El directo en cuadratura de cero ( DQZ o DQ0 [1] o DQO , [2] a veces minúsculas) transformación o cero directo cuadratura [3] ( 0DQ o ODQ , a veces minúsculas) transformación es un tensor que hace girar el marco de referencia de un vector de tres elementos o una matriz de tres por tres elementos en un esfuerzo por simplificar el análisis. La transformada DQZ es el producto de la transformada de Clarke y la transformada de Park, propuesta por primera vez en 1929 por Robert H. Park . [4]
La transformada DQZ se utiliza a menudo en el contexto de la ingeniería eléctrica con circuitos trifásicos . La transformación se puede utilizar para rotar los marcos de referencia de las formas de onda de CA de modo que se conviertan en señales de CC . A continuación, se pueden realizar cálculos simplificados en estas cantidades de CC antes de realizar la transformada inversa para recuperar los resultados reales de CA trifásica. Como ejemplo, la transformada DQZ se utiliza a menudo para simplificar el análisis de máquinas síncronas trifásicas o para simplificar los cálculos para el control de inversores trifásicos . En el análisis de máquinas síncronas trifásicas, la transformación transfiere cantidades de estator y rotor trifásicas en un único marco de referencia giratorio para eliminar el efecto de las inductancias variables en el tiempo y transformar el sistema en un sistema lineal invariante en el tiempo.
Introducción
La transformada DQZ está hecha de las matrices de transformación de Park y Clarke. La transformada de Clarke (llamada así por Edith Clarke ) convierte vectores en el marco de referencia ABC en el marco de referencia αβγ . El valor principal de la transformada de Clarke es aislar la parte del vector de referencia ABC que es común a los tres componentes del vector; aísla el componente de modo común (es decir, el componente Z ). La matriz de transformación de Clarke, invariante en potencia, diestra y de escala uniforme es
- .
Para convertir un vector de columna con referencia ABC al marco de referencia XYZ , el vector debe multiplicarse previamente por la matriz de transformación de Clarke:
- .
Y, para volver a convertir de un vector de columna con referencia XYZ al marco de referencia ABC , el vector debe multiplicarse previamente por la matriz de transformación de Clarke inversa:
- .
La transformada Park (llamada así por Robert H. Park ) convierte vectores en el marco de referencia XYZ en el marco de referencia DQZ . El valor principal de la transformada de Park es rotar el marco de referencia de un vector a una frecuencia arbitraria. La transformada de Park cambia el espectro de frecuencia de la señal de manera que la frecuencia arbitraria ahora aparece como "dc" y la antigua dc aparece como el negativo de la frecuencia arbitraria. La matriz de transformación de Park es
- ,
donde θ es el ángulo instantáneo de una frecuencia ω arbitraria . Para convertir un vector con referencia XYZ al marco de referencia DQZ , la señal del vector de columna debe multiplicarse previamente por la matriz de transformación Park:
- .
Y, para volver a convertir de un vector con referencia DQZ al marco de referencia XYZ , la señal del vector de columna debe multiplicarse previamente por la matriz de transformación de Park inversa:
- .
Las transformaciones de Clarke y Park juntas forman la transformación DQZ :
La transformación inversa es:
Para convertir un vector con referencia ABC al marco de referencia DQZ , la señal del vector de columna debe multiplicarse previamente por la matriz de transformación DQZ:
- .
Y, para volver a convertir de un vector con referencia DQZ al marco de referencia ABC , la señal del vector de columna debe multiplicarse previamente por la matriz de transformación DQZ inversa:
- .
Para comprender mejor esta transformación, se incluye una derivación de la transformación.
Derivación
La derivación de la transformada de Park
La transformada de Park se basa en el concepto del producto escalar y las proyecciones de vectores sobre otros vectores. Primero, imaginemos dos vectores unitarios, y (los vectores unitarios, o ejes, del nuevo marco de referencia desde la perspectiva del antiguo marco de referencia), y un tercer vector, arbitrario . Podemos definir los dos vectores unitarios y el vector arbitrario en términos de sus coordenadas cartesianas en el antiguo marco de referencia:
- ,
dónde y son los vectores base unitarios del antiguo sistema de coordenadas y es el ángulo entre el y vectores unitarios (es decir, el ángulo entre los dos marcos de referencia). La proyección del vector arbitrario sobre cada uno de los dos nuevos vectores unitarios implica el producto escalar:
- .
Entonces, es la proyección de sobre la eje, y es la proyección de sobre la eje. Estos nuevos componentes vectoriales, y , juntos componen el nuevo vector , el vector original en términos del nuevo marco de referencia DQ .
![Projection of '"`UNIQ--postMath-00000026-QINU`"' onto the DQ reference frame.](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/1/1b/DQZ_8.svg/358px-DQZ_8.svg.png)
Observe que el ángulo positivo anterior provocó que el vector arbitrario rote hacia atrás cuando se hizo la transición al nuevo marco de referencia DQ . En otras palabras, su ángulo con respecto al nuevo marco de referencia es menor que su ángulo con el antiguo marco de referencia. Esto se debe a que el marco de referencia, no el vector, se giró hacia adelante. En realidad, una rotación hacia adelante del marco de referencia es idéntica a una rotación negativa del vector. Si el antiguo marco de referencia giraba hacia adelante, como en los sistemas eléctricos trifásicos, entonces el vector DQ resultante permanece estacionario.
La operación anterior se puede resumir en una sola ecuación matricial:
- .
Este tensor se puede expandir a problemas tridimensionales, donde el eje alrededor del cual ocurre la rotación no se ve afectado. En el siguiente ejemplo, la rotación es sobre el eje Z , pero se podría haber elegido cualquier eje:
- .
Desde una perspectiva de álgebra lineal, esto es simplemente una rotación en el sentido de las agujas del reloj alrededor del eje z, y es matemáticamente equivalente a las fórmulas de ángulos de diferencia trigonométrica .
La derivación de la transformada de Clarke
Los vectores de base unitaria ABC
Considere un espacio tridimensional con vectores de la base unidad A , B , y C . La esfera en la figura siguiente se usa para mostrar la escala del marco de referencia para el contexto y el cuadro se usa para proporcionar un contexto rotacional.
![ABC unit basis vectors.](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/c/c7/DQZ_1.svg/358px-DQZ_1.svg.png)
Normalmente, en la ingeniería eléctrica (o en cualquier otro contexto que utilice sistemas trifásicos), los componentes trifásicos se muestran en una perspectiva bidimensional. Sin embargo, dado que las tres fases pueden cambiar de forma independiente, por definición son ortogonales entre sí. Esto implica una perspectiva tridimensional, como se muestra en la figura anterior. Entonces, la perspectiva bidimensional realmente muestra la proyección de la realidad tridimensional en un plano.
![Two-dimensional perspective of a three-dimensional reality.](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/9/9f/DQZ_6.svg/358px-DQZ_6.svg.png)
Los problemas trifásicos se describen típicamente como que operan dentro de este plano. En realidad, es probable que el problema sea un problema de fase equilibrada (es decir, v A + v B + v C = 0) y el vector neto
siempre está en este avión.
Los vectores base unitarios de AYC
Para construir la transformación de Clarke, usamos la transformación de Park en dos pasos. Nuestro objetivo es rotar el eje C hacia la esquina de la caja. De esta manera, el eje C girado será ortogonal al plano de la perspectiva bidimensional mencionada anteriormente. El primer paso para construir la transformada de Clarke requiere rotar el marco de referencia ABC alrededor del eje A. Entonces, esta vez, el 1 estará en el primer elemento de la transformación Park:
La siguiente figura muestra cómo se rota el marco de referencia ABC al marco de referencia AYC ' cuando cualquier vector se multiplica previamente por la matriz K 1 . Los ejes C ' e Y ahora apuntan a los puntos medios de los bordes de la caja, pero la magnitud del marco de referencia no ha cambiado (es decir, la esfera no creció ni se encogió). Esto se debe al hecho de que la norma de el tensor K 1 es 1: || K 1 || = 1. Esto significa que cualquier vector en el marco de referencia ABC seguirá teniendo la misma magnitud cuando se gire hacia el marco de referencia AYC .
