Las letras estándar para denotar el símbolo de Levi-Civita son la minúscula griega épsilon ε o ϵ , o menos comúnmente la minúscula latina e . La notación de índice permite mostrar permutaciones de una manera compatible con el análisis de tensor:
donde cada índice i 1 , i 2 , ..., i n toma valores 1, 2, ..., n . Hay n n valores indexados de ε i 1 i 2 … i n , que se pueden organizar en una matriz n- dimensional. La propiedad clave que define al símbolo es la antisimetría total en los índices. Cuando se intercambian dos índices cualesquiera, iguales o no, el símbolo se niega:
Si dos índices son iguales, el símbolo es cero. Cuando todos los índices son desiguales, tenemos:
donde p (llamado la paridad de la permutación) es el número de intercambios de índices por pares necesarios para descifrar i 1 , i 2 , ..., i n en el orden 1, 2, ..., n , y el factor ( −1) p se denomina signo o firma de la permutación. Se debe definir el valor ε 1 2 ... n , de lo contrario, los valores particulares del símbolo para todas las permutaciones son indeterminados. La mayoría de los autores eligen ε 1 2 ... n = +1 , lo que significa que el símbolo de Levi-Civita es igual al signo de una permutación cuando todos los índices son desiguales. Esta opción se utiliza a lo largo de este artículo.
El término " símbolo n- dimensional de Levi-Civita" se refiere al hecho de que el número de índices en el símbolo n coincide con la dimensionalidad del espacio vectorial en cuestión, que puede ser euclidiana o no euclidiana , por ejemplo, ℝ 3 o Minkowski. espacio . Los valores del símbolo de Levi-Civita son independientes de cualquier tensor métrico y sistema de coordenadas . Además, el término específico "símbolo" enfatiza que no es un tensor debido a cómo se transforma entre sistemas de coordenadas; sin embargo, se puede interpretar como una densidad tensorial .
El símbolo de Levi-Civita se usa con mayor frecuencia en tres y cuatro dimensiones, y hasta cierto punto en dos dimensiones, por lo que estos se dan aquí antes de definir el caso general.
El uso del símbolo bidimensional es relativamente poco común, aunque en ciertos temas especializados como la supersimetría [1] y la teoría de twistor [2] aparece en el contexto de 2 espinores . Los símbolos de Levi-Civita tridimensionales y superiores se utilizan con más frecuencia.
Tres dimensiones
Para los índices ( i , j , k ) en ε ijk , los valores 1, 2, 3 que ocurren en el orden cíclico (1, 2, 3) corresponde a ε = +1 , mientras que ocurre en el el orden cíclico inverso corresponde a ε = −1 , de lo contrario ε = 0 .
Es decir, ε ijk es 1 si ( i , j , k ) es una permutación par de (1, 2, 3) , −1 si es una permutación impar y 0 si se repite algún índice. Solo en tres dimensiones, las permutaciones cíclicas de (1, 2, 3) son todas permutaciones pares, de manera similar, las permutaciones anticíclicas son todas permutaciones impares. Esto significa que en 3d es suficiente tomar permutaciones cíclicas o anticíclicas de (1, 2, 3) y obtener fácilmente todas las permutaciones pares o impares.
De forma análoga a las matrices bidimensionales, los valores del símbolo Levi-Civita tridimensional se pueden organizar en una matriz de 3 × 3 × 3 :
donde i es la profundidad ( azul : i = 1 ; rojo : i = 2 ; verde : i = 3 ), j es la fila y k es la columna.
Estos valores se pueden organizar en una matriz de 4 × 4 × 4 × 4 , aunque en 4 dimensiones y más, esto es difícil de dibujar.
Algunos ejemplos:
Generalización a n dimensiones
De manera más general, en n dimensiones , el símbolo Levi-Civita se define por: [4]
Por tanto, es el signo de la permutación en el caso de una permutación y cero en caso contrario.
Usando la notación pi mayúscula ∏ para la multiplicación ordinaria de números, una expresión explícita para el símbolo es:
donde la función signum (denotada sgn ) devuelve el signo de su argumento mientras descarta el valor absoluto si es distinto de cero. La fórmula es válida para todos los valores de índice y para cualquier n (cuando n = 0 o n = 1 , este es el producto vacío ). Sin embargo, calcular la fórmula anterior ingenuamente tiene una complejidad de tiempo de O ( n 2 ) , mientras que el signo se puede calcular a partir de la paridad de la permutación de sus ciclos disjuntos en solo O ( n log ( n )) costo.
Propiedades
Un tensor cuyos componentes en una base ortonormal están dados por el símbolo Levi-Civita (un tensor de rango covariante n ) a veces se denomina tensor de permutación .
Bajo las reglas de transformación ordinarias para tensores, el símbolo de Levi-Civita no cambia bajo rotaciones puras, consistente con que es (por definición) el mismo en todos los sistemas de coordenadas relacionados por transformaciones ortogonales. Sin embargo, el símbolo de Levi-Civita es un pseudotensor porque bajo una transformación ortogonal del determinante jacobiano -1, por ejemplo, un reflejo en un número impar de dimensiones, debería adquirir un signo menos si fuera un tensor. Como no cambia en absoluto, el símbolo de Levi-Civita es, por definición, un pseudotensor.
Como el símbolo de Levi-Civita es un pseudotensor, el resultado de tomar un producto cruzado es un pseudovector , no un vector. [5]
Bajo un cambio de coordenadas general , los componentes del tensor de permutación se multiplican por el jacobiano de la matriz de transformación . Esto implica que en marcos de coordenadas diferentes a aquel en el que se definió el tensor, sus componentes pueden diferir de los del símbolo Levi-Civita por un factor global. Si el marco es ortonormal, el factor será ± 1 dependiendo de si la orientación del marco es la misma o no. [5]
En notación tensorial sin índice, el símbolo de Levi-Civita se reemplaza por el concepto del dual de Hodge .
Los símbolos de suma se pueden eliminar utilizando la notación de Einstein , donde un índice repetido entre dos o más términos indica una suma sobre ese índice. Por ejemplo,
.
En los siguientes ejemplos, se utiliza la notación de Einstein.
Dos dimensiones
En dos dimensiones, cuando todos i , j , m , n toman los valores 1 y 2, [3]
( 1 )
( 2 )
( 3 )
Tres dimensiones
Valores de índice y símbolo
En tres dimensiones, cuando todos i , j , k , m , n toman valores 1, 2 y 3: [3]
( 4 )
( 5 )
( 6 )
Producto
El símbolo de Levi-Civita está relacionado con el delta de Kronecker . En tres dimensiones, la relación viene dada por las siguientes ecuaciones (las líneas verticales denotan el determinante): [4]
Un caso especial de este resultado es ( 4 ):
a veces llamado la " identidad épsilon contraída ".
En notación de Einstein, la duplicación del índice i implica la suma de i . El anterior entonces se denota ε ijk ε imn = δ jm δ kn - δ jn δ km .
n dimensiones
Valores de índice y símbolo
En n dimensiones, cuando todo i 1 ,…, i n , j 1 , ..., j n toman valores 1, 2, ..., n :
( 7 )
( 8 )
( 9 )
donde el signo de exclamación ( ! ) denota el factorial , y δα … β …es el delta de Kronecker generalizado . Para cualquier n , la propiedad
se desprende de los hechos que
cada permutación es par o impar,
(+1) 2 = (−1) 2 = 1 , y
¡el número de permutaciones de cualquier número de conjunto de n elementos es exactamente n ! .
Producto
En general, para n dimensiones, se puede escribir el producto de dos símbolos Levi-Civita como:
.
Pruebas
Para ( 1 ), ambos lados son antisimétricos con respecto a ij y mn . Por lo tanto, solo necesitamos considerar el caso i ≠ j y m ≠ n . Por sustitución, vemos que la ecuación es válida para ε 12 ε 12 , es decir, para i = m = 1 y j = n = 2 . (Ambos lados son entonces uno). Dado que la ecuación es antisimétrica en ij y mn , cualquier conjunto de valores para estos se puede reducir al caso anterior (que se cumple). Por tanto, la ecuación es válida para todos los valores de ij y mn .
Usando ( 1 ), tenemos para ( 2 )
Aquí usamos la convención de suma de Einstein con i yendo de 1 a 2. A continuación, ( 3 ) sigue de manera similar a ( 2 ).
Para establecer ( 5 ), observe que ambos lados desaparecen cuando i ≠ j . En efecto, si i ≠ j , entonces uno puede no elegir m y n de tal manera que ambos símbolos de permutación de la izquierda son distintos de cero. Luego, con i = j fijo, sólo hay dos maneras de elegir m y n de los dos índices restantes. Para cualquiera de estos índices, tenemos
(sin suma), y el resultado sigue.
¡Entonces sigue ( 6 ) ya que 3! = 6 y para cualquier índice distinto i , j , k tomando los valores 1, 2, 3 , tenemos
(sin suma, distinto i , j , k )
Aplicaciones y ejemplos
Determinantes
En álgebra lineal, el determinante de una matriz cuadrada de 3 × 3 A = [ a ij ] se puede escribir [6]
De manera similar, el determinante de una matriz n × n A = [ a ij ] se puede escribir como [5]
donde cada i r debe sumarse a 1, ..., n , o de manera equivalente:
donde ahora cada i r y cada j r deben sumarse en 1,…, n . De manera más general, tenemos la identidad [5]
Producto cruzado vectorial
Producto cruzado (dos vectores)
Dejar una base ortonormal orientada positivamente de un espacio vectorial. Si ( un 1 , un 2 , un 3 ) y ( b 1 , b 2 , b 3 ) son las coordenadas de los vectores un y b en esta base, entonces su producto cruz se puede escribir como un determinante: [5]
de ahí que también use el símbolo Levi-Civita, y más simplemente:
En la notación de Einstein, los símbolos de suma pueden omitirse y el i- ésimo componente de su producto cruzado es igual a [4]
El primer componente es
luego, mediante permutaciones cíclicas de 1, 2, 3, los demás se pueden derivar inmediatamente, sin calcularlos explícitamente a partir de las fórmulas anteriores:
Producto escalar triple (tres vectores)
De la expresión anterior para el producto cruzado, tenemos:
.
