En matemáticas, el teorema del centroide de Pappus (también conocido como teorema de Guldinus , teorema de Pappus-Guldinus o teorema de Pappus ) es uno de los dos teoremas relacionados que tratan con las áreas de superficie y los volúmenes de superficies y sólidos de revolución.
Los teoremas se atribuyen a Pappus de Alejandría [a] y Paul Guldin . [b] La declaración de Pappus de este teorema aparece en la impresión por primera vez en 1659, pero fue conocida antes, por Kepler en 1615 y Guldin en 1640. [4]
El primer teorema
El primer teorema establece que el área de la superficie A de una superficie de revolución generada al girar una curva plana C alrededor de un eje externo a C y en el mismo plano es igual al producto de la longitud del arco s de C y la distancia d recorrida por el centroide geométrico de C :
Por ejemplo, el área de la superficie del toro con radio menor r y radio mayor R es
El segundo teorema
El segundo teorema de que el volumen V de un sólido de revolución generado por la rotación de una figura plana F alrededor de un eje externo es igual al producto del área A de F y la distancia d recorrida por el centroide geométrico de F . (El centroide de F suele ser diferente del centroide de su curva límite C ). Es decir:
Por ejemplo, el volumen del toro con radio menor r y radio mayor R es
Este caso especial fue derivado por Johannes Kepler usando infinitesimales. [C]
Prueba
Dejar ser el área de , el sólido de la revolución de , y el volumen de . Suponer comienza en el -plano y gira alrededor del -eje. La distancia del centroide de desde el -eje es su -coordinar
y el teorema establece que
Para mostrar esto, dejemos estar en el plano xz , parametrizado por por , una región de parámetros. Desde es esencialmente un mapeo de a , El área de viene dada por la fórmula de cambio de variables :
dónde es el determinante de la matriz jacobiana del cambio de variables.
El solido tiene la parametrización toroidal por en la región de parámetros ; y su volumen es
En expansión,
La última igualdad se cumple porque el eje de rotación debe ser externo a , significado . Ahora,
por cambio de variables.
Generalizaciones
Los teoremas se pueden generalizar para curvas y formas arbitrarias, en condiciones apropiadas.
Goodman y Goodman [6] generalizan el segundo teorema de la siguiente manera. Si la cifra F se mueve a través del espacio de manera que permanece perpendicular a la curva L trazada por el centro de gravedad de F , entonces se barre un sólido de volumen V = Ad , donde A es el área de F y d es la longitud de L . (Esto supone que el sólido no se interseca a sí mismo.) En particular, F puede rotar alrededor de su centroide durante el movimiento.
Sin embargo, la generalización correspondiente de la primera teorema sólo es cierto si la curva L trazada por las mentiras centroide en un plano perpendicular al plano de C .
En n dimensiones
En general, se puede generar una sólido dimensional girando un sólido dimensional alrededor de un esfera dimensional. Esto se llama-sólido de revolución de especies . Deja el-th centroide de ser definido por
Entonces los teoremas de Pappus se generalizan a: [7]
Volumen de -sólido de revolución de especies
= (Volumen de generación -sólido) (Superficie de -esfera trazada por el -th centroide del sólido generador)
y
Superficie de -sólido de revolución de especies
= (Área de superficie de generación -sólido) (Superficie de -esfera trazada por el -th centroide del sólido generador)
Los teoremas originales son el caso con .
