En matemáticas , el producto de Wallis para π , publicado en 1656 por John Wallis , [1] establece que
Comparación de la convergencia del producto de Wallis (asteriscos violetas) y varias series históricas infinitas para
π .
S n es la aproximación después de tomar
n términos. Cada subparcela subsiguiente amplía el área sombreada horizontalmente en 10 veces. (haga clic para obtener más detalles)
Wallis derivó este producto infinito como se hace hoy en los libros de cálculo, examinando para valores pares e impares de y notando que para grandes , aumentando por 1 da como resultado un cambio que se vuelve cada vez más pequeño a medida que aumenta. Deja [2]
(Esta es una forma de las integrales de Wallis ). Integrar por partes :
Este resultado se utilizará a continuación:
Repitiendo el proceso,
Repitiendo el proceso,
- , de los resultados anteriores.
Por el teorema de la compresión ,
Si bien la demostración anterior se presenta típicamente en los libros de texto de cálculo modernos, el producto de Wallis es, en retrospectiva, un corolario fácil del producto infinito de Euler posterior para la función seno .
Dejar :
- [1]
La función zeta de Riemann y la función eta de Dirichlet se pueden definir: [1]
Aplicando una transformada de Euler a la última serie, se obtiene lo siguiente: