Teoría de la filtración
En física estadística y matemáticas , la teoría de la filtración describe el comportamiento de una red cuando se agregan nodos o enlaces. Este es un tipo geométrico de transición de fase, ya que en una fracción crítica de la adición, la red de grupos pequeños desconectados se fusiona en un grupo de expansión conectado significativamente mayor . Las aplicaciones de la teoría de la filtración a la ciencia de los materiales y en muchas otras disciplinas se discuten aquí y en los artículos sobre teoría de redes y filtración .
Una pregunta representativa (y la fuente del nombre) es la siguiente. Suponga que se vierte algo de líquido sobre algún material poroso . ¿Podrá el líquido pasar de un agujero a otro y llegar al fondo? Esta pregunta física se modela matemáticamente como una red tridimensional de n × n × n vértices , generalmente llamados "sitios", en los que el borde o los "enlaces" entre cada dos vecinos pueden estar abiertos (permitiendo el paso del líquido) con probabilidad p , o cerrados con probabilidad 1 - p , y se supone que son independientes. Por lo tanto, para unp , ¿cuál es la probabilidad de que exista una ruta abierta (es decir, una ruta, cada uno de cuyos enlaces es un enlace "abierto") de arriba a abajo? El comportamiento de n grande es de interés principal. Este problema, llamado ahora percolación de enlaces , fue introducido en la literatura matemática por Broadbent y Hammersley (1957) , [2] y ha sido estudiado intensamente por matemáticos y físicos desde entonces.
En un modelo matemático ligeramente diferente para obtener un gráfico aleatorio, un sitio está "ocupado" con probabilidad p o "vacío" (en cuyo caso se eliminan sus bordes) con probabilidad 1 - p ; el problema correspondiente se llama percolación del sitio . La pregunta es la misma: para una p dada , ¿cuál es la probabilidad de que exista un camino entre la parte superior y la inferior? De manera similar, uno puede preguntar, dado un gráfico conectado, en qué fracción 1 - p de fallas se desconectará el gráfico (sin componente grande).
Se pueden hacer las mismas preguntas para cualquier dimensión de celosía. Como es bastante típico, en realidad es más fácil examinar redes infinitas que solo grandes. En este caso, la pregunta correspondiente es: ¿existe un cúmulo abierto infinito? Es decir, ¿existe un camino de puntos conectados de longitud infinita "a través" de la red? Según la ley cero uno de Kolmogorov , para cualquier p , la probabilidad de que exista un grupo infinito es cero o uno. Dado que esta probabilidad es una función creciente de p (prueba mediante un argumento de acoplamiento ), debe haber una p crítica (denotada por p c) por debajo del cual la probabilidad es siempre 0 y por encima del cual la probabilidad es siempre 1. En la práctica, esta criticidad es muy fácil de observar. Incluso para n tan pequeño como 100, la probabilidad de un camino abierto de arriba a abajo aumenta drásticamente desde muy cerca de cero a muy cerca de uno en un intervalo corto de valores de p .
Para la mayoría de los gráficos de celosía infinita, p c no se puede calcular exactamente, aunque en algunos casos p c hay un valor exacto. Por ejemplo:
El principio de universalidad establece que el valor numérico de p c está determinado por la estructura local del gráfico, mientras que el comportamiento cerca del umbral crítico, p c , se caracteriza por exponentes críticos universales . Por ejemplo, la distribución del tamaño de los conglomerados en la criticidad decae como una ley de potencia con el mismo exponente para todas las celosías 2d. Esta universalidad significa que para una dimensión dada, los diversos exponentes críticos, la dimensión fractal de los grupos en p c es independiente del tipo de red y del tipo de percolación (por ejemplo, enlace o sitio). Sin embargo, recientemente se ha realizado la percolación en uncelosía estocástica plana ponderada (WPSL) y encontró que aunque la dimensión de la WPSL coincide con la dimensión del espacio donde está incrustado, su clase de universalidad es diferente de la de todas las celosías planas conocidas. [8] [9]