Notas al pie
- ^ Ver: [1]
Aquellos que miran estas cosas apenas se exaltan, como lo fueron los antiguos y todos los que escribieron las cosas mejores. Cuando veo a todos ocupados con los rudimentos de las matemáticas y el material de investigación que la naturaleza nos presenta, me avergüenzo; Por mi parte, he probado cosas que son mucho más valiosas y ofrecen mucha aplicación. Para no terminar mi discurso declamando esto con las manos vacías, daré esto para beneficio de los lectores:
La relación de sólidos de revolución completa se compone de (eso) de las figuras giradas y (eso) de las líneas rectas trazadas de manera similar a los ejes desde los centros de gravedad en ellas; el de (sólidos de) (revolución) incompleta de (ese) de las figuras giradas y (ese) de los arcos que describen los centros de gravedad en ellos, donde la (relación) de estos arcos es, por supuesto, (compuesto) de (eso) de las (líneas) dibujadas y (eso) de los ángulos de revolución que contienen sus extremos, si estas (líneas) también están en (ángulos rectos) a los ejes. Estas proposiciones, que son prácticamente una sola, contienen muchos teoremas de todo tipo, para curvas y superficies y sólidos, todos a la vez y por una demostración, cosas aún no demostradas y cosas ya demostradas, como las del libro duodécimo de la Primera. Elementos .
- Pappus, Colección , Libro VII, ¶41‒42 - ^ "Quantitas rotanda en viam rotacionis ducta, producto Potestatem Rotundam uno gradu altiorem, Potestate sive Quantitate rotata". [2] Es decir: "Una cantidad en rotación, multiplicada por su trayectoria circular, crea una potencia circular de mayor grado, potencia o cantidad en rotación". [3]
- ↑ Teorema XVIII de la Nova Stereometria Doliorum Vinariorum de Kepler(1615): [5] "Omnis annulus sectionis circularis vel ellipticae est aequalis cylindro, cujus altitudo aequat longitudinem circumferentiae, quam centrum figurae circumductae annsit descripsit, base vero est cum sectione annsit". Traducción: [3] "Cualquier anillo cuya sección transversal sea circular o elíptica es igual a un cilindro cuya altura es igual a la longitud de la circunferencia cubierta por el centro de la figura durante su movimiento circular, y cuya base es igual a la sección de el anillo."
Referencias
- ^ Pappus de Alejandría (1986) [c. 320]. Jones, Alexander (ed.). Libro 7 de la colección. Fuentes en la Historia de las Matemáticas y las Ciencias Físicas. 8 . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-4908-5 . ISBN 978-1-4612-4908-5.
- ^ Guldin, Paul (1640). De centro gravitatis trium specierum quanitatis continuae . 2 . Viena: Gelbhaar, Cosmerovius. pag. 147 . Consultado el 4 de agosto de 2016 .
- ^ a b Radelet-de Grave, Patricia (19 de mayo de 2015). "Kepler, Cavalieri, Guldin. Polémicas con los difuntos" . En Jullien, Vincent (ed.). Los indivisibles del siglo XVII revisitados . Redes científicas. Estudios históricos. 49 . Basilea: Birkhäuser. pag. 68. doi : 10.1007 / 978-3-319-00131-9 . ISBN 978-3-3190-0131-9. ISSN 1421-6329 . Consultado el 4 de agosto de 2016 .
- ^ Ivor Bulmer-Thomas. "Teorema de Guldin - ¿O de Pappus?" Isis, vol. 75, no. 2, 1984, págs. 348–352. JSTOR, www.jstor.org/stable/231832.
- ^ Kepler, Johannes (1870) [1615]. "Nova Stereometria Doliorum Vinariorum" . En Frisch, Christian (ed.). Joannis Kepleri astronomi opera omnia . 4 . Frankfurt: Heyder y Zimmer. pag. 582 . Consultado el 4 de agosto de 2016 .
- ^ Goodman, AW; Goodman, G. (1969). "Generalizaciones de los teoremas de Pappus". The American Mathematical Monthly . The American Mathematical Monthly. 76 (4): 355–366. doi : 10.1080 / 00029890.1969.12000217 . JSTOR 2316426 .
- ^ McLaren-Young-Sommerville, Duncan (1958). "8.17 Extensiones del teorema de Pappus". Introducción a la geometría de n dimensiones . Nueva York, NY: Dover.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Teorema del centroide de Pappus" . MathWorld .