En óptica , el término solitón se usa para referirse a cualquier campo óptico que no cambia durante la propagación debido a un delicado equilibrio entre los efectos lineales y no lineales en el medio. [1] Hay dos tipos principales de solitones:
- solitones espaciales : el efecto no lineal puede equilibrar la difracción . El campo electromagnético puede cambiar el índice de refracción del medio mientras se propaga, creando así una estructura similar a una fibra de índice gradual . [2] Si el campo también es un modo de propagación de la guía que ha creado, permanecerá confinado y se propagará sin cambiar su forma.
- Solitones temporales : si el campo electromagnético ya está confinado espacialmente, es posible enviar pulsos que no cambiarán su forma porque los efectos no lineales equilibrarán la dispersión . Esos solitones se descubrieron primero y a menudo se denominan simplemente "solitones" en óptica.
Solitones espaciales
Para entender cómo puede existir un solitón espacial, tenemos que hacer algunas consideraciones sobre una lente convexa simple . Como se muestra en la imagen de la derecha, un campo óptico se acerca a la lente y luego se enfoca. El efecto de la lente es introducir un cambio de fase no uniforme que provoca el enfoque. Este cambio de fase es una función del espacio y se puede representar con, cuya forma está aproximadamente representada en la imagen.
El cambio de fase se puede expresar como el producto de la constante de fase y el ancho del camino que ha cubierto el campo. Podemos escribirlo como:
dónde es el ancho de la lente, cambiando en cada punto con una forma que es la misma de porque y n son constantes. En otras palabras, para obtener un efecto de enfoque solo tenemos que introducir un cambio de fase de tal forma, pero no estamos obligados a cambiar el ancho. Si dejamos el ancho L fijo en cada punto, pero cambiamos el valor del índice de refracción obtendremos exactamente el mismo efecto, pero con un enfoque completamente diferente.
Esto tiene aplicación en fibras de índice gradual : el cambio en el índice de refracción introduce un efecto de enfoque que puede equilibrar la difracción natural del campo. Si los dos efectos se equilibran perfectamente, entonces tenemos un campo confinado que se propaga dentro de la fibra.
Los solitones espaciales se basan en el mismo principio: el efecto Kerr introduce una modulación de autofase que cambia el índice de refracción según la intensidad:
Si tiene una forma similar a la que se muestra en la figura, luego hemos creado el comportamiento de fase que queríamos y el campo mostrará un efecto de autoenfoque. En otras palabras, el campo crea una estructura de guía similar a una fibra mientras se propaga. Si el campo crea una fibra y es el modo de dicha fibra al mismo tiempo, significa que los efectos lineales difractivos y no lineales de enfoque están perfectamente equilibrados y el campo se propagará para siempre sin cambiar su forma (siempre que el medio lo haga No cambia y si podemos descuidar las pérdidas, obviamente). Para tener un efecto de autoenfoque, debemos tener un, de lo contrario obtendremos el efecto contrario y no notaremos ningún comportamiento no lineal.
La guía de ondas óptica que crea el solitón mientras se propaga no es solo un modelo matemático, sino que en realidad existe y se puede usar para guiar otras ondas a diferentes frecuencias [ cita requerida ] . De esta forma es posible dejar que la luz interactúe con la luz a diferentes frecuencias (esto es imposible en medios lineales).
Prueba
Un campo eléctrico se propaga en un medio que muestra el efecto óptico de Kerr , por lo que el índice de refracción viene dado por:
Recordamos que la relación entre irradiancia y campo eléctrico es (en la representación compleja)
dónde y es la impedancia del espacio libre , dada por
El campo se está propagando en el dirección con una constante de fase . Aproximadamente ahora, ignoraremos cualquier dependencia del eje y , asumiendo que es infinito en esa dirección. Entonces el campo se puede expresar como:
dónde es la amplitud máxima del campo y es una función normalizada adimensional (de modo que su valor máximo es 1) que representa la forma del campo eléctrico entre el eje x . En general, depende de z porque los campos cambian de forma mientras se propagan. Ahora tenemos que resolver la ecuación de Helmholtz :
donde se señaló claramente que el índice de refracción (por lo tanto, la constante de fase) depende de la intensidad. Si reemplazamos la expresión del campo eléctrico en la ecuación, suponiendo que la envolvente cambia lentamente mientras se propaga, es decir
la ecuación se convierte en:
Introduzcamos una aproximación que es válida porque los efectos no lineales son siempre mucho menores que los lineales:
ahora expresamos la intensidad en términos del campo eléctrico:
la ecuación se convierte en:
Ahora asumiremos de modo que el efecto no lineal provocará un autoenfoque. Para que esto sea evidente, escribiremos en la ecuación Definamos ahora algunos parámetros y reemplácelos en la ecuación:
- , entonces podemos expresar la dependencia del eje x con un parámetro adimensional; es una longitud, cuyo significado físico se aclarará más adelante.
- , después de que el campo eléctrico se haya propagado a través de z para esta longitud, los efectos lineales de la difracción ya no pueden despreciarse.
- , para estudiar la dependencia z con una variable adimensional.
- , después de que el campo eléctrico se haya propagado a lo largo de z para esta longitud, los efectos no lineales ya no pueden despreciarse. Este parámetro depende de la intensidad del campo eléctrico, que es típico de los parámetros no lineales.
La ecuación se convierte en:
esta es una ecuación común conocida como ecuación de Schrödinger no lineal . De esta forma, podemos entender el significado físico del parámetro N :
- Si , entonces podemos despreciar la parte no lineal de la ecuación. Significa, entonces el campo se verá afectado por el efecto lineal (difracción) mucho antes que el efecto no lineal, simplemente se difractará sin ningún comportamiento no lineal.
- Si , entonces el efecto no lineal será más evidente que la difracción y, debido a la auto modulación de fase, el campo tenderá a enfocarse.
- Si , entonces los dos efectos se equilibran y tenemos que resolver la ecuación.
Para la solución de la ecuación es simple y es el solitón fundamental:
donde sech es la secante hiperbólica . Todavía depende de z , pero solo en fase, por lo que la forma del campo no cambiará durante la propagación.
Para todavía es posible expresar la solución en forma cerrada, pero tiene una forma más complicada: [3]
Cambia su forma durante la propagación, pero es una función periódica de z con período.
Para soluciones de solitón, N debe ser un número entero y se dice que es el orden o el solitón. Paratambién existe una solución de forma cerrada exacta; [4] tiene una forma aún más complicada, pero ocurre la misma periodicidad. De hecho, todos los solitones con tener el período . [5] Su forma se puede expresar fácilmente solo inmediatamente después de la generación:
a la derecha está el gráfico del solitón de segundo orden: al principio tiene forma de sech, luego la amplitud máxima aumenta y luego vuelve a la forma de sech. Dado que es necesaria una alta intensidad para generar solitones, si el campo aumenta su intensidad aún más, el medio podría dañarse.
La condición a resolver si queremos generar un solitón fundamental se obtiene expresando N en términos de todos los parámetros conocidos y luego poniendo:
que, en términos de valor máximo de irradiancia, se convierte en:
En la mayoría de los casos, las dos variables que se pueden cambiar son la intensidad máxima y el ancho del pulso .
Curiosamente, los solitones de orden superior pueden adquirir formas complicadas antes de volver exactamente a su forma inicial al final del período de solitones. En la imagen de varios solitones, el espectro (izquierda) y el dominio del tiempo (derecha) se muestran a diferentes distancias de propagación (eje vertical) en un medio idealizado no lineal. Esto muestra cómo podría comportarse un pulso láser mientras viaja en un medio con las propiedades necesarias para soportar solitones fundamentales. En la práctica, con el fin de alcanzar la intensidad de pico muy alta necesaria para lograr efectos no lineales, los pulsos de láser se pueden acoplar a fibras ópticas tales como fibra de cristal fotónico con modos de propagación altamente confinados. Estas fibras tienen una dispersión más complicada y otras características que se apartan de los parámetros analíticos del solitón.
Generación de solitones espaciales
El primer experimento sobre solitones ópticos espaciales fue informado en 1974 por Ashkin y Bjorkholm [6] en una celda llena de vapor de sodio. El campo fue luego revisado en experimentos en la Universidad de Limoges [7] en disulfuro de carbono líquido y se expandió a principios de los 90 con la primera observación de solitones en cristales fotorrefractivos, [8] [9] vidrio, semiconductores [10] y polímeros. Durante las últimas décadas se han reportado numerosos hallazgos en diversos materiales, para solitones de diferente dimensionalidad, forma, espirales, colisiones, fusiones, escisiones, en medios homogéneos, sistemas periódicos y guías de ondas. [11] Los solitones espaciales también se conocen como rayos ópticos auto-atrapados y su formación normalmente también va acompañada de una guía de ondas autoescrita. En los cristales líquidos nemáticos , [12] los solitones espaciales también se denominan nematicones .
Solitones de bloqueo de modo transversal
Pueden aparecer excitaciones localizadas en láseres debido a la sincronización de los modos transversales.
En confocal cavidad láser los modos transversales degenerados con modo longitudinal único en longitud de onda mezclado en disco de ganancia no lineal (situado en ) y disco absorbente saturable (situado en ) de diámetro son capaces de producir solitones espaciales de hiperbólicos forma: [13]
en planos conjugados de Fourier y . [14]
Solitones temporales
El principal problema que limita la velocidad de transmisión de bits en las fibras ópticas es la dispersión de la velocidad de grupo . Esto se debe a que los impulsos generados tienen un ancho de banda distinto de cero y el medio por el que se propagan tiene un índice de refracción que depende de la frecuencia (o longitud de onda ). Este efecto está representado por el parámetro de dispersión de retardo de grupo D ; usándolo, es posible calcular exactamente cuánto se ensanchará el pulso:
donde L es la longitud de la fibra yes el ancho de banda en términos de longitud de onda. El enfoque en los sistemas de comunicación modernos es equilibrar dicha dispersión con otras fibras que tienen D con diferentes signos en diferentes partes de la fibra: de esta manera los pulsos continúan ensanchándose y encogiéndose mientras se propagan. Con los solitones temporales es posible eliminar este problema por completo.
