómicos binarios son:

0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001, ... (secuencia A057148 en la OEIS )

o en decimal:

0, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, ... (secuencia A006995 en la OEIS )

Los primos de Fermat y los primos de Mersenne forman un subconjunto de los primos palindrómicos binarios.

Cualquier número es palindrómico en todas las bases con (trivialmente, porque entonces es un número de un solo dígito), y también en base (porque es entonces ). Incluso excluyendo los casos en los que el número es menor que la base, la mayoría de los números son palindrómicos en más de una base. Por ejemplo, , . Un número que no es palindrómico en todas las bases donde se llama un número estrictamente no palindrómico . ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle b}$ ${\ Displaystyle b> n}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle n-1}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle 11_ {n-1}}$ ${\ Displaystyle 1221_ {4} = 151_ {8} = 77_ {14} = 55_ {20} = 33_ {34} = 11_ {104}}$ ${\ Displaystyle 1991_ {10} = 7C7_ {16}}$ ${\ Displaystyle b}$ ${\ Displaystyle 1 <b <n-1}$

En base 7 , debido a que 101 ₇ es dos veces un cuadrado perfecto (5 ² = 34 ₇ ), varios de sus múltiplos son cuadrados palindrómicos:

13 ²	=	202
26 ²	=	1111
55 ²	=	4444
101 ²	=	10201
143 ²	=	24442

En base 18 , algunas potencias de siete son palindrómicas:

7 ⁰	=	1
7 ¹	=	7
7 ³	=	111
7 ⁴	=	777
7 ⁶	=	12321
7 ⁹	=	1367631

Y en base 24, las primeras ocho potencias de cinco también son palindrómicas:

5 ⁰	=	1
5 ¹	=	5
5 ²	=	11
5 ³	=	55
5 ⁴	=	121
5 ⁵	=	5A5
5 ⁶	=	1331
5 ⁷	=	5FF5
5 ⁸	=	14641
5 ^A	=	15AA51
5 ^C	=	16FLF61

Un número palindrómico en la base b que se compone de secuencias palindrómicas de longitud l dispuestas en un orden palindrómico (como 10111010111101 ₂ ) es palindrómico en la base b ^l (por ejemplo, el número binario anterior es palindrómico en la base 2 ³ = 8 (es igual a 57275 ₈ ))

El cuadrado de 133 ₁₀ en la base 30 es 4D ₃₀² = KKK ₃₀ = 3R ₃₆² = DPD ₃₆ . En la base 24 hay más cuadrados palindrómicos debido a que 5 ² = 11. Y los cuadrados de todos los números en la forma 1666 ... 6667 (con cualquier número de 6 'entre el 1 y el 7) son palindrómicos. 167 ² = 1E5E1, 1667 ² = 1E3K3E1, 16667 ² = 1E3H8H3E1.

Proceso de Lychrel [ editar ]

Los números no palindrómicos se pueden emparejar con los palindrómicos mediante una serie de operaciones. Primero, el número no palindrómico se invierte y el resultado se suma al número original. Si el resultado no es un número palindrómico, se repite hasta que dé un número palindrómico. Este número se llama "palíndromo retardado".

No se sabe si todos los números no palindrómicos se pueden emparejar con números palindrómicos de esta manera. Si bien no se ha demostrado que ningún número no esté emparejado, muchos no parecen estarlo. Por ejemplo, 196 no produce un palíndromo incluso después de 700.000.000 de iteraciones. Cualquier número que nunca se vuelva palindrómico de esta manera se conoce como número de Lychrel .

El 24 de enero de 2017, el número 1.999.291.987.030.606.810 se publicó en la OEIS como A281509 y se anunció "El palíndromo más grande conocido más retrasado". La secuencia de 125 palíndromos más retardados de 261 pasos que preceden a 1.999.291.987.030.606.810 y no informada antes se publicó por separado como A281508 .

Suma de los recíprocos [ editar ]

La suma de los recíprocos de los números palindrómicos es una serie convergente, cuyo valor es aproximadamente 3.37028 ... (secuencia A118031 en la OEIS ).

Números de Scheherazade [ editar ]

Los números de Scheherazade son un conjunto de números identificados por Buckminster Fuller en su libro Synergetics . ^[3] Fuller no da una definición formal para este término, pero a partir de los ejemplos que da, se puede entender que son aquellos números que contienen un factor del primorial n #, donde n ≥13 y es el factor primo más grande en el número. Fuller llamó a estos números números de Scheherazade porque deben tener un factor de 1001. Scheherazade es la narradora de Las mil y una noches , y cuenta una nueva historia cada noche para retrasar su ejecución. Dado que ndebe ser al menos 13, el primorial debe ser al menos 1 · 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13, y 7 × 11 × 13 = 1001. Fuller también se refiere a las potencias de 1001 como números de Scheherazade. El primorial más pequeño que contiene el número de Scheherazade es 13 # = 30,030.

Fuller señaló que algunos de estos números son palindrómicos por grupos de dígitos. Por ejemplo, 17 # = 510,510 muestra una simetría de grupos de tres dígitos. Fuller llamó a tales números Scheherazade Sublimly Rememberable Comprehensive Dividends , o números SSRCD. Fuller señala que 1001 elevado a una potencia no solo produce números sublimemente recordables que son palindrómicos en grupos de tres dígitos, sino que también los valores de los grupos son los coeficientes binomiales . Por ejemplo,

{\ displaystyle (1001) ^ {6} = 1,006,015,020,015,006,001}

Esta secuencia falla en (1001) ¹³ porque hay un dígito de acarreo en el grupo de la izquierda en algunos grupos. Fuller sugiere escribir estos efectos secundarios en una línea separada. Si se hace esto, utilizando más líneas de desbordamiento según sea necesario, la simetría se conserva indefinidamente para cualquier potencia. ^[4] Muchos otros números de Scheherazade muestran simetrías similares cuando se expresan de esta manera. ^[5]

Sumas de palíndromos [ editar ]

En 2018, se publicó un artículo que demuestra que cada entero positivo se puede escribir como la suma de tres números palindrómicos en cada sistema numérico con base 5 o más. ^[6]

Ver también [ editar ]

Número de Lychrel
Prima palindrómica
Palíndromo
Número estrictamente no palindrómico

Notas [ editar ]

^ (secuencia A065379 en el OEIS ) El siguiente ejemplo es de 19 dígitos: 900075181570009.
^ Murray S. Klamkin (1990), Problemas en matemáticas aplicadas: selecciones de la revisión de SIAM , p. 520 .
^ R. Buckminster Fuller, con EJ Applewhite, Sinergética: Exploraciones en la geometría del pensamiento , Macmillan, 1982 ISBN 0-02-065320-4 .
^ Fuller, págs. 773-774
^ Fuller, págs. 777-780
^ Cilleruelo, Javier; Luca, Florian; Baxter, Lewis (19 de febrero de 2016). "Cada entero positivo es una suma de tres palíndromos" . Matemáticas de la Computación . arXiv : 1602.06208 .( preimpresión arXiv )

Referencias [ editar ]

Malcolm E. Lines: Un número para sus pensamientos: Hechos y especulaciones sobre el número desde Euclid hasta las últimas computadoras : CRC Press 1986, ISBN 0-85274-495-1 , S. 61 ( Versión limitada en línea (Google Books) )

Enlaces externos [ editar ]

Weisstein, Eric W. "Número palindrómico" . MathWorld .
Jason Doucette - 196 Palindrome Quest / Número palindrómico más retrasado
196 y otros números de Lychrel
Sobre números palindrómicos generales en MathPages
Números palindrómicos hasta 100.000 de Ask Dr. Math
P. De Geest, cubos palindrómicos
Yutaka Nishiyama , Palíndromos numéricos y el problema 196 , IJPAM, Vol.80, No.3, 375-384, 2012.

[1] (secuencia A065379 en el OEIS ) El siguiente ejemplo es de 19 dígitos: 900075181570009.

[2] Murray S. Klamkin (1990), Problemas en matemáticas aplicadas: selecciones de la revisión de SIAM , p. 520 .

[3] R. Buckminster Fuller, con EJ Applewhite, Sinergética: Exploraciones en la geometría del pensamiento , Macmillan, 1982 ISBN 0-02-065320-4 .

[4] Fuller, págs. 773-774

[5] Fuller, págs. 777-780

[6] Cilleruelo, Javier; Luca, Florian; Baxter, Lewis (19 de febrero de 2016). "Cada entero positivo es una suma de tres palíndromos" . Matemáticas de la Computación . arXiv : 1602.06208 .( preimpresión arXiv )