![AYC' unit basis vectors. The C' and Y axes now point to the edges of the box, but the magnitude has not changed.](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/f/f8/DQZ_2.svg/358px-DQZ_2.svg.png)
Los vectores base unitarios XYZ
A continuación, el siguiente tensor rota el vector sobre el nuevo eje Y en sentido antihorario con respecto al eje Y (el ángulo se eligió de modo que el eje C ' apunte hacia la esquina de la caja):
- ,
o
- .
Observe que la distancia desde el centro de la esfera hasta el punto medio del borde de la caja es √ 2, pero desde el centro de la esfera hasta la esquina de la caja es √ 3 . De ahí es de donde vino el ángulo de 35,26 °. El ángulo se puede calcular utilizando el producto escalar. Dejarsea el vector unitario en la dirección de C ' y sea ser un vector unitario en la dirección de la esquina de la caja en . Porque dónde es el ángulo entre y tenemos
La norma de la matriz K 2 también es 1, por lo que tampoco cambia la magnitud de ningún vector pre-multiplicado por la matriz K 2 .
![XYZ unit basis vectors. The Z axis (rotated C' axis) now points into the corner of the box.](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/e/e6/DQZ_3.svg/358px-DQZ_3.svg.png)
El plano cero
En este punto, el eje Z ahora es ortogonal al plano en el que se puede encontrar cualquier vector ABC sin un componente de modo común. Cualquier forma de onda de vector ABC balanceada (un vector sin un modo común) viajará alrededor de este plano. Este plano se llamará plano cero y se muestra a continuación mediante el contorno hexagonal.
![Plane of the vectors without common mode indicated by the hexagonal outline. The Z axis is orthogonal to this plane, and the X axis is parallel to the projection of the A axis onto the zero plane.](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/6/61/DQZ_4.svg/358px-DQZ_4.svg.png)
Los vectores base X e Y están en el plano cero. Observe que el eje X es paralelo a la proyección del eje A sobre el plano cero. El eje X es un poco más grande que la proyección del eje A sobre el plano cero. Es mayor por un factor de √ 3/2 . El vector arbitrario no cambió de magnitud a través de esta conversión del marco de referencia ABC al marco de referencia XYZ (es decir, la esfera no cambió de tamaño). Esto es cierto para la forma de potencia invariante de la transformada de Clarke. La siguiente figura muestra la perspectiva bidimensional común de los marcos de referencia ABC y XYZ .
![Two-dimensional perspective of the ABC and XYZ reference frames.](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/7/72/DQZ_7.svg/358px-DQZ_7.svg.png)
Puede parecer extraño que aunque la magnitud del vector no cambió, la magnitud de sus componentes sí lo hizo (es decir, los componentes X e Y son más largos que los componentes A , B y C ). Quizás esto pueda entenderse intuitivamente considerando que para un vector sin modo común, lo que tomó tres valores ( componentes A , B y C ) para expresarse, ahora solo toma 2 ( componentes X e Y ) ya que el componente Z es cero. Por lo tanto, los valores de los componentes X e Y deben ser mayores para compensar.
Combinación de tensores
La matriz de transformación de Clarke sin variación de potencia es una combinación de los tensores K 1 y K 2 :
- ,
o
- .
Observe que cuando se multiplica, la fila inferior de la matriz K C es 1 / √ 3 , no 1/3. (Edith Clarke usó 1/3 para el caso de la variante de potencia). El componente Z no es exactamente el promedio de los componentes A , B y C. Si solo los elementos de la fila inferior se cambiaran a 1/3, entonces la esfera se aplastaría a lo largo del eje Z. Esto significa que el componente Z no tendría la misma escala que los componentes X e Y.
![KC frame (blue) and the original Edith matrix (green).](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/0/05/DQZ_9.svg/358px-DQZ_9.svg.png)
Como se escribió arriba, la norma de la matriz de transformación de Clarke sigue siendo 1, lo que significa que solo rota un vector ABC pero no lo escala. No se puede decir lo mismo de la transformación original de Clarke.
Es fácil verificar (mediante la multiplicación de matrices) que la inversa de K C es
Forma de variante de potencia
A veces es deseable escalar la matriz de transformación de Clarke para que el eje X sea la proyección del eje A sobre el plano cero. Para hacer esto, aplicamos uniformemente un factor de escala de √ 2/3 y un radical 2 √ 1 / [ ¿por qué? ] al componente cero para obtener la matriz de transformación de Clarke de variante de potencia:
o
- .
Esto necesariamente encogerá la esfera en un factor de √ 2/3 como se muestra a continuación. Observe que este nuevo eje X es exactamente la proyección del eje A sobre el plano cero.
![The scaled XYZ reference frame of the power-variant Clarke transform.](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/6/61/DQZ_5.svg/358px-DQZ_5.svg.png)
Con la transformada de Clarke de variante de potencia, la magnitud del vector arbitrario es menor en el marco de referencia XYZ que en el marco de referencia ABC (la norma de la transformada es √ 2/3 ), pero las magnitudes de los componentes individuales del vector son las mismo (cuando no hay un modo común). Entonces, como ejemplo, una señal definida por
se convierte, en el marco de referencia XYZ ,
- ,
un nuevo vector cuyos componentes son de la misma magnitud que los componentes originales: 1. En muchos casos, esta es una cualidad ventajosa de la transformada de Clarke de variante de potencia.
La transformación DQZ
La transformación DQZ usa la transformada de Clarke para convertir vectores con referencia ABC en dos componentes de modo diferencial (es decir, X e Y ) y un componente de modo común (es decir, Z ) y luego aplica la transformada de Park para rotar el marco de referencia sobre el Eje Z en un ángulo dado. El componente X se convierte en el componente D , que está en alineación directa con el vector de rotación, y el componente Y se convierte en el componente Q , que forma un ángulo de cuadratura con el componente directo. La transformada DQZ es
- .
Implementación de código
Para la eficiencia computacional, tiene sentido mantener las transformaciones de Clarke y Park por separado y no combinarlas en una sola transformación.
Una implementación computacionalmente eficiente de la transformada de Clarke invariante de energía es
X = ( 2 * A - B - C ) * ( 1 / sqrt ( 6 )); Y = ( B - C ) * ( 1 / sqrt ( 2 )); Z = ( A + B + C ) * ( 1 / sqrt ( 3 ));
mientras que su inverso es
A = ( 1 / sqrt ( 3 )) * Z ; B = A - ( 1 / sqrt ( 6 )) * X ; C = B - ( 1 / sqrt ( 2 )) * Y ; B + = ( 1 / sqrt ( 2 )) * Y ; A + = ( sqrt ( 2 / 3 )) * X ;
Una implementación computacionalmente eficiente de la transformada de Clarke de variante de potencia es
X = ( 2 * A - B - C ) * ( 1 / 3 ); Y = ( B - C ) * ( 1 / sqrt ( 3 )); Z = ( A + B + C ) * ( 1 / 3 );
mientras que su inverso es
A = X + Z ; B = Z - ( 1 / 2 ) * X ; C = B - ( raíz cuadrada de ( 3 ) / 2 ) * Y ; B + = ( raíz cuadrada de ( 3 ) / 2 ) * Y ;
Evidentemente, los coeficientes constantes podrían calcularse previamente.
Una implementación computacionalmente eficiente de la transformación Park es
co = cos ( theta ); si = sin ( theta );D = co * X + si * Y ; Q = co * Y - si * X ;
mientras que su inverso es
co = cos ( theta ); si = sin ( theta );X = co * D - si * Q ; Y = si * D + co * Q ;
Tiene sentido calcular solo coy siuna vez si se van a utilizar tanto la transformación Park como la inversa Park.
Ejemplo
En los sistemas eléctricos, muy a menudo los valores A , B y C oscilan de tal manera que el vector neto gira. En un sistema equilibrado, el vector gira alrededor del eje Z. Muy a menudo, es útil rotar el marco de referencia de modo que la mayoría de los cambios en los valores abc, debido a este giro, se cancelen y cualquier variación más fina se vuelva más obvia. Esto es increíblemente útil ya que ahora transforma el sistema en un sistema lineal invariante en el tiempo.
La transformación DQZ se puede considerar en términos geométricos como la proyección de las tres cantidades de fase sinusoidal separadas sobre dos ejes que giran con la misma velocidad angular que las cantidades de fase sinusoidal.
Arriba se muestra la transformada DQZ aplicada al estator de una máquina síncrona. Hay tres devanados separados por 120 grados físicos. Las corrientes trifásicas son iguales en magnitud y están separadas entre sí por 120 grados eléctricos. Las corrientes trifásicas retrasan sus correspondientes voltajes de fase en. Los ejes DQ se muestran girando con una velocidad angular igual a, la misma velocidad angular que los voltajes y corrientes de fase. El eje D forma un ángulocon el devanado de fase A que se ha elegido como referencia. Las corrientes y son cantidades de cd constantes.
Comparación con otras transformaciones
La transformación de Park
La transformación propuesta originalmente por Park difiere levemente de la anterior. En la transformación de Park, el eje q está por delante del eje d, qd0, y el ángulo es el ángulo entre la fase a y el eje q, como se indica a continuación:
y
D. Holmes y T. Lipo, Modulación de ancho de pulso para convertidores de potencia: principios y práctica, Wiley-IEEE Press, 2003, y
P. Krause, O. Wasynczuk y S. Sudhoff, Analysis of Electric Machinery and Drive Systems, 2da ed., Piscataway, NJ: IEEE Press, 2002.
transformada αβγ
La transformada dqo es conceptualmente similar a la transformada αβγ . Mientras que la transformada dqo es la proyección de las cantidades de fase en un marco de referencia giratorio de dos ejes, la transformada αβγ se puede considerar como la proyección de las cantidades de fase en un marco de referencia estacionario de dos ejes.
Referencias
- Referencias en línea
- ^ "Realizar la transformación de la señal trifásica (abc) al marco de referencia giratorio dq0 o el inverso" . Simulink . 2018-09-27 . Consultado el 11 de enero de 2019 .
- ^ Mihailovic, Zoran (26 de junio de 1998). "Diseño de modelado y control de sistemas de accionamiento Pmsm Vsi-Fed con carga activa" (PDF) . ETD . Consultado el 11 de enero de 2019 .
- ^ Kamalakannan, C .; Suresh, LP; Dash, SS; Panigrahi, BK (2014). Electrónica de potencia y sistemas de energía renovable: Actas de ICPERES 2014 . Apuntes de conferencias en Ingeniería Eléctrica. Springer India. pag. 1029. ISBN 978-81-322-2119-7. Consultado el 11 de enero de 2019 .
- ^ Teoría de la reacción de RH Park Two de las máquinas síncronas AIEE Transactions 48: 716–730 (1929).
- Referencias generales
- CJ O'Rourke y col. "Una interpretación geométrica de los marcos de referencia y las transformaciones: dq0, Clarke y Park", en IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 34, no. 4, págs.2070-2083, diciembre de 2019.
- J. Lewis Blackburn Symmetrical Components for Power Systems Engineering , Marcel Dekker, Nueva York (1993). ISBN 0-8247-8767-6
- Zhang y col. Un inversor trifásico con una pata neutra con modulación de vector espacial IEEE APEC '97 Conference Proceedings (1997).
- TALipo, “Un enfoque vectorial cartesiano para la teoría de referencia de las máquinas de CA”, Int. Conferencia sobre máquinas eléctricas, Laussane, 18-24 de septiembre de 1984.