En el análisis funcional, una isometría parcial es un mapa lineal entre los espacios de Hilbert, de modo que es una isometría en el complemento ortogonal de su núcleo .
El complemento ortogonal de su núcleo se llama subespacio inicial y su rango se llama subespacio final .
Aparecen isometrías parciales en la descomposición polar .
General
El concepto de isometría parcial se puede definir de otras formas equivalentes. Si U es un mapa isométrico definido en un subconjunto cerrado H 1 de un espacio de Hilbert H, entonces podemos definir una extensión W de U a todo H con la condición de que W sea cero en el complemento ortogonal de H 1 . Por lo tanto, una isometría parcial también se define a veces como un mapa isométrico cerrado parcialmente definido.
Las isometrías parciales (y proyecciones) se pueden definir en el contexto más abstracto de un semigrupo con involución ; la definición coincide con la de este documento.
Álgebras de operador
Para las álgebras de operadores se introducen los subespacios inicial y final:
C * -Álgebras
Para C * -álgebras se tiene la cadena de equivalencias debido a la propiedad C *:
Entonces uno define isometrías parciales por cualquiera de los anteriores y declara la resp inicial. la proyección final será W * W resp. WW * .
Un par de proyecciones están divididas por la relación de equivalencia :
Desempeña un papel importante en la teoría K para las álgebras C * y en la teoría de proyecciones de Murray - von Neumann en un álgebra de von Neumann .
Clases especiales
Proyecciones
Cualquier proyección ortogonal es una con subespacio inicial y final común:
Embeddings
Cualquier incrustación isométrica es una con subespacio inicial completo:
Unitarios
Cualquier operador unitario es aquel con subespacio inicial y final completo:
(Aparte de estos, hay isometrías mucho más parciales).
Ejemplos de
Nilpotentes
En el espacio de Hilbert complejo bidimensional, la matriz
es una isometría parcial con subespacio inicial
y subespacio final
Desplazamiento a la izquierda y desplazamiento a la derecha
En las secuencias cuadradas sumables los operadores
que están relacionados por
son isometrías parciales con subespacio inicial
y subespacio final:
- .
Referencias
- John B. Conway (1999). "Un curso de teoría del operador", Librería AMS, ISBN 0-8218-2065-6
- Alan LT Paterson (1999). " Groupoids, semigrupos inversos y sus álgebras de operador ", Springer, ISBN 0-8176-4051-7
- Mark V. Lawson (1998). " Semigrupos inversos: la teoría de las simetrías parciales ". Mundo científicoISBN 981-02-3316-7