En matemáticas , y particularmente en el campo del análisis complejo , el teorema de factorización de Weierstrass afirma que toda función puede representarse como un producto (posiblemente infinito) que involucra sus ceros . El teorema puede verse como una extensión del teorema fundamental del álgebra , que afirma que cada polinomio puede factorizarse en factores lineales, uno para cada raíz.
El teorema, que lleva el nombre de Karl Weierstrass , está estrechamente relacionado con un segundo resultado de que cada secuencia que tiende al infinito tiene una función completa asociada con ceros precisamente en los puntos de esa secuencia.
Una generalización del teorema lo extiende a funciones meromórficas y permite considerar una función meromórfica dada como un producto de tres factores: términos que dependen de los ceros y polos de la función , y una función holomórfica no nula asociada . [ cita requerida ]
Motivación
Las consecuencias del teorema fundamental del álgebra son dobles. [1] En primer lugar, cualquier secuencia finitaen el plano complejo tiene un polinomio asociado que tiene ceros precisamente en los puntos de esa secuencia ,
En segundo lugar, cualquier función polinomial en el plano complejo tiene una factorización donde a es una constante distinta de cero y c n son los ceros de p .
Las dos formas del teorema de factorización de Weierstrass se pueden considerar como extensiones de lo anterior a funciones completas. La necesidad de maquinaria adicional se demuestra cuando se considera el producto si la secuencia no es finito . Nunca puede definir una función completa, porque el producto infinito no converge. Por tanto, no se puede, en general, definir una función completa a partir de una secuencia de ceros prescritos o representar una función completa mediante sus ceros utilizando las expresiones producidas por el teorema fundamental del álgebra.
Una condición necesaria para la convergencia del producto infinito en cuestión es que para cada z, los factores debe acercarse a 1 como . Por lo tanto, es lógico que uno deba buscar una función que pueda ser 0 en un punto prescrito, pero permanecer cerca de 1 cuando no esté en ese punto y, además, introducir no más ceros que los prescritos. Los factores elementales de Weierstrass tienen estas propiedades y sirven al mismo propósito que los factores sobre.
Los factores elementales
Considere las funciones de la forma por . A, evalúan a y tener una pendiente plana en orden hasta . Justo después de, caen bruscamente a un pequeño valor positivo. Por el contrario, considere la función que no tiene pendiente plana pero, en , evalúa exactamente cero. También tenga en cuenta que para | z | <1 ,
- .
Los factores elementales , [2] también denominados factores primarios , [3] son funciones que combinan las propiedades de pendiente cero y valor cero (ver gráfico):
Para | z | <1 y, se puede expresar como y uno puede leer cómo se hacen cumplir esas propiedades.
La utilidad de los factores elementales E n ( z ) radica en el siguiente lema: [2]
Lema (15,8, Rudin) para | z | ≤ 1 ,
Las dos formas del teorema
Existencia de función completa con ceros especificados
Dejar ser una secuencia de números complejos distintos de cero tal que . Si es cualquier secuencia de enteros tal que para todos ,
entonces la función
es entero con ceros solo en puntos . Si un numero ocurre en la secuencia exactamente m veces, entonces la función f tiene un cero ende multiplicidad m .
- La secuencia en el enunciado del teorema siempre existe. Por ejemplo, siempre podríamos tomary tener la convergencia. Tal secuencia no es única: cambiarla en un número finito de posiciones, o tomar otra secuencia p ′ n ≥ p n , no romperá la convergencia.
- El teorema se generaliza a lo siguiente: las secuencias en subconjuntos abiertos (y por lo tanto regiones ) de la esfera de Riemann tienen funciones asociadas que son holomorfas en esos subconjuntos y tienen ceros en los puntos de la secuencia. [2]
- También se incorpora aquí el caso dado por el teorema fundamental del álgebra. Si la secuencia es finito, entonces podemos tomar y obtener: .
El teorema de factorización de Weierstrass
Sea f una función completa, y seaser los ceros distintos de cero de ƒ repetidos de acuerdo con la multiplicidad; suponga también que ƒ tiene un cero en z = 0 de orden m ≥ 0 (un cero de orden m = 0 en z = 0 significa ƒ (0) ≠ 0 ). Entonces existe una función g completa y una secuencia de enteros tal que
Ejemplos de factorización
Las funciones trigonométricas seno y coseno tienen las factorizaciones
Teorema de factorización de Hadamard
Si ƒ es una función entera de finito orden ρ y m es el orden del cero de ƒ en z = 0 , entonces se admite una factorización
donde g ( z ) es un polinomio de grado q , q ≤ ρ y p = [ ρ ] es la parte entera de ρ . [4]
Ver también
- Teorema de Mittag-Leffler
- Producto de Wallis , que se puede derivar de este teorema aplicado a la función seno
Notas
- ^ Knopp, K. (1996), "Teorema del factor de Weierstrass", Teoría de las funciones, Parte II , Nueva York: Dover, págs. 1-7.
- ^ a b c Rudin, W. (1987), Análisis real y complejo (3ª ed.), Boston: McGraw Hill, págs. 301-304, ISBN 0-07-054234-1, OCLC 13093736
- ^ Boas, RP (1954), Entire Functions , Nueva York: Academic Press Inc., ISBN 0-8218-4505-5, OCLC 6487790, Capitulo 2.
- ^ a b Conway, JB (1995), Funciones de una variable compleja I, 2ª ed. , springer.com: Springer, ISBN 0-387-90328-3
enlaces externos
- "Teorema de Weierstrass" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Visualización de la factorización de Weierstrass de la función seno debido a Euler