Si c = ( c 1 , c 2 , c 3 ) es un tercer vector, entonces el producto escalar triple es igual a
A partir de esta expresión, se puede ver que el producto escalar triple es antisimétrico al intercambiar cualquier par de argumentos. Por ejemplo,
.
Curl (un campo vectorial)
Si F = ( F 1 , F 2 , F 3 ) es un campo vectorial definido en algún conjunto abierto de ℝ 3 como función de la posición x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) (usando coordenadas cartesianas ). Entonces el i- ésimo componente del rizo de F es igual a [4]
que se sigue de la expresión del producto cruzado anterior, sustituyendo componentes del operador de vector de gradiente (nabla).
Densidad del tensor
En cualquier sistema de coordenadas curvilíneas arbitrarias e incluso en ausencia de una métrica en la variedad , el símbolo de Levi-Civita como se define anteriormente puede considerarse un campo de densidad tensorial de dos formas diferentes. Puede considerarse como una densidad tensorial contravariante de peso +1 o como una densidad tensorial covariante de peso -1. En n dimensiones utilizando el delta de Kronecker generalizado, [7] [8]
Tenga en cuenta que estos son numéricamente idénticos. En particular, el signo es el mismo.
Tensores Levi-Civita
En una variedad pseudo-Riemanniana , se puede definir un campo de tensor covariante covariante de coordenadas cuya representación de coordenadas concuerde con el símbolo de Levi-Civita siempre que el sistema de coordenadas sea tal que la base del espacio tangente sea ortonormal con respecto a la métrica y coincida con un orientación seleccionada. Este tensor no debe confundirse con el campo de densidad del tensor mencionado anteriormente. La presentación en esta sección sigue de cerca a Carroll 2004 .
El tensor covariante de Levi-Civita (también conocido como la forma de volumen de Riemann ) en cualquier sistema de coordenadas que coincida con la orientación seleccionada es
donde g ab es la representación de la métrica en ese sistema de coordenadas. De manera similar, podemos considerar un tensor de Levi-Civita contravariante elevando los índices con la métrica como de costumbre,
pero observe que si la firma métrica contiene un número impar de negativos q , entonces el signo de los componentes de este tensor difiere del símbolo estándar de Levi-Civita:
donde sgn (det [g ab ]) = (−1) q , yes el símbolo habitual de Levi-Civita que se comenta en el resto de este artículo. Más explícitamente, cuando el tensor y la orientación de la base se eligen de manera que, tenemos eso .
De esto podemos inferir la identidad,
dónde
es el delta de Kronecker generalizado.
Ejemplo: espacio de Minkowski
En el espacio de Minkowski (el espacio- tiempo tetradimensional de la relatividad especial ), el tensor covariante de Levi-Civita es
donde el signo depende de la orientación de la base. El tensor contravariante de Levi-Civita es
Los siguientes son ejemplos de la identidad general anterior especializada en el espacio de Minkowski (con el signo negativo que surge del número impar de negativos en la firma del tensor métrico en cualquier convención de signos):
Ver también
Lista de temas de permutación
Tensor simétrico
Notas
^ Labelle, P. (2010). Supersimetría . Desmitificado. McGraw-Hill. págs. 57–58. ISBN 978-0-07-163641-4.
^Hadrovich, F. "Twistor Primer" . Consultado el 3 de septiembre de 2013 .
^ a b cTyldesley, J. R. (1973). Una introducción al análisis tensorial: para ingenieros y científicos aplicados . Longman. ISBN 0-582-44355-5.
^ a b c dKay, D. C. (1988). Cálculo de tensor . Contornos de Schaum. McGraw Hill. ISBN 0-07-033484-6.
^ a b c d eRiley, K. F .; Hobson, M. P .; Bence, S. J. (2010). Métodos matemáticos para la física y la ingeniería . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-86153-3.
^Lipcshutz, S .; Lipson, M. (2009). Álgebra lineal . Esquemas de Schaum (4ª ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
^Murnaghan, F. D. (1925), "El símbolo de Kronecker generalizado y su aplicación a la teoría de los determinantes", Amer. Matemáticas. Mensual , 32 (5): 233–241, doi : 10.2307 / 2299191 , JSTOR 2299191
^Lovelock, David; Rund, Hanno (1989). Tensores, formas diferenciales y principios variacionales . Publicaciones de Courier Dover. pag. 113. ISBN 0-486-65840-6.
Referencias
Wheeler, J. A .; Misner, C .; Thorne, K. S. (1973). Gravitación . W. H. Freeman & Co. págs. 85-86, §3.5. ISBN 0-7167-0344-0.
Neuenschwander, D. E. (2015). Cálculo de tensores para física . Prensa de la Universidad Johns Hopkins. págs. 11, 29, 95. ISBN 978-1-4214-1565-9.
Carroll, Sean M. (2004), Espacio-tiempo y geometría , Addison-Wesley, ISBN 0-8053-8732-3
enlaces externos
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Weisstein, Eric W. "Tensor de permutación" . MathWorld .