En el análisis complejo , una expansión de fracción parcial es una forma de escribir una función meromórfica f (z) como una suma infinita de funciones racionales y polinomios . Cuando f (z) es una función racional, esto se reduce al método habitual de fracciones parciales .
Mediante el uso de la división larga polinómica y la técnica fracción parcial del álgebra, cualquier función racional puede ser escrita como una suma de términos de la forma 1 / (az + b) k + p (z) , donde un y b son complejos, k es un número entero y p (z) es un polinomio. Así como la factorización de polinomios se puede generalizar al teorema de factorización de Weierstrass , existe una analogía con las expansiones de fracciones parciales para ciertas funciones meromórficas.
Una función racional propia, es decir, una para la que el grado del denominador es mayor que el grado del numerador, tiene una expansión de fracción parcial sin términos polinomiales. De manera similar, una función meromórfica f (z) para la cual | f (z) | va a 0 cuando z va al infinito al menos tan rápido como | 1 / z |, tiene una expansión sin términos polinomiales.
Sea f (z) una función meromórfica en el plano complejo finito con polos en λ 1 , λ 2 , ..., y sea ( Γ 1 , Γ 2 , ...) una secuencia de curvas cerradas simples tales que:
- El origen se encuentra dentro de cada curva Γ k
- Ninguna curva pasa por un polo de f
- Γ k se encuentra dentro de Γ k + 1 para todo k
- , donde d (Γ k ) da la distancia desde la curva al origen
Supongamos también que existe un entero p tal que
Escribiendo PP ( f (z) ; z = λ k ) para la parte principal de la expansión de Laurent de f alrededor del punto λ k , tenemos
si p = -1 , y si p> -1 ,
donde los coeficientes c j, k están dados por
λ 0 debe establecerse en 0, porque incluso si f (z) en sí no tiene un polo en 0, los residuos de f (z) / z j + 1 en z = 0 aún deben incluirse en la suma.
Tenga en cuenta que en el caso de λ 0 = 0, podemos usar la expansión de Laurent de f (z) sobre el origen para obtener
de modo que los términos polinomiales aportados son exactamente la parte regular de la serie de Laurent hasta z p .
Para los otros polos λ k donde k ≥ 1, 1 / z j + 1 se puede extraer de los cálculos de residuos :
Para evitar problemas con la convergencia, los polos deben ordenarse de modo que si λ k está dentro de Γ n , entonces λ j también está dentro de Γ n para todo j < k .
Los ejemplos más simples de funciones meromórficas con un número infinito de polos son las funciones trigonométricas no completas, así que tome la función tan ( z ). tan ( z ) es meromórfico con polos en (n + 1/2) π , n = 0, ± 1, ± 2, ... Los contornos Γ k serán cuadrados con vértices en ± πk ± πki atravesados en sentido antihorario, k > 1, que se considera que satisfacen las condiciones necesarias.
En los lados horizontales de Γ k ,
entonces
sinh ( x ) x ) para todo x real , lo que produce
Para x > 0, coth ( x ) es continuo, decreciente y delimitado por debajo de 1, por lo que se deduce que en los lados horizontales de Γ k , | tan ( z ) | π ). De manera similar, se puede demostrar que | tan ( z ) | <1 en los lados verticales de Γ k .
Con este límite en | tan ( z ) | Podemos ver eso
(El máximo de | 1 / z | en Γ k ocurre en el mínimo de | z |, que es kπ ).
Por lo tanto, p = 0, y la expansión de la fracción parcial de tan ( z ) parece
Las partes principales y los residuos son bastante fáciles de calcular, ya que todos los polos de tan ( z ) son simples y tienen un residuo -1:
Podemos ignorar λ 0 = 0, ya que tanto tan ( z ) como tan ( z ) / z son analíticos en 0, por lo que no hay contribución a la suma, y ordenando los polos λ k de modo que λ 1 = π / 2, λ 2 = - π / 2, λ 3 = 3 π / 2, etc., da
Productos infinitos
Debido a que la expansión de la fracción parcial a menudo produce sumas de 1 / (a + bz) , puede ser útil para encontrar una manera de escribir una función como un producto infinito ; la integración de ambos lados da una suma de logaritmos, y la exponenciación da el producto deseado:
Aplicando algunas reglas de logaritmos,
que finalmente da
Serie Laurent
La expansión de fracción parcial para una función también se puede usar para encontrar una serie de Laurent para ella simplemente reemplazando las funciones racionales en la suma con su serie de Laurent, que a menudo no son difíciles de escribir en forma cerrada. Esto también puede conducir a identidades interesantes si ya se conoce una serie de Laurent.
Recordar que
Podemos expandir el sumando usando una serie geométrica:
Sustituyendo de nuevo,
lo que demuestra que los coeficientes de una n en la serie de Laurent (Taylor) de tan (z) sobre z = 0 son
donde T n son los números tangentes .
A la inversa, podemos comparar esta fórmula con la expansión de Taylor para tan ( z ) sobre z = 0 para calcular las sumas infinitas: