El solitón peregrino (o respirador peregrino ) es una solución analítica de la ecuación no lineal de Schrödinger . [1] Esta solución fue propuesta en 1983 por Howell Peregrine , investigador del departamento de matemáticas de la Universidad de Bristol .
Principales propiedades
A diferencia del solitón fundamental habitual que puede mantener su perfil sin cambios durante la propagación, el solitón peregrino presenta una doble localización espacio-temporal . Por tanto, a partir de una oscilación débil sobre un fondo continuo, el solitón peregrino se desarrolla experimentando un aumento progresivo de su amplitud y un estrechamiento de su duración temporal. En el punto de máxima compresión, la amplitud es tres veces el nivel del fondo continuo (y si se considera que la intensidad es relevante en óptica, hay un factor 9 entre la intensidad máxima y el fondo circundante). Después de este punto de máxima compresión, la amplitud de la onda disminuye y su ancho aumenta y finalmente desaparece.
Estas características del solitón Peregrine son totalmente consistentes con los criterios cuantitativos que se suelen utilizar para calificar una onda como una onda rebelde . Por tanto, el solitón peregrino es una hipótesis atractiva para explicar la formación de aquellas ondas que tienen una gran amplitud y pueden aparecer de la nada y desaparecer sin dejar rastro. [2]
Expresión matemática
En el dominio espacio-temporal
El solitón peregrino es una solución de la ecuación de Schrödinger no lineal unidimensional que se puede escribir en unidades normalizadas de la siguiente manera:
con la coordenada espacial y la coordenada temporal. siendo la envoltura de una ola superficial en aguas profundas. La dispersión es anómala y la no linealidad es de autoenfoque (tenga en cuenta que se podrían obtener resultados similares para un medio normalmente dispersivo combinado con una no linealidad de desenfoque).
La expresión analítica de Peregrine es: [1]
de modo que los máximos temporales y espaciales se obtengan para y .
En el dominio espectral
También es posible expresar matemáticamente el solitón peregrino según la frecuencia espacial : [3]
con siendo la función delta de Dirac .
Esto corresponde a un módulo (con el fondo continuo constante aquí omitido):
Uno puede notar que en un momento dado , el módulo del espectro exhibe una forma triangular típica cuando se traza en una escala logarítmica. El espectro más amplio se obtiene para, que corresponde al máximo de compresión de la estructura no lineal espacio-temporal.
Diferentes interpretaciones del solitón peregrino
Como un solitón racional
El solitón peregrino es un solitón racional de primer orden.
Como un respiro de Akhmediev
El solitón peregrino también puede verse como el caso límite del respirador Akhmediev del espacio-periódico cuando el período tiende al infinito. [4]
Como un solitón de Kuznetsov-Ma
El solitón peregrino también puede verse como el caso límite del respiro de Kuznetsov-Ma periódica en el tiempo cuando el período tiende al infinito.
Demostración experimental
Las predicciones matemáticas de H. Peregrine se habían establecido inicialmente en el dominio de la hidrodinámica . Sin embargo, esto es muy diferente de donde se ha generado y caracterizado experimentalmente el solitón peregrino por primera vez.
Generación en óptica
En 2010, más de 25 años después del trabajo inicial de Peregrine, los investigadores aprovecharon la analogía que se puede establecer entre la hidrodinámica y la óptica para generar solitones de Peregrine en fibras ópticas . [4] [6] De hecho, la evolución de la luz en la fibra óptica y la evolución de las ondas superficiales en aguas profundas están modeladas por la ecuación no lineal de Schrödinger (tenga en cuenta, sin embargo, que las variables espaciales y temporales deben cambiarse). Esta analogía se ha aprovechado en el pasado para generar solitones ópticos en fibras ópticas.
Más precisamente, la ecuación de Schrödinger no lineal se puede escribir en el contexto de las fibras ópticas bajo la siguiente forma dimensional:
con siendo la dispersión de segundo orden (se supone que es anómala, es decir ) y siendo el coeficiente de Kerr no lineal. y son la distancia de propagación y la coordenada temporal respectivamente.
En este contexto, el solitón peregrino tiene la siguiente expresión dimensional: [5]
- .
es una longitud no lineal definida como con siendo el poder del fondo continuo. es una duración definida como .
Mediante el uso de componentes de comunicación óptica exclusivamente estándar , se ha demostrado que incluso con una condición inicial aproximada (en el caso de este trabajo, un golpe sinusoidal inicial), se puede generar un perfil muy cercano al solitón peregrino ideal. [5] [7] Sin embargo, la condición de entrada no ideal conduce a subestructuras que aparecen después del punto de máxima compresión. Esas subestructuras también tienen un perfil cercano a un solitón peregrino, [5] que puede explicarse analíticamente mediante una transformación de Darboux . [8]
La forma espectral triangular típica también se ha confirmado experimentalmente. [4] [5] [9]
Generación en hidrodinámica
Estos resultados en óptica se confirmaron en 2011 en hidrodinámica [10] [11] con experimentos llevados a cabo en un tanque de agua de 15 m de longitud . En 2013, experimentos complementarios que utilizaron un modelo a escala de un buque cisterna químico analizaron los posibles efectos devastadores en el buque. [12]
Generación en otros campos de la física
Otros experimentos llevados a cabo en la física de plasmas también han destacado la aparición de solitones peregrinos en otros campos regidos por la ecuación no lineal de Schrödinger. [13]
Ver también
notas y referencias
- ↑ a b Peregrine, DH (1983). "Ondas de agua, ecuaciones de Schrödinger no lineales y sus soluciones" . J. Austral. Matemáticas. Soc . B. 25 : 16–43. doi : 10.1017 / S0334270000003891 .
- ^ Shrira, VI; Geogjaev, VV (2009). "¿Qué hace que el solitón Peregrine sea tan especial como un prototipo de olas monstruosas?". J. Eng. Matemáticas .
- ^ a b Akhmediev, N., Ankiewicz, A., Soto-Crespo, JM y Dudley JM (2011). "Espectros triangulares universales en sistemas controlados paramétricamente" (PDF) . Phys. Letón. Una . 375 (3): 775–779. Código Bibliográfico : 2011PhLA..375..775A . doi : 10.1016 / j.physleta.2010.11.044 . hdl : 10261/63134 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
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