En matemáticas , particularmente en álgebra abstracta , un semigrupo con involución o un * -semigroup es un semigrupo dotado de un anti-automorfismo involutivo , que —en términos generales— lo acerca a un grupo porque esta involución, considerada como operador unario, exhibe ciertas propiedades fundamentales de la operación de tomar la inversa en un grupo: unicidad, doble aplicación "anulándose a sí misma", y la misma ley de interacción con la operación binaria que en el caso de la inversa de grupo. Por tanto, no es de extrañar que cualquier grupo sea un semigrupo con involución. Sin embargo, existen ejemplos naturales significativos de semigrupos con involución que no son grupos.
Un ejemplo del álgebra lineal es el monoide multiplicativo de matrices cuadradas reales de orden n (llamado monoide lineal completo ). El mapa que envía una matriz a su transpuesta es una involución porque la transposición está bien definida para cualquier matriz y obedece a la ley ( AB ) T = B T A T , que tiene la misma forma de interacción con la multiplicación que tomar inversas en el grupo lineal general (que es un subgrupo del monoide lineal completo). Sin embargo, para una matriz arbitraria, AA T no es igual al elemento de identidad (es decir, la matriz diagonal ). Otro ejemplo, proveniente de la teoría del lenguaje formal , es el semigrupo libre generado por un conjunto no vacío (un alfabeto ), con la concatenación de cadenas como operación binaria, y la involución es el mapa que invierte el orden lineal de las letras en una cadena. Un tercer ejemplo, de la teoría básica de conjuntos , es el conjunto de todas las relaciones binarias entre un conjunto y él mismo, siendo la involución la relación inversa y la multiplicación dada por la composición habitual de relaciones .
Los semigrupos con involución aparecieron nombrados explícitamente en un artículo de 1953 de Viktor Wagner (en ruso) como resultado de su intento de tender un puente entre la teoría de los semigrupos y la de los semimonios . [1]
Definicion formal
Sea S un semigrupo con su operación binaria escrita multiplicativamente. Una involución en S es una operación unaria * en S (o, una transformación *: S → S , x ↦ x *) que satisface las siguientes condiciones:
- Para todo x en S , ( x *) * = x .
- Para todo x , y en S tenemos ( xy ) * = y * x *.
El semigrupo S con involución * se denomina semigrupo con involución.
Semigrupos que satisfacen sólo el primero de estos axiomas pertenecen a la clase más grande de los U-semigrupos .
En algunas aplicaciones, el segundo de estos axiomas se ha denominado antidistributivo . [2] Respecto a la filosofía natural de este axioma, HSM Coxeter comentó que "queda claro cuando pensamos en [x] e [y] como las operaciones de ponernos los calcetines y los zapatos, respectivamente". [3]
Ejemplos de
- Si S es un semigrupo conmutativo, entonces el mapa de identidad de S es una involución.
- Si S es un grupo, entonces el mapa de inversión *: S → S definido por x * = x −1 es una involución. Además, en un grupo abeliano, tanto este mapa como el del ejemplo anterior son involuciones que satisfacen los axiomas de semigrupo con involución. [4]
- Si S es un semigrupo inverso, entonces el mapa de inversión es una involución que deja invariantes a los idempotentes . Como se señaló en el ejemplo anterior, el mapa de inversión no es necesariamente el único mapa con esta propiedad en un semigrupo inverso. Bien puede haber otras involuciones que dejen invariables a todos los idempotentes; por ejemplo, el mapa de identidad en un semigrupo conmutativo regular, por lo tanto inverso, en particular, un grupo abeliano. Un semigrupo regular es un semigrupo inverso si y solo si admite una involución bajo la cual cada idempotente es un invariante. [5]
- Detrás de cada C * -álgebra hay un * -semigroup. Un ejemplo importante es el álgebra M n ( C ) de n- por- n matrices sobre C , con la transpuesta conjugada como involución.
- Si X es un conjunto, el conjunto de todas las relaciones binarias en X es un * -semigrupo con el * dado por la relación inversa y la multiplicación dada por la composición habitual de relaciones . Este es un ejemplo de un * -semigroup que no es un semigrupo regular.
- Si X es un conjunto, entonces el conjunto de todas las secuencias finitas (o cadenas ) de miembros de X forma un monoide libre bajo la operación de concatenación de secuencias, con la inversión de secuencia como una involución.
