Los filtros de partículas o métodos de Monte Carlo secuencial (SMC) son un conjunto de algoritmos de Monte Carlo que se utilizan para resolver problemas de filtrado que surgen en el procesamiento de señales y la inferencia estadística bayesiana . El problema de filtrado consiste en estimar los estados internos en sistemas dinámicos cuando se realizan observaciones parciales y existen perturbaciones aleatorias tanto en los sensores como en el sistema dinámico. El objetivo es calcular las distribuciones posteriores de los estados de algún proceso de Markov., dadas algunas observaciones parciales y ruidosas. El término "filtros de partículas" fue acuñado por primera vez en 1996 por Del Moral [1] en referencia a los métodos de partículas interactuantes de campo medio utilizados en mecánica de fluidos desde principios de la década de 1960. El término "Monte Carlo secuencial" fue acuñado por Liu y Chen en 1998. [2]
El filtrado de partículas utiliza un conjunto de partículas (también llamadas muestras) para representar la distribución posterior de algún proceso estocástico dadas observaciones parciales y / o ruidosas. El modelo de espacio de estados puede ser no lineal y el estado inicial y las distribuciones de ruido pueden tomar cualquier forma requerida. Las técnicas de filtro de partículas proporcionan una metodología bien establecida [1] [3] [4] para generar muestras a partir de la distribución requerida sin requerir suposiciones sobre el modelo de espacio de estado o las distribuciones de estado. Sin embargo, estos métodos no funcionan bien cuando se aplican a sistemas de muy alta dimensión.
Los filtros de partículas actualizan su predicción de forma aproximada (estadística). Las muestras de la distribución están representadas por un conjunto de partículas; cada partícula tiene un peso de probabilidad asignado que representa la probabilidad de que esa partícula sea muestreada de la función de densidad de probabilidad. La disparidad de peso que conduce al colapso del peso es un problema común que se encuentra en estos algoritmos de filtrado; sin embargo, se puede mitigar al incluir un paso de remuestreo antes de que los pesos se vuelvan demasiado desiguales. Se pueden utilizar varios criterios de remuestreo adaptativo, incluida la varianza de los pesos y la entropía relativa con respecto a la distribución uniforme. [5] En el paso de remuestreo, las partículas con pesos insignificantes son reemplazadas por partículas nuevas en la proximidad de las partículas con pesos más altos.
Desde el punto de vista estadístico y probabilístico, los filtros de partículas se pueden interpretar como interpretaciones de partículas de campo medio de las medidas de probabilidad de Feynman-Kac . [6] [7] [8] [9] [10] Estas técnicas de integración de partículas fueron desarrolladas en química molecular y física computacional por Theodore E. Harris y Herman Kahn en 1951, Marshall N. Rosenbluth y Arianna W. Rosenbluth en 1955 [ 11] y más recientemente por Jack H. Hetherington en 1984. [12] En física computacional, estos métodos de integración de partículas de trayectoria tipo Feynman-Kac también se utilizan en Quantum Monte Carlo , y más específicamente en métodos de Difusión Monte Carlo . [13] [14] [15] Los métodos de partículas interactivas de Feynman-Kac también están fuertemente relacionados con los algoritmos genéticos de selección de mutaciones que se utilizan actualmente en la computación evolutiva para resolver problemas complejos de optimización.
La metodología del filtro de partículas se utiliza para resolver el modelo de Markov oculto (HMM) y los problemas de filtrado no lineal . Con la notable excepción de los modelos lineales-gaussianos de observación de señales ( filtro de Kalman ) o clases más amplias de modelos (filtro de Benes [16] ), Mireille Chaleyat-Maurel y Dominique Michel demostraron en 1984 que la secuencia de distribuciones posteriores de los estados aleatorios de la La señal dada las observaciones (también conocido como filtro óptimo) no tiene recursividad finitamente recursiva. [17] Varios otros métodos numéricos basados en aproximaciones de cuadrícula fija, las técnicas de Markov Chain Monte Carlo (MCMC), la linealización convencional, los filtros de Kalman extendidos o la determinación del mejor sistema lineal (en el sentido de costo-error esperado) no pueden hacer frente a grandes sistemas de escala, procesos inestables o cuando las no linealidades no son lo suficientemente suaves.
Los filtros de partículas y las metodologías de partículas Feynman-Kac encuentran aplicación en el procesamiento de señales e imágenes , inferencia bayesiana , aprendizaje automático , análisis de riesgo y muestreo de eventos raros , ingeniería y robótica , inteligencia artificial , bioinformática , [18] filogenética , ciencia computacional , economía y finanzas matemáticas. , química molecular , física computacional , farmacocinética y otros campos.
Historia
Algoritmos heurísticos
Desde el punto de vista estadístico y probabilístico, los filtros de partículas pertenecen a la clase de algoritmos de tipo ramificado / genético y a las metodologías de partículas interactuantes de tipo campo medio. La interpretación de estos métodos de partículas depende de la disciplina científica. En Computación Evolutiva , las metodologías de partículas de tipo genético de campo medio se utilizan a menudo como algoritmos de búsqueda heurística y natural (también conocidos como Metaheurística ). En física computacional y química molecular se utilizan para resolver problemas de integración de ruta de Feynman-Kac, o calculan medidas de Boltzmann-Gibbs, valores propios superiores y estados fundamentales de los operadores de Schrödinger . En Biología y Genética también representan la evolución de una población de individuos o genes en algún entorno.
Los orígenes de las técnicas computacionales evolutivas de campo medio se remontan a 1950 y 1954 con el trabajo fundamental de Alan Turing sobre las máquinas de aprendizaje de selección de mutaciones de tipo genético [19] y los artículos de Nils Aall Barricelli en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. , Nueva Jersey . [20] [21] El primer rastro de filtros de partículas en la metodología estadística se remonta a mediados de la década de 1950; el 'Monte Carlo del pobre', [22] propuesto por Hammersley et al., en 1954, contenía indicios de los métodos de filtrado de partículas de tipo genético que se utilizan en la actualidad. En 1963, Nils Aall Barricelli simuló un algoritmo de tipo genético para imitar la capacidad de los individuos para jugar un juego simple. [23] En la literatura de computación evolutiva , los algoritmos de selección de mutaciones de tipo genético se hicieron populares a través del trabajo fundamental de John Holland a principios de la década de 1970, y en particular su libro [24] publicado en 1975.
En Biología y Genética , el genetista australiano Alex Fraser también publicó en 1957 una serie de artículos sobre la simulación de tipo genético de la selección artificial de organismos. [25] La simulación por computadora de la evolución realizada por biólogos se hizo más común a principios de la década de 1960, y los métodos fueron descritos en libros de Fraser y Burnell (1970) [26] y Crosby (1973). [27] Las simulaciones de Fraser incluyeron todos los elementos esenciales de los algoritmos modernos de partículas genéticas de selección de mutaciones.
Desde el punto de vista matemático, la distribución condicional de los estados aleatorios de una señal dadas algunas observaciones parciales y ruidosas se describe mediante una probabilidad de Feynman-Kac en las trayectorias aleatorias de la señal ponderada por una secuencia de funciones potenciales de verosimilitud. [6] [7] Quantum Monte Carlo , y más específicamente los métodos de Difusión Monte Carlo también se pueden interpretar como una aproximación de partículas de tipo genético de campo medio de las integrales de ruta de Feynman-Kac. [6] [7] [8] [12] [13] [28] [29] Los orígenes de los métodos Quantum Monte Carlo a menudo se atribuyen a Enrico Fermi y Robert Richtmyer, quienes desarrollaron en 1948 una interpretación de partículas de campo medio de neutrones. reacciones en cadena, [30] pero el primer algoritmo de partículas de tipo heurístico y genético (también conocido como métodos de Monte Carlo de reconfiguración o remuestreo) para estimar las energías del estado fundamental de los sistemas cuánticos (en modelos de matriz reducida) se debe a Jack H. Hetherington en 1984. [12] También se pueden citar los primeros trabajos seminales de Theodore E. Harris y Herman Kahn en física de partículas, publicados en 1951, utilizando métodos genéticos de campo medio pero de tipo heurístico para estimar las energías de transmisión de partículas. [31] En química molecular, el uso de metodologías de partículas de tipo heurístico genético (también conocidas como estrategias de poda y enriquecimiento) se remonta a 1955 con el trabajo fundamental de Marshall. N. Rosenbluth y Arianna. W. Rosenbluth. [11]
El uso de algoritmos de partículas genéticas en el procesamiento avanzado de señales y la inferencia bayesiana es más reciente. En enero de 1993, Genshiro Kitagawa desarrolló un "filtro Monte Carlo", [32] una versión ligeramente modificada de este artículo que apareció en 1996. [33] En abril de 1993, Gordon et al., Publicaron en su trabajo seminal [34] una del algoritmo de tipo genético en inferencia estadística bayesiana. Los autores llamaron a su algoritmo 'el filtro bootstrap' y demostraron que, en comparación con otros métodos de filtrado, su algoritmo bootstrap no requiere ninguna suposición sobre ese espacio de estados o el ruido del sistema. Independientemente, los de Pierre Del Moral [1] e Himilcon Carvalho, Pierre Del Moral, André Monin y Gérard Salut [35] sobre filtros de partículas publicados a mediados de los noventa. Los filtros de partículas también fueron desarrollados en el procesamiento de señales a principios de 1989-1992 por P. Del Moral, JC Noyer, G. Rigal y G. Salut en LAAS-CNRS en una serie de informes de investigación restringidos y clasificados con STCAN (Service Technique des Constructions et Armes Navales), la empresa informática DIGILOG y el LAAS-CNRS (Laboratorio de Análisis y Arquitectura de Sistemas) sobre problemas de procesamiento de señales RADAR / SONAR y GPS. [36] [37] [38] [39] [40] [41]
Fundamentos matemáticos
Desde 1950 hasta 1996, todas las publicaciones sobre filtros de partículas, algoritmos genéticos, incluidos los métodos de poda y remuestreo de Monte Carlo introducidos en la física computacional y la química molecular, presentan algoritmos naturales y heurísticos aplicados a diferentes situaciones sin una sola prueba de su consistencia. ni una discusión sobre el sesgo de las estimaciones y sobre algoritmos basados en árboles genealógicos y ancestrales.
Los fundamentos matemáticos y el primer análisis riguroso de estos algoritmos de partículas se deben a Pierre Del Moral [1] [3] en 1996. El artículo [1] también contiene una prueba de las propiedades insesgadas de una partícula aproximaciones de funciones de verosimilitud y condicional no normalizado medidas de probabilidad . El estimador de partículas insesgado de las funciones de verosimilitud que se presenta en este artículo se utiliza hoy en día en la inferencia estadística bayesiana.
Dan Crisan, Jessica Gaines y Terry Lyons, [42] [43] [44] y Dan Crisan, Pierre Del Moral y Terry Lyons también desarrollaron metodologías de partículas de tipo ramificado con diferentes tamaños de población a fines de la década de 1990 . [45] En 2000 P. Del Moral, A. Guionnet y L. Miclo desarrollaron más desarrollos en este campo. [7] [46] [47] Los primeros teoremas del límite central se deben a Pierre Del Moral y Alice Guionnet [48] en 1999 y a Pierre Del Moral y Laurent Miclo [7] en 2000. La primera convergencia uniforme resulta con respecto al El parámetro de tiempo para filtros de partículas fue desarrollado a finales de la década de 1990 por Pierre Del Moral y Alice Guionnet. [46] [47] El primer análisis riguroso de suavizadores de filtros de partículas basados en árboles genealógicos se debe a P. Del Moral y L. Miclo en 2001 [49]
La teoría sobre las metodologías de partículas de Feynman-Kac y los algoritmos de filtros de partículas relacionados se desarrolló en 2000 y 2004 en los libros. [7] [4] Estos modelos probabilísticos abstractos encapsulan algoritmos de tipo genético, filtros de partículas y bootstrap, filtros de Kalman interactivos (también conocidos como filtro de partículas Rao-Blackwellized [50] ), muestreo de importancia y técnicas de filtro de partículas de estilo remuestreo, incluidos los basados en árboles genealógicos y los filtros de partículas. metodologías hacia atrás para resolver problemas de filtrado y suavizado. Otras clases de metodologías de filtrado de partículas incluyen modelos basados en árboles genealógicos, [9] [4] [51] modelos de partículas de Markov hacia atrás, [9] [52] modelos de partículas de campo medio adaptativo, [5] modelos de partículas de tipo isla, [53] [54] y metodologías de Monte Carlo de cadena de Markov de partículas. [55] [56]
El problema del filtrado
Objetivo
El objetivo de un filtro de partículas es estimar la densidad posterior de las variables de estado dadas las variables de observación. El filtro de partículas está diseñado para un modelo de Markov oculto , donde el sistema consta de variables ocultas y observables. Las variables observables (proceso de observación) están relacionadas con las variables ocultas (proceso de estado) por alguna forma funcional que se conoce. De manera similar, el sistema dinámico que describe la evolución de las variables de estado también se conoce probabilísticamente.
