El enlace Peaucellier-Lipkin (o célula de Peaucellier-Lipkin , o inversor de Peaucellier-Lipkin ), inventado en 1864, fue el primer mecanismo de línea recta plana verdadera : el primer enlace plano capaz de transformar el movimiento rotatorio en un movimiento en línea recta perfecta , y viceversa. al revés. Lleva el nombre de Charles-Nicolas Peaucellier (1832-1913), un oficial del ejército francés, y Yom Tov Lipman Lipkin (1846-1876), un judío lituano e hijo del famoso rabino Israel Salanter . [1] [2]
Hasta esta invención, no existía ningún método plano para convertir el movimiento en línea recta exacta en movimiento circular, sin guías de referencia. En 1864, toda la energía provenía de las máquinas de vapor , que tenían un pistón que se movía en línea recta hacia arriba y hacia abajo de un cilindro. Este pistón necesitaba mantener un buen sellado con el cilindro para retener el medio impulsor y no perder eficiencia energética debido a fugas. El pistón hace esto permaneciendo perpendicular al eje del cilindro, conservando su movimiento en línea recta. Convertir el movimiento en línea recta del pistón en movimiento circular fue de vital importancia. La mayoría, si no todas, las aplicaciones de estas máquinas de vapor eran rotativas.
Las matemáticas del enlace Peaucellier-Lipkin están directamente relacionadas con la inversión de un círculo.
Enlace Sarrus anterior
Existe un mecanismo de línea recta anterior, cuya historia no se conoce bien, llamado enlace de Sarrus . Este enlace es anterior al enlace Peaucellier-Lipkin en 11 años y consiste en una serie de placas rectangulares con bisagras, dos de las cuales permanecen paralelas pero se pueden mover normalmente entre sí. El enlace de Sarrus es de una clase tridimensional a veces conocida como manivela espacial , a diferencia del enlace Peaucellier-Lipkin, que es un mecanismo plano.
Geometría
En el diagrama geométrico del aparato se pueden ver seis barras de longitud fija: OA, OC, AB, BC, CD, DA. La longitud de OA es igual a la longitud de OC, y las longitudes de AB, BC, CD y DA son todas iguales formando un rombo . Además, el punto O es fijo. Entonces, si el punto B está obligado a moverse a lo largo de un círculo (por ejemplo, uniéndolo a una barra con una longitud a medio camino entre O y B; la ruta se muestra en rojo) que pasa por O, entonces el punto D necesariamente tendrá que moverse. a lo largo de una línea recta (mostrada en azul). Por otro lado, si el punto B estuviera obligado a moverse a lo largo de una línea (sin pasar por O), entonces el punto D tendría que moverse necesariamente a lo largo de un círculo (pasando por O).
Prueba matemática de concepto
Colinealidad
Primero, debe probarse que los puntos O, B, D son colineales . Esto se puede ver fácilmente al observar que el enlace es simétrico en espejo con respecto a la línea OD, por lo que el punto B debe caer sobre esa línea.
Más formalmente, los triángulos BAD y BCD son congruentes porque el lado BD es congruente consigo mismo, el lado BA es congruente con el lado BC y el lado AD es congruente con el lado CD. Por tanto, los ángulos ABD y CBD son iguales.
A continuación, los triángulos OBA y OBC son congruentes, ya que los lados OA y OC son congruentes, el lado OB es congruente consigo mismo y los lados BA y BC son congruentes. Por tanto, los ángulos OBA y OBC son iguales.
Finalmente, debido a que forman un círculo completo, tenemos
- ∠OBA + ∠ABD + ∠DBC + ∠CBO = 360 °
pero, debido a las congruencias, ángulo OBA = ángulo OBC y ángulo DBA = ángulo DBC, así
- 2 × ∠OBA + 2 × ∠DBA = 360 °
- ∠OBA + ∠DBA = 180 °
por lo tanto, los puntos O, B y D son colineales.
Puntos inversos
Sea el punto P la intersección de las rectas AC y BD. Entonces, dado que ABCD es un rombo , P es el punto medio de ambos segmentos de línea BD y AC. Por tanto, longitud BP = longitud PD.
El triángulo BPA es congruente con el triángulo DPA, porque el lado BP es congruente con el lado DP, el lado AP es congruente consigo mismo y el lado AB es congruente con el lado AD. Por tanto, ángulo BPA = ángulo DPA. Pero dado que el ángulo BPA + ángulo DPA = 180 °, entonces 2 × ángulo BPA = 180 °, ángulo BPA = 90 ° y ángulo DPA = 90 °.
Dejar:
Luego:
- (debido al teorema de Pitágoras )
- (misma expresión expandida)
- (Teorema de pitágoras)
Dado que OA y AD son longitudes fijas, entonces el producto de OB y OD es una constante:
y como los puntos O, B, D son colineales, entonces D es la inversa de B con respecto al círculo (O, k ) con centro O y radio k .
Geometría inversora
Así, por las propiedades de la geometría inversa , dado que la figura trazada por el punto D es la inversa de la figura trazada por el punto B, si B traza un círculo que pasa por el centro de inversión O, entonces D está obligado a trazar una línea recta. Pero si B traza una línea recta que no pasa por O, entonces D debe trazar un arco de círculo que pasa por O. QED
Un conductor típico
Los enlaces Peaucellier-Lipkin (PLL) pueden tener varias inversiones. En la figura opuesta se muestra un ejemplo típico, en el que un balancín deslizante de cuatro barras sirve como controlador de entrada. Para ser precisos, el control deslizante actúa como la entrada, que a su vez impulsa el enlace a tierra derecho del PLL, impulsando así todo el PLL.
Notas históricas
Sylvester ( Collected Works , Vol. 3, Documento 2) escribe que cuando le mostró un modelo a Kelvin , “lo amamantó como si hubiera sido su propio hijo, y cuando se hizo una moción para aliviarlo, respondió 'No ! No he tenido suficiente, es lo más hermoso que he visto en mi vida '”.
Referencias culturales
Una escultura de escala monumental que implementa el enlace en puntales iluminados se encuentra en exhibición permanente en Eindhoven, Países Bajos . La obra de arte mide 22 por 15 por 16 metros (72 pies × 49 pies × 52 pies), pesa 6.600 kilogramos (14.600 libras) y se puede operar desde un panel de control accesible al público en general. [3]
Ver también
Referencias
- ^ "Tutorial matemático del vínculo Peaucellier-Lipkin" . Kmoddl.library.cornell.edu . Consultado el 6 de diciembre de 2011 .
- ^ Taimina, Daina. "Cómo dibujar una línea recta por Daina Taimina" . Kmoddl.library.cornell.edu . Consultado el 6 de diciembre de 2011 .
- ^ "El hecho de que seas un personaje no significa que tengas carácter" . Ivo Schoofs . Consultado el 14 de agosto de 2017 .
Bibliografía
- Ogilvy, CS (1990), Excursiones en geometría , Dover, págs. 46–48 , ISBN 0-486-26530-7
- Bryant, John; Sangwin, Chris (2008). ¿Qué tan redondo es tu círculo? : donde se encuentran la ingeniería y las matemáticas . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 33–38, 60–63. ISBN 978-0-691-13118-4. - prueba y discusión del vínculo Peaucellier-Lipkin, modelos matemáticos y mecánicos del mundo real
- Coxeter HSM , Greitzer SL (1967). La geometría revisada . Washington : MAA . págs. 108-111 . ISBN 978-0-88385-619-2. (y referencias citadas en el mismo)
- Hartenberg, RS & J. Denavit (1964) Síntesis cinemática de enlaces , págs. 181–5, Nueva York: McGraw – Hill, enlace web de la Universidad de Cornell .
- Johnson RA (1960). Geometría euclidiana avanzada: tratado elemental sobre la geometría del triángulo y el círculo (reimpresión de la edición de 1929 de Houghton Miflin ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover. págs. 46–51. ISBN 978-0-486-46237-0.
- Wells D (1991). El Diccionario Penguin de Geometría Curiosa e Interesante . Nueva York: Penguin Books. pag. 120 . ISBN 0-14-011813-6.
enlaces externos
- Cómo dibujar una línea recta, videoclips en línea de vínculos con subprogramas interactivos.
- Cómo dibujar una línea recta, discusión histórica sobre el diseño de enlaces
- Applet interactivo de Java con prueba.
- Enlace Peaucellier-Lipkin animado de Java
- Artículo de la Enciclopedia judía sobre Lippman Lipkin y su padre Israel Salanter
- El aparato Peaucellier cuenta con un subprograma interactivo
- Una simulación utilizando el software Molecular Workbench
- Un enlace relacionado llamado Hart's Inversor.
- Enlace de brazo robótico de Peaucellier modificado (vídeo de Vex Team 1508)