producto infinito

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se define como el límite de los productos parciales a ₁ a ₂ ... a _n a medida que n crece sin límite. Se dice que el producto converge cuando el límite existe y no es cero. En caso contrario se dice que el producto diverge . Un límite de cero se trata especialmente para obtener resultados análogos a los de sumas infinitas . Algunas fuentes permiten la convergencia a 0 si solo hay un número finito de factores cero y el producto de los factores distintos de cero es distinto de cero, pero por simplicidad no lo permitiremos aquí. Si el producto converge, entonces el límite de la secuencia a _n comon aumenta sin límite debe ser 1, mientras que lo contrario en general no es cierto.

Los ejemplos más conocidos de productos infinitos son probablemente algunas de las fórmulas para π , como los siguientes dos productos, respectivamente de Viète ( fórmula de Viète , el primer producto infinito publicado en matemáticas) y John Wallis ( producto de Wallis ):

converge Esto permite la traducción de criterios de convergencia para sumas infinitas en criterios de convergencia para productos infinitos. El mismo criterio se aplica a los productos de números complejos arbitrarios (incluidos los reales negativos) si el logaritmo se entiende como una rama fija del logaritmo que satisface ln(1) = 0, con la condición de que el producto infinito diverja cuando un número infinito _{de an} cae fuera el dominio de ln, mientras que un número finito de tales n _pueden ignorarse en la suma.

Para productos de reales en los que cada , escrito como, por ejemplo, , donde , los límites${\displaystyle a_{n}\geq 1}$${\displaystyle a_{n}=1+p_{n}}$${\displaystyle p_{n}\geq 0}$

Demuestre que el producto infinito converge si la suma infinita de los p _n converge. Esto se basa en el teorema de convergencia de Monotone . Podemos demostrar lo contrario observando que, si , entonces ${\displaystyle p_{n}\to 0}$

La misma prueba también muestra que si para algunos , entonces converge a un número distinto de cero si y solo si converge.${\displaystyle a_{n}=1-q_{n}}$${\displaystyle 0\leq q_{n}<1}$${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-q_{n})}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }q_{n}}$

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