Un filtro de partículas genérico estima la distribución posterior de los estados ocultos utilizando el proceso de medición de observación. Considere un espacio de estados que se muestra en el diagrama siguiente.
El problema del filtrado es estimar secuencialmente los valores de los estados ocultos, dados los valores del proceso de observación en cualquier momento paso k .
Todas las estimaciones bayesianas de se sigue de la densidad posterior p ( x k | y 0 , y 1 ,…, y k ). La metodología del filtro de partículas proporciona una aproximación de estas probabilidades condicionales utilizando la medida empírica asociada con un algoritmo de partículas de tipo genético. Por el contrario, el método de muestreo por importancia o MCMC modelaría la p posterior completa ( x 0 , x 1 ,…, x k | y 0 , y 1 ,…, y k ).
El modelo de observación de señales
Los métodos de partículas a menudo asumen y las observaciones se puede modelar de esta forma:
- es un proceso de Markov en (para algunos ) que evoluciona según la densidad de probabilidad de transición . Este modelo también se escribe a menudo de forma sintética como
- con una densidad de probabilidad inicial .
- Las observaciones tomar valores en algún espacio de estado en (para algunos ) y son condicionalmente independientes siempre que son conocidos. En otras palabras, cada solo depende de . Además, asumimos una distribución condicional para dado son absolutamente continuos, y de forma sintética tenemos
Un ejemplo de sistema con estas propiedades es:
donde ambos y son secuencias mutuamente independientes con conocidas funciones de probabilidad de densidad y g y h son funciones conocidas. Estas dos ecuaciones pueden verse como ecuaciones en el espacio de estados y son similares a las ecuaciones en el espacio de estados del filtro de Kalman. Si las funciones g y h en el ejemplo anterior son lineales, y si ambas y son gaussianos , el filtro de Kalman encuentra la distribución de filtrado bayesiana exacta. De lo contrario, los métodos basados en filtros de Kalman son una aproximación de primer orden ( EKF ) o una aproximación de segundo orden ( UKF en general, pero si la distribución de probabilidad es gaussiana, es posible una aproximación de tercer orden).
Se puede relajar el supuesto de que la distribución inicial y las transiciones de la cadena de Markov son absolutamente continuas con respecto a la medida de Lebesgue. Para diseñar un filtro de partículas, simplemente debemos asumir que podemos muestrear las transiciones de la cadena de Markov y calcular la función de verosimilitud (ver, por ejemplo, la descripción de la mutación de selección genética del filtro de partículas que se da a continuación). La suposición absolutamente continua sobre las transiciones de Markov de sólo se utilizan para derivar de forma informal (y bastante abusiva) diferentes fórmulas entre distribuciones posteriores utilizando la regla de Bayes para densidades condicionales.
Modelos de cálculo bayesiano aproximados
En algunos problemas, la distribución condicional de las observaciones dados los estados aleatorios de la señal puede no tener una densidad o puede ser imposible o demasiado compleja de calcular. [18] En esta situación, debemos recurrir a un nivel adicional de aproximación. Una estrategia es reemplazar la señal por la cadena de Markov e introducir una observación virtual de la forma
para alguna secuencia de secuencias independientes con funciones de densidad de probabilidad conocidas . La idea central es observar que
El filtro de partículas asociado con el proceso de Markov dadas las observaciones parciales se define en términos de partículas que evolucionan en con una función de probabilidad dada con alguna notación abusiva obvia por . Estas técnicas probabilísticas están estrechamente relacionadas con la Computación Bayesiana Aproximada (ABC). En el contexto de los filtros de partículas, estas técnicas de filtrado de partículas ABC fueron introducidas en 1998 por P. Del Moral, J. Jacod y P. Protter. [57] Fueron desarrollados por P. Del Moral, A. Doucet y A. Jasra. [58] [59]
La ecuación de filtrado no lineal
La regla de Bayes para la probabilidad condicional da:
dónde
Los filtros de partículas también son una aproximación, pero con suficientes partículas pueden ser mucho más precisos. [1] [3] [4] [46] [47] La ecuación de filtrado no lineal viene dada por la recursividad
(Ecuación 1)
con la convención para k = 0. El problema del filtrado no lineal consiste en calcular estas distribuciones condicionales secuencialmente.
Formulación de Feynman-Kac
Fijamos un horizonte de tiempo n y una secuencia de observaciones , y para cada k = 0, ..., n establecemos:
En esta notación, para cualquier función acotada F en el conjunto de trayectorias dedesde el origen k = 0 hasta el momento k = n , tenemos la fórmula de Feynman-Kac
Estos modelos de integración de ruta de Feynman-Kac surgen en una variedad de disciplinas científicas, incluidas la física computacional, la biología, la teoría de la información y las ciencias de la computación. [7] [9] [4] Sus interpretaciones dependen del dominio de la aplicación. Por ejemplo, si elegimos la función de indicadorde algún subconjunto del espacio de estados, representan la distribución condicional de una cadena de Markov dado que permanece en un tubo dado; es decir, tenemos:
y
tan pronto como la constante de normalización sea estrictamente positiva.
Filtros de partículas
Un algoritmo de partículas de tipo genético
Inicialmente comenzamos con N variables aleatorias independientes con densidad de probabilidad común . El algoritmo genético transiciones selección-mutación [1] [3]
imitar / aproximar las transiciones de actualización-predicción de la evolución óptima del filtro ( Ec. 1 ):
- Durante la transición de selección-actualización , muestreamos N (condicionalmente) variables aleatorias independientes con distribución común (condicional)
dónde representa la medida de Dirac en un estado dado a.
- Durante la transición de predicción de mutación, de cada partícula seleccionada tomamos muestras de forma independiente de una transición
En las fórmulas mostradas arriba representa la función de probabilidad evaluado en , y representa la densidad condicional evaluado en .
En cada tiempo k , tenemos las aproximaciones de partículas
y
En los algoritmos genéticos y la comunidad informática evolutiva , la cadena de Markov de selección de mutaciones descrita anteriormente se denomina a menudo algoritmo genético con selección proporcional. También se han propuesto en los artículos varias variantes de ramificación, incluso con tamaños de población aleatorios. [4] [42] [45]
Principios de Montecarlo
Los métodos de partículas, como todos los enfoques basados en muestreo (p. Ej., MCMC ), generan un conjunto de muestras que se aproximan a la densidad de filtrado.
Por ejemplo, podemos tener N muestras de la distribución posterior aproximada de, donde las muestras están etiquetadas con superíndices como
Entonces, las expectativas con respecto a la distribución de filtrado se aproximan por
(Ecuación 2)
con
dónde representa la medida de Dirac en un estado dado a. La función f , de la forma habitual para Monte Carlo, puede dar todos los momentos, etc. de la distribución hasta algún error de aproximación. Cuando se satisface la ecuación de aproximación ( Ec. 2 ) para cualquier función acotada f , escribimos
Los filtros de partículas se pueden interpretar como un algoritmo de partículas de tipo genético que evoluciona con transiciones de mutación y selección. Podemos hacer un seguimiento de las líneas ancestrales.
de las partículas . Los estados aleatorios, con los índices más bajos l = 0, ..., k, representa el ancestro del individuo en el nivel l = 0, ..., k. En esta situación, tenemos la fórmula de aproximación
(Ecuación 3)
con la medida empírica
Aquí F representa cualquier función fundada en el espacio de trayectoria de la señal. En una forma más sintética ( Ec. 3 ) es equivalente a
Los filtros de partículas se pueden interpretar de muchas formas diferentes. Desde el punto de vista probabilístico, coinciden con una interpretación de partículas de campo medio de la ecuación de filtrado no lineal. Las transiciones de actualización-predicción de la evolución óptima del filtro también se pueden interpretar como las transiciones de selección-mutación de tipo genético clásico de los individuos. La técnica de remuestreo de importancia secuencial proporciona otra interpretación de las transiciones de filtrado que combinan el muestreo de importancia con el paso de remuestreo de arranque. Por último, pero no menos importante, los filtros de partículas pueden verse como una metodología de aceptación-rechazo equipada con un mecanismo de reciclaje. [9] [4]
Simulación de partículas de campo medio
El principio probabilístico general
La evolución del filtrado no lineal se puede interpretar como un sistema dinámico en el conjunto de medidas de probabilidad de la siguiente forma dónde representa algún mapeo del conjunto de distribución de probabilidad en sí mismo. Por ejemplo, la evolución del predictor óptimo de un paso
satisface una evolución no lineal que comienza con la distribución de probabilidad . Una de las formas más sencillas de aproximar estas medidas de probabilidad es comenzar con N variables aleatorias independientes con distribución de probabilidad común . Supongamos que hemos definido una secuencia de N variables aleatorias tal que
En el siguiente paso, muestreamos N (condicionalmente) variables aleatorias independientes con el derecho consuetudinario.
