En matemáticas , la fórmula de Viète es el siguiente producto infinito de radicales anidados que representan la constante matemática π :
Lleva el nombre de François Viète (1540-1603), quien lo publicó en 1593 en su obra Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII . [1]
Significado
En el momento en que Viète publicó su fórmula, métodos para aproximar a (en principio) una precisión arbitraria se conocía desde hacía mucho tiempo. El propio método de Viète se puede interpretar como una variación de una idea de Arquímedes de aproximar la circunferencia de un círculo por el perímetro de un polígono de muchos lados, [1] utilizado por Arquímedes para encontrar la aproximación
Sin embargo, al publicar su método como una fórmula matemática, Viète formuló la primera instancia de un producto infinito conocido en matemáticas, [2] [3] y el primer ejemplo de una fórmula explícita para el valor exacto de. [4] [5] Como la primera fórmula que representa un número como resultado de un proceso infinito en lugar de un cálculo finito, la fórmula de Viète se ha señalado como el comienzo del análisis matemático [6] e incluso más ampliamente como "el amanecer de matemáticas modernas ". [7]
Usando su fórmula, Viète calculó con una precisión de nueve dígitos decimales . [8] Sin embargo, esta no fue la aproximación más precisa aconocido en ese momento, como el matemático persa Jamshīd al-Kāshī había calculadocon una precisión de nueve dígitos sexagesimales y 16 dígitos decimales en 1424. [7] Poco después de que Viète publicara su fórmula, Ludolph van Ceulen utilizó un método estrechamente relacionado para calcular 35 dígitos de, que se publicaron solo después de la muerte de van Ceulen en 1610. [7]
Interpretación y convergencia
La fórmula de Viète puede reescribirse y entenderse como una expresión límite
dónde , con condición inicial . [9] Viète hizo su trabajo mucho antes de que se desarrollaran en matemáticas los conceptos de límites y pruebas rigurosas de convergencia; la primera prueba de que existe este límite no se dio hasta la obra de Ferdinand Rudio en 1891. [1] [10]
La tasa de convergencia de un límite gobierna el número de términos de la expresión necesarios para lograr un número dado de dígitos de precisión. En el caso de la fórmula de Viète, existe una relación lineal entre el número de términos y el número de dígitos: el producto de la primera términos en el límite da una expresión para eso es exacto a aproximadamente dígitos. [8] [11] Esta tasa de convergencia se compara muy favorablemente con el producto de Wallis , una fórmula de producto infinito posterior para. Aunque el propio Viète usó su fórmula para calcularsólo con una precisión de nueve dígitos, se ha utilizado una versión acelerada de su fórmula para calculara cientos de miles de dígitos. [8]
Fórmulas relacionadas
La fórmula de Viète puede obtenerse como un caso especial de una fórmula dada más de un siglo después por Leonhard Euler , quien descubrió que:
Sustituyendo en esta fórmula produce:
Luego, expresando cada término del producto de la derecha como una función de términos anteriores usando la fórmula de medio ángulo:
da la fórmula de Viète. [1]
También es posible derivar de la fórmula de Viète una fórmula relacionada para que todavía involucra raíces cuadradas anidadas de dos, pero usa solo una multiplicación: [12]
que se puede reescribir de forma compacta como
Muchas fórmulas similares a las de Viète que involucran radicales anidados o productos infinitos de funciones trigonométricas ahora son conocidas por y otras constantes como la proporción áurea . [3] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18]
Derivación
Viète obtuvo su fórmula comparando las áreas de polígonos regulares con y lados inscritos en un círculo . [1] [6] El primer término del producto,√ 2/2, Es la relación de áreas de un cuadrado y un octágono , el segundo término es la relación de áreas de un octágono y una hexadecágono , etc. Por lo tanto, los productos telescopios para dar la relación de áreas de un cuadrado (el polígono inicial en el secuencia) a un crculo (el caso lmite de un-gon). Alternativamente, los términos en el producto se pueden interpretar en cambio como razones de perímetros de la misma secuencia de polígonos, comenzando con la razón de perímetros de un digón (el diámetro del círculo, contado dos veces) y un cuadrado, la razón de perímetros de un cuadrado y un octágono, etc. [19]
Es posible otra derivación basada en identidades trigonométricas y la fórmula de Euler. Aplicando repetidamente la fórmula del doble ángulo
se puede probar por inducción matemática que, para todos los enteros positivos,
El termino va a en el limite como va al infinito, de donde se sigue la fórmula de Euler. La fórmula de Viète se puede obtener a partir de esta fórmula mediante la sustitución. [4]
Referencias
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enlaces externos
- Variorum de rebus mathematicis responsorum de Viète , liber VIII (1593) en Google Books . La fórmula está en la segunda mitad de la p. 30.