Notación gráfica de Penrose

En matemáticas y física , la notación gráfica de Penrose o la notación de diagrama de tensores es una representación visual (generalmente escrita a mano) de funciones multilineales o tensores propuestos por Roger Penrose en 1971. ^[1] Un diagrama en la notación consta de varias formas unidas por líneas. La notación ha sido estudiada extensamente por Predrag Cvitanović , quien la usó, los diagramas de Feynman y otras notaciones relacionadas en el desarrollo de huellas de pájaros (una versión teórica de grupo de los diagramas de Feynman) para clasificar los grupos de Lie clásicos . ^[2]La notación de Penrose también se ha generalizado utilizando la teoría de la representación para hacer girar redes en física y con la presencia de grupos de matrices para trazar diagramas en álgebra lineal . La notación aparece ampliamente en la teoría cuántica moderna , particularmente en estados de productos de matrices y circuitos cuánticos .

En el lenguaje del álgebra multilineal , cada forma representa una función multilineal . Las líneas adjuntas a las formas representan las entradas o salidas de una función, y unir formas de alguna manera es esencialmente la composición de funciones .

En el lenguaje del álgebra de tensores , un tensor particular está asociado con una forma particular con muchas líneas que se proyectan hacia arriba y hacia abajo, correspondientes a los índices superior e inferior abstractos de los tensores, respectivamente. La conexión de líneas entre dos formas corresponde a la contracción de los índices . Una ventaja de esta notación es que no es necesario inventar nuevas letras para nuevos índices. Esta notación también es explícitamente independiente de la base . ^[3]

Cada forma representa una matriz, y la multiplicación de tensores se realiza horizontalmente, y la multiplicación de matrices se realiza verticalmente.

El tensor métrico se representa mediante un bucle en forma de U o un bucle en forma de U invertido, según el tipo de tensor que se utilice.

El tensor antisimétrico de Levi-Civita está representado por una barra horizontal gruesa con palos apuntando hacia abajo o hacia arriba, según el tipo de tensor que se utilice.

Notación gráfica de Penrose (notación de diagrama tensorial) de un estado de producto de matriz de cinco partículas.

tensor métrico${\displaystyle g^{ab}}$

tensor métrico${\displaystyle g_{ab}}$

${\ estilo de visualización \ varepsilon _ {ab \ ldots n}}$

${\displaystyle \varepsilon ^{ab\ldots n}}$

${\ estilo de visualización \ varepsilon _ {ab \ ldots n} \, \ varepsilon ^ {ab \ ldots n}}$${\ estilo de visualización = n!}$

constante de estructura${\displaystyle {\gamma _{\alpha \beta }}^{\chi }=-{\gamma _{\beta \alpha }}^{\chi }}$

delta de Kronecker ${\displaystyle \delta _{b}^{a}}$

producto punto ${\displaystyle \beta _{a}\,\xi ^{a}}$

${\displaystyle g_{ab}\,g^{bc}=\delta _{a}^{c}=g^{cb}\,g_{ba}}$

Simetrización (con )
${\displaystyle Q^{(ab\ldots n)}}$
${\displaystyle {}_{Q^{ab}=Q^{[ab]}+Q^{(ab)}}}$

Antisimetrización (con )
${\displaystyle E_{[ab\ldots n]}}$
${\displaystyle {}_{E_{ab}=E_{[ab]}+E_{(ab)}}}$

Determinante ${\displaystyle \det \mathbf {T} =\det \left(T_{\ b}^{a}\right)}$

Inversa de matriz${\displaystyle \mathbf {T} ^{-1}=\left(T_{\ b}^{a}\right)^{-1}}$

derivada covariante${\displaystyle 12\nabla _{a}\left(\xi ^{f}\,\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}\right)}$ ${\displaystyle =12\left(\xi ^{f}(\nabla _{a}\lambda _{fb[c}^{(d})\,D_{gh]}^{e)b}+(\nabla _{a}\xi ^{f})\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}+\xi ^{f}\lambda _{fb[c}^{(d}\,(\nabla _{a}D_{gh]}^{e)b})\right)}$

Notación para el tensor de curvatura de Riemann

tensor de Ricci ${\displaystyle R_{ab}=R_{acb}^{\ \ \ c}}$

identidad ricci${\displaystyle (\nabla _{a}\,\nabla _{b}-\nabla _{b}\,\nabla _{a})\,\mathbf {\xi } ^{d}}$${\displaystyle =R_{abc}^{\ \ \ d}\,\mathbf {\xi } ^{c}}$

identidad bianchi ${\displaystyle \nabla _{[a}R_{bc]d}^{\ \ \ e}=0}$