Una interpretación de partículas de la ecuación de filtrado.
Ilustramos este principio de partículas de campo medio en el contexto de la evolución de los predictores óptimos de un paso.
(Ecuación 4)
Para k = 0 usamos la convención.
Según la ley de los grandes números, tenemos
en el sentido de que
para cualquier función acotada . Suponemos además que hemos construido una secuencia de partículasen algún rango k tal que
en el sentido de que para cualquier función acotada tenemos
En esta situación, reemplazando por la medida empírica En la ecuación de evolución del filtro óptimo de un paso indicado en ( Ec. 4 ) encontramos que
Observe que el lado derecho de la fórmula anterior es una mezcla de probabilidad ponderada
dónde representa la densidad evaluado en , y representa la densidad evaluado en por
Luego, muestreamos N variable aleatoria independiente con densidad de probabilidad común así que eso
Repitiendo este procedimiento, diseñamos una cadena de Markov tal que
Observe que el filtro óptimo se aproxima en cada paso de tiempo k usando las fórmulas de Bayes
La terminología "aproximación de campo medio" proviene del hecho de que reemplazamos en cada paso de tiempo la medida de probabilidad por la aproximación empírica . La aproximación de partículas de campo medio del problema de filtrado está lejos de ser única. En los libros se desarrollan varias estrategias. [9] [4]
Algunos resultados de convergencia
El análisis de la convergencia de los filtros de partículas se inició en 1996 [1] [3] y en 2000 en el libro [7] y la serie de artículos. [45] [46] [47] [48] [49] [60] [61] Se pueden encontrar desarrollos más recientes en los libros, [9] [4] Cuando la ecuación de filtrado es estable (en el sentido de que corrige cualquier condición inicial errónea), el sesgo y la varianza de las estimaciones de partículas de partículas
están controlados por las estimaciones uniformes no asintóticas
para cualquier función f limitada por 1, y para algunas constantes finitas Además, para cualquier :
para algunas constantes finitas relacionado con el sesgo asintótico y la varianza de la estimación de partículas, y alguna constante finita c . Se satisfacen los mismos resultados si reemplazamos el predictor óptimo de un paso por la aproximación de filtro óptima.
Árboles genealógicos y propiedades de imparcialidad
Suavizado de partículas basado en árboles genealógicos
Rastreando en el tiempo las líneas ancestrales
de los individuos y en cada paso de tiempo k , también tenemos las aproximaciones de partículas
Estas aproximaciones empíricas son equivalentes a las aproximaciones integrales de partículas
para cualquier función limitada F en las trayectorias aleatorias de la señal. Como se muestra en [51], la evolución del árbol genealógico coincide con una interpretación de partículas de campo medio de las ecuaciones de evolución asociadas con las densidades posteriores de las trayectorias de señales. Para obtener más detalles sobre estos modelos de espacio de ruta, consulte los libros. [9] [4]
Estimaciones de partículas no sesgadas de funciones de verosimilitud
Usamos la fórmula del producto
con
y las convenciones y para k = 0. Reemplazopor la aproximación empírica
en la fórmula mostrada arriba, diseñamos la siguiente aproximación de partículas insesgada de la función de verosimilitud
con
dónde representa la densidad evaluado en . El diseño de esta estimación de partículas y la propiedad de insesgabilidad se demostraron en 1996 en el artículo. [1] Se pueden encontrar estimaciones de varianza refinadas en [4] y. [9]
Suavizadores de partículas hacia atrás
Usando la regla de Bayes, tenemos la fórmula
Darse cuenta de
Esto implica que
Reemplazo de los predictores óptimos de un paso por las medidas empíricas de partículas
encontramos eso
Concluimos que
con la aproximación de partículas hacia atrás
La medida de probabilidad
es la probabilidad de los caminos aleatorios de una cadena de Markov retrocediendo en el tiempo desde el tiempo k = n hasta el tiempo k = 0, y evolucionando en cada paso de tiempo k en el espacio de estados asociado con la población de partículas
- Inicialmente (en el momento k = n) la cadena elige aleatoriamente un estado con la distribución
- Desde el tiempo k hasta el tiempo (k-1), la cadena que comienza en algún estado para algunos en el momento k se mueve en el momento (k-1) a un estado aleatorio elegido con la probabilidad ponderada discreta
En la fórmula mostrada arriba, representa la distribución condicional evaluado en . En la misma vena, y representan las densidades condicionales y evaluado en y Estos modelos permiten reducir la integración con respecto a las densidades en términos de operaciones matriciales con respecto a las transiciones de Markov de la cadena descrita anteriormente. [52] Por ejemplo, para cualquier función tenemos las estimaciones de partículas
dónde
Esto también muestra que si
luego
Algunos resultados de convergencia
Supondremos que la ecuación de filtrado es estable, en el sentido de que corrige cualquier condición inicial errónea.