- Una banda rectangular sobre un producto cartesiano de un conjunto A consigo mismo, es decir, con elementos de A × A , con el producto semigrupo definido como ( a , b ) ( c , d ) = ( a , d ), siendo la involución la inversión de orden de los elementos de un par ( a , b ) * = ( b , a ). Este semigrupo también es un semigrupo regular , como lo son todas las bandas. [6]
Conceptos y propiedades básicos
Un elemento x de un semigrupo con involución a veces se llama hermitiano (por analogía con una matriz hermitiana ) cuando se deja invariante por la involución, lo que significa x * = x . Los elementos de la forma xx * o x * x son siempre hermitianos, al igual que todos los poderes de un elemento hermitiano. Como se señaló en la sección de ejemplos, un semigrupo S es un semigrupo inverso si y solo si S es un semigrupo regular y admite una involución tal que todo idempotente es hermitiano. [7]
Ciertos conceptos básicos se pueden definir en * -semigroups de una manera que se asemeje a las nociones derivadas de un elemento regular en un semigrupo . Una isometría parcial es un elemento s tal que ss * s = s ; el conjunto de isometrías parciales de un semigrupo S suele abreviarse PI ( S ). [8] Una proyección es un elemento idempotente e que también es hermitiano, lo que significa que ee = e y e * = e . Cada proyección es una isometría parcial, y por cada isometría parcial s , s * s y ss * son proyecciones. Si e y f son proyecciones, entonces e = ef si y sólo si e = fe . [9]
Las isometrías parciales se pueden ordenar parcialmente por s ≤ t definido como sostenido siempre que s = ss * t y ss * = ss * tt *. [9] De manera equivalente, s ≤ t si y sólo si s = et y e = ett * por alguna proyección e . [9] En un * -semigroup, PI ( S ) es un grupoide ordenado con el producto parcial dado por s ⋅ t = st si s * s = tt *. [10]
Ejemplos de
En términos de ejemplos para estas nociones, en el * -semigrupo de relaciones binarias en un conjunto, las isometrías parciales son las relaciones que son difuncionales . Las proyecciones en este * -semigroup son las relaciones de equivalencia parcial . [11]
Las isometrías parciales en un C * -álgebra son exactamente las definidas en esta sección. En el caso de M n ( C ) se puede decir más. Si E y F son proyecciones, entonces E ≤ F si y sólo si im E ⊆ im F . Para cualquier par de proyección, si E ∩ F = V , a continuación, la proyección única J con la imagen V y el núcleo del complemento ortogonal de V es la reunión de E y F . Dado que las proyecciones forman una semirrejilla de encuentro , las isometrías parciales en M n ( C ) forman un semigrupo inverso con el producto. [12]
Otro ejemplo sencillo de estas nociones aparece en la siguiente sección.
Nociones de regularidad
Hay dos nociones de regularidad relacionadas, pero no idénticas, en * -semigroups. Fueron introducidos casi simultáneamente por Nordahl y Scheiblich (1978) y respectivamente Drazin (1979). [13]
Semigrupos regulares * (Nordahl y Scheiblich)
Como se mencionó en los ejemplos anteriores , los semigrupos inversos son una subclase de * -semigroups. También se sabe que un semigrupo inverso se puede caracterizar como un semigrupo regular en el que dos idempotentes se desplazan al trabajo. En 1963, Boris M. Schein demostró que los dos axiomas siguientes proporcionan una caracterización análoga de los semigrupos inversos como una subvariedad de los semigrupos *:
- x = xx * x
- ( xx *) ( x * x ) = ( x * x ) ( xx *)
El primero de ellos parece la definición de un elemento regular, pero en realidad es en términos de involución. Asimismo, el segundo axioma parece estar describiendo la conmutación de dos idempotentes. Sin embargo, se sabe que los semigrupos regulares no forman una variedad porque su clase no contiene objetos libres (un resultado establecido por DB McAlister en 1968). Esta línea de razonamiento motivó a Nordahl y Scheiblich a comenzar en 1977 el estudio de la (variedad de) * -semigrupos que satisfacen sólo el primero de estos dos axiomas; debido a la similitud en la forma con la propiedad que define los semigrupos regulares, llamaron a esta variedad regular * -semigroups.
Es un cálculo simple para establecer que un * -semigroup regular es también un semigrupo regular porque x * resulta ser un inverso de x . La banda rectangular del Ejemplo 7 es un semigrupo * regular que no es un semigrupo inverso. [6] También es fácil verificar que en un grupo * -semigrupo regular el producto de dos proyecciones cualesquiera es un idempotente. [14] En el ejemplo de banda rectangular mencionado anteriormente, las proyecciones son elementos de la forma ( x , x ) y [como todos los elementos de una banda] son idempotentes. Sin embargo, dos proyecciones diferentes en esta banda no necesitan conmutar, ni su producto es necesariamente una proyección ya que ( a , a ) ( b , b ) = ( a , b ).
Los semigrupos que satisfacen sólo x ** = x = xx * x (pero no necesariamente la antidistributividad de * sobre multiplicación) también se han estudiado bajo el nombre de I-semigrupos .
P-sistemas
El problema de caracterizar cuándo un semigrupo regular es un semigrupo regular * (en el sentido de Nordahl y Scheiblich) fue abordado por M. Yamada (1982). Él definió un sistema P F (S) como un subconjunto de los idempotentes de S, denotado como de costumbre por E (S). Usando la notación habitual V ( a ) para las inversas de a , F (S) necesita satisfacer los siguientes axiomas:
- Para cualquier a en S, existe una a ° única en V ( a ) tal que aa ° y a ° a están en F (S)
- Para cualquier a en S y b en F (S), a ° ba está en F (S), donde ° es la operación bien definida del axioma anterior
- Para cualquier a , b en F (S), ab está en E (S); nota: no necesariamente en F (S)
Un semigrupo S regular es un semigrupo regular *, como lo definen Nordahl & Scheiblich, si y solo si tiene un sistema p F (S). En este caso F (S) es el conjunto de proyecciones de S con respecto a la operación ° definida por F (S). En un semigrupo inverso, todo el semirretículo de idempotentes es un sistema p. Además, si un semigrupo S regular tiene un sistema p que es multiplicativamente cerrado (es decir, subsemigroup), entonces S es un semigrupo inverso. Por tanto, un p-sistema puede considerarse como una generalización de la semirrejilla de idempotentes de un semigrupo inverso.
* -semigrupos regulares (Drazin)
Un semigrupo S con una involución * se llama * -semigrupo regular (en el sentido de Drazin) si para cada x en S , x * es H -equivalente a algún inverso de x , donde H es la relación H de Green . Esta propiedad definitoria se puede formular de varias formas equivalentes. Otro es decir que cada clase L contiene una proyección. Una definición axiomática es la condición de que para cada x en S existe un elemento x ′ tal que x ′ xx ′ = x ′ , xx ′ x = x , ( xx ′) * = xx ′ , ( x ′ x ) * = x ′ x . Michael P. Drazin primero demostró que dado x , el elemento x ′ que satisface estos axiomas es único. Se llama inversa de x de Moore-Penrose . Esto concuerda con la definición clásica de la inversa de Moore-Penrose de una matriz cuadrada.
Una motivación para estudiar estos semigrupos es que permiten generalizar las propiedades inversas de Moore-Penrose a partir de y a conjuntos más generales.
En el semigrupo multiplicativo M n ( C ) de matrices cuadradas de orden n , el mapa que asigna una matriz A a su conjugado hermitiano A * es una involución. El semigrupo M n ( C ) es un semigrupo regular * con esta involución. La inversa de Moore-Penrose de A * en este semigrupo -regular es la clásica inversa de Moore-Penrose de una .
Semigrupo libre con involución
Como ocurre con todas las variedades, la categoría de semigrupos con involución admite objetos libres . La construcción de un semigrupo (o monoide) libre con involución se basa en la de un semigrupo libre (y, respectivamente, en la de un monoide libre). Además, la construcción de un grupo libre puede derivarse fácilmente refinando la construcción de un monoide libre con involución. [15]
Los generadores de un semigrupo libre con involución son los elementos de la unión de dos conjuntos disjuntos ( equinumerosos ) en correspondencia biyectiva :. (Aquí la notaciónenfatizó que la unión es en realidad una unión disjunta .) En el caso de que los dos conjuntos sean finitos, su unión Y a veces se denomina alfabeto con involución [16] o alfabeto simétrico . [17] Deja ser una biyección; se extiende naturalmente a una biyección esencialmente tomando la unión disjunta de (como un conjunto) con su inversa , o en notación por partes : [18]
Ahora construye como el semigrupo libre en de la forma habitual con la operación binaria (semigrupo) en siendo concatenación :
- por algunas letras
La biyección en luego se extiende como una biyección definido como la inversión de cadena de los elementos de que constan de más de una letra: [16] [18]
Este mapa es una involución en el semigrupo. Así, el semigrupo con el mapa es un semigrupo con la involución, llamado un semigrupo libre con involución en X . [19] (La irrelevancia de la identidad concreta de y de la biyeccion En esta elección de terminología se explica a continuación en términos de la propiedad universal de la construcción.) Tenga en cuenta que, a diferencia del ejemplo 6 , la involución de cada letra es un elemento distinto en un alfabeto con involución y, en consecuencia, la misma observación se extiende a una libre semigrupo con involución.
Si en la construcción anterior en lugar de usamos el monoide libre , que es solo el semigrupo libre extendido con la palabra vacía (que es el elemento de identidad del monoide ), y extender adecuadamente la involución con , obtenemos un monoide libre con involución . [18]
La construcción anterior es en realidad la única forma de extender un mapa dado de a , a una involución en (e igualmente en ). El calificativo "gratis" para estas construcciones se justifica en el sentido habitual de que son construcciones universales . En el caso del semigrupo libre con involución, dado un semigrupo arbitrario con involución y un mapa , luego un homomorfismo de semigrupo existe tal que , dónde es el mapa de inclusión y la composición de las funciones se toma en orden de diagrama . [19] La construcción decomo semigrupo con involución es único hasta el isomorfismo . Un argumento análogo es válido para el monoide libre con involución en términos de homomorfismos de monoide y la unicidad hasta el isomorfismo de la construcción de como monoide con involución.
La construcción de un grupo libre no se aleja mucho de la de un monoide libre con involución. El ingrediente adicional necesario es definir una noción de palabra reducida y una regla de reescritura para producir tales palabras simplemente eliminando cualquier par de letras adyacentes de la forma. o . Se puede demostrar que el orden de reescritura (borrado) de dichos pares no importa, es decir, cualquier orden de borrado produce el mismo resultado. [15] (Dicho de otro modo, estas reglas definen un sistema de reescritura confluente ). De manera equivalente, un grupo libre se construye a partir de un monoide libre con involución tomando el cociente de este último por la congruencia , que a veces se denomina congruencia de Dyck; en cierto sentido, generaliza el lenguaje de Dyck a múltiples tipos de "paréntesis". Sin embargo, la simplificación en la congruencia de Dyck tiene lugar independientemente del orden. Por ejemplo, si ")" es el inverso de "(", entonces; la congruencia unilateral que aparece en el lenguaje Dyck propiamente dicho, que instancia solo para se llama (quizás de manera confusa) la congruencia de Shamir . El cociente de un monoide libre con involución por la congruencia de Shamir no es un grupo, sino un monoide; sin embargo, se le ha llamado el grupo de medio libre por su primer discoverer- Eli Shamir -aunque más recientemente se le ha llamado el monoide involutivo generado por X . [17] [20] (Sin embargo, esta última elección de terminología entra en conflicto con el uso de "involutivo" para denotar cualquier semigrupo con involución, una práctica que también se encuentra en la literatura. [21] [22] )
Semigrupos Baer *
Un baer * -semigroup es un * -semigroup con cero (de dos caras) en el que el aniquilador derecho de cada elemento coincide con el ideal correcto de alguna proyección; esta propiedad se expresa formalmente como: para todo x ∈ S existe una proyección e tal que
- { y ∈ S | xy = 0} = eS . [22]
De hecho, la proyección e está determinada únicamente por x . [22]
Más recientemente, los semigrupos de Baer * también se han llamado semigrupos de Foulis , en honor a David James Foulis, quien los estudió en profundidad. [23] [24]
Ejemplos y aplicaciones
El conjunto de todas las relaciones binarias en un conjunto (del ejemplo 5 ) es un grupo Baer * -semigroup. [25]
Los semigrupos Baer * también se encuentran en la mecánica cuántica , [22] en particular como los semigrupos multiplicativos de los anillos Baer * .
Si H es un espacio de Hilbert , entonces el semigrupo multiplicativo de todos los operadores acotados en H es un semigrupo Baer *. En este caso, la involución asigna un operador a su adjunto . [25]
Baer * -semigroup permite la coordinación de celosías ortomodulares . [23]
Ver también
- Categoría de daga (también conocida como categoría con involución): generaliza la noción
- *-álgebra
- Clases especiales de semigrupos
Notas
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