En esta situación, las aproximaciones de partículas de las funciones de verosimilitud son insesgadas y la varianza relativa está controlada por
para alguna constante finita c . Además, para cualquier:
para algunas constantes finitas relacionado con el sesgo asintótico y la varianza de la estimación de partículas, y para alguna constante finita c .
El sesgo y la varianza de las estimaciones de partículas de partículas basadas en las líneas ancestrales de los árboles genealógicos.
están controlados por las estimaciones uniformes no asintóticas
para cualquier función F limitada por 1, y para algunas constantes finitas Además, para cualquier :
para algunas constantes finitas relacionado con el sesgo asintótico y la varianza de la estimación de partículas, y para alguna constante finita c . El mismo tipo de estimaciones de sesgo y varianza se aplica a los suavizadores de partículas hacia atrás. Para funcionales aditivos de la forma
con
con funciones delimitado por 1, tenemos
y
para algunas constantes finitas Se desarrollan estimaciones más refinadas que incluyen una probabilidad exponencialmente pequeña de errores. [9]
Remuestreo de importancia secuencial (SIR)
Filtro de Monte Carlo y filtro de arranque
Importancia secuencial remuestreo (SIR) , Monte Carlo de filtración (Kitagawa 1993 [32] ) y el algoritmo de arranque de filtración (Gordon et al. 1993 [34] ), también se aplican comúnmente algoritmos de filtrado, que se aproximan a la densidad de probabilidad de filtrarpor un conjunto ponderado de N muestras
Los pesos de importancia son aproximaciones a las probabilidades posteriores relativas (o densidades) de las muestras de manera que
El muestreo de importancia secuencial (SIS) es una versión secuencial (es decir, recursiva) del muestreo de importancia . Como en el muestreo de importancia, la expectativa de una función f puede aproximarse como un promedio ponderado
Para un conjunto finito de muestras, el rendimiento del algoritmo depende de la elección de la distribución de la propuesta.
- .
La distribución de propuesta " óptima" se da como distribución de destino.
P. Del Moral propuso esta elección particular de transición de la propuesta en 1996 y 1998. [3] Cuando es difícil muestrear las transiciones de acuerdo con la distribución una estrategia natural es utilizar la siguiente aproximación de partículas
con la aproximación empírica
asociado con N (o cualquier otro gran número de muestras) muestras aleatorias independientescon la distribución condicional del estado aleatorio dado . La consistencia del filtro de partículas resultante de esta aproximación y otras extensiones se desarrolla en. [3] En la pantalla anteriorrepresenta la medida de Dirac en un estado dado a.
Sin embargo, la distribución de probabilidad previa de transición se usa a menudo como función de importancia, ya que es más fácil extraer partículas (o muestras) y realizar cálculos de peso de importancia posteriores:
Los filtros de remuestreo de importancia secuencial (SIR) con distribución de probabilidad previa de transición como función de importancia se conocen comúnmente como filtro de arranque y algoritmo de condensación .
El remuestreo se utiliza para evitar el problema de la degeneración del algoritmo, es decir, evitar la situación de que todos los pesos de importancia menos uno estén cerca de cero. El rendimiento del algoritmo también puede verse afectado por la elección adecuada del método de remuestreo. El muestreo estratificado propuesto por Kitagawa (1993 [32] ) es óptimo en términos de varianza.
Un solo paso de remuestreo de importancia secuencial es el siguiente:
- 1) Para extraer muestras de la distribución de la propuesta
- 2) Para actualice las ponderaciones de importancia hasta una constante de normalización:
- Tenga en cuenta que cuando usamos la distribución de probabilidad previa de transición como función de importancia,
- esto se simplifica a lo siguiente:
- 3) Para calcular los pesos de importancia normalizados:
- 4) Calcule una estimación del número efectivo de partículas como
- Este criterio refleja la varianza de los pesos, otros criterios se pueden encontrar en el artículo, [5] incluyendo su análisis riguroso y teoremas del límite central.
- 5) Si el número efectivo de partículas es menor que un umbral dado , luego realice un remuestreo:
- a) Dibuja N partículas del conjunto de partículas actual con probabilidades proporcionales a sus pesos. Reemplace el conjunto de partículas actual con este nuevo.
- b) Para colocar
El término "remuestreo de importancia del muestreo" también se utiliza a veces cuando se hace referencia a los filtros SIR, pero el término remuestreo de importancia es más preciso porque la palabra "remuestreo" implica que el muestreo inicial ya se ha realizado. [62]
Muestreo de importancia secuencial (SIS)
- Es lo mismo que el remuestreo de importancia secuencial, pero sin la etapa de remuestreo.
Algoritmo de "versión directa"
El algoritmo de "versión directa" [ cita requerida ] es bastante simple (en comparación con otros algoritmos de filtrado de partículas) y utiliza composición y rechazo. Para generar una sola muestra x en k a partir de:
- 1) Establezca n = 0 (esto contará el número de partículas generadas hasta ahora)
- 2) Elija uniformemente un índice i del rango
- 3) Genera una prueba de la distribución con
- 4) Genere la probabilidad de utilizando de dónde es el valor medido
- 5) Genera otro uniforme u de dónde
- 6) Compara u y
- 6a) Si u es más grande, repita desde el paso 2
- 6b) Si u es más pequeño, guarde como e incrementar n
- 7) Si n == N entonces salga
El objetivo es generar P "partículas" en k utilizando solo las partículas de. Esto requiere que se pueda escribir (y calcular) una ecuación de Markov para generar una basado solo en . Este algoritmo utiliza la composición de las partículas P depara generar una partícula en k y se repite (pasos 2-6) hasta que se generan partículas P en k .
Esto se puede visualizar más fácilmente si x se ve como una matriz bidimensional. Una dimensión es k y la otra dimensión es el número de partículas. Por ejemplo,sería la i- ésima partícula en y también se puede escribir (como se hizo anteriormente en el algoritmo). El paso 3 genera un potencial basado en una partícula elegida al azar () en el momento y lo rechaza o acepta en el paso 6. En otras palabras, el los valores se generan utilizando el generado previamente .
Otros filtros de partículas
- Filtro de partículas naturales exponencial [63]
- Filtro de partículas auxiliar [64]
- Filtro de partículas auxiliar regularizado [65]
- Filtro de partículas gaussianas
- Filtro de partículas sin perfume
- Filtro de partículas Gauss-Hermite
- Filtro de partículas de referencia de costo
- Filtro de partículas jerárquico / escalable [66]
- Filtro de partículas Rao-Blackwellized [50]
- Filtro de partículas óptimo basado en muestreo de rechazo [67] [68]
- Filtro de partículas empujado [69]
- Feynman-Kac y metodologías de partículas de campo medio [1] [9] [4]
- Partícula Markov-Chain Monte-Carlo, véase, por ejemplo, el algoritmo pseudo-marginal Metropolis-Hastings .
Ver también
- Métodos de partículas de campo medio
- Algoritmo genético
- Filtro de conjunto de Kalman
- Filtrado generalizado
- Estimación de horizonte móvil
- Estimación bayesiana recursiva
- Localización de Monte Carlo
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( ayuda ) - Vaswani, N .; Rathi, Y .; Yezzi, A .; Tannenbaum, A. (2007). "Seguimiento de objetos deformantes mediante filtrado de partículas para contornos activos geométricos" . Transacciones IEEE sobre análisis de patrones e inteligencia de máquinas . 29 (8): 1470–1475. doi : 10.1109 / tpami.2007.1081 . PMC 3663080 . PMID 17568149 .
enlaces externos
- Modelos de Feynman-Kac y algoritmos de partículas interactivas (también conocido como filtrado de partículas) Aspectos teóricos y una lista de dominios de aplicación de los filtros de partículas
- Página de inicio de los métodos secuenciales de Monte Carlo (filtrado de partículas) en la Universidad de Cambridge
- Animaciones MCL de Dieter Fox
- El software gratuito de Rob Hess
- SMCTC: una clase de plantilla para implementar algoritmos SMC en C ++
- Applet de Java sobre filtrado de partículas
- vSMC: Monte Carlo secuencial vectorizado
- Filtro de partículas explicado en el contexto del automóvil autónomo