Considere la imagen de la derecha. A la izquierda hay un pulso gaussiano estándar , que es la envolvente del campo que oscila a una frecuencia definida. Suponemos que la frecuencia permanece perfectamente constante durante el pulso.
Ahora dejamos que este pulso se propague a través de una fibra con , se verá afectado por la dispersión de la velocidad del grupo. Para este signo de D , la dispersión es anómala , por lo que los componentes de frecuencia más alta se propagarán un poco más rápido que las frecuencias más bajas, llegando así antes al final de la fibra. La señal general que obtenemos es un pulso de chirrido más amplio, que se muestra en la parte superior derecha de la imagen.
Supongamos ahora que tenemos un medio que muestra solo el efecto Kerr no lineal , pero su índice de refracción no depende de la frecuencia: dicho medio no existe, pero vale la pena considerarlo para comprender los diferentes efectos.
La fase del campo viene dada por:
la frecuencia (según su definición) viene dada por:
esta situación está representada en la imagen de la izquierda. Al comienzo del pulso la frecuencia es menor, al final es mayor. Después de la propagación a través de nuestro medio ideal, obtendremos un pulso chirriante sin ensanchamiento porque hemos descuidado la dispersión.
Volviendo a la primera imagen, vemos que los dos efectos introducen un cambio de frecuencia en dos direcciones opuestas diferentes. Es posible hacer un pulso para que los dos efectos se equilibren entre sí. Teniendo en cuenta las frecuencias más altas, la dispersión lineal tenderá a permitir que se propaguen más rápido, mientras que el efecto Kerr no lineal las ralentizará. El efecto general será que el pulso no cambia durante la propagación: estos pulsos se denominan solitones temporales.
Historia de los solitones temporales
En 1973, Akira Hasegawa y Fred Tappert de AT&T Bell Labs fueron los primeros en sugerir que los solitones podrían existir en las fibras ópticas , debido a un equilibrio entre la modulación de fase propia y la dispersión anómala . [15] [16] También en 1973 Robin Bullough hizo el primer informe matemático de la existencia de solitones ópticos. También propuso la idea de un sistema de transmisión basado en solitones para aumentar el rendimiento de las telecomunicaciones ópticas .
Los solitones en un sistema de fibra óptica se describen mediante las ecuaciones de Manakov .
En 1987, P. Emplit, JP Hamaide, F. Reynaud, C. Froehly y A. Barthelemy, de las Universidades de Bruselas y Limoges, realizaron la primera observación experimental de la propagación de un solitón oscuro , en una fibra óptica.
En 1988, Linn Mollenauer y su equipo transmitieron pulsos de solitón a lo largo de 4.000 kilómetros utilizando un fenómeno llamado efecto Raman , llamado así por el científico indio Sir CV Raman, quien lo describió por primera vez en la década de 1920, para proporcionar ganancia óptica en la fibra.
En 1991, un equipo de investigación de Bell Labs transmitió solitones sin errores a 2,5 gigabits a lo largo de más de 14.000 kilómetros, utilizando amplificadores de fibra óptica de erbio (segmentos empalmados de fibra óptica que contienen el elemento de tierras raras erbio). Los láseres de bombeo, acoplados a los amplificadores ópticos, activan el erbio, que energiza los pulsos de luz [ cita requerida ] .
En 1998, Thierry Georges y su equipo en France Télécom R&D Center, combinando solitones ópticos de diferentes longitudes de onda ( multiplexación por división de longitud de onda ), demostraron una transmisión de datos de 1 terabit por segundo (1,000,000,000,000 de unidades de información por segundo) [ cita requerida ] .
En 2020, Optics Communications informó que un equipo japonés de MEXT, conmutación de circuitos ópticos con ancho de banda de hasta 90 Tbps (terabits por segundo), Optics Communications, Volumen 466, 1 de julio de 2020, 125677.
Prueba de solitones temporales
Un campo eléctrico se propaga en un medio que muestra el efecto Kerr óptico a través de una estructura de guía (como una fibra óptica ) que limita la potencia en el plano xy . Si el campo se propaga hacia z con una constante de fase, entonces se puede expresar de la siguiente forma:
dónde es la amplitud máxima del campo, es la envoltura que da forma al impulso en el dominio del tiempo; en general depende de z porque el impulso puede cambiar de forma mientras se propaga;representa la forma del campo en el plano xy , y no cambia durante la propagación porque asumimos que el campo está guiado. Tanto a como f son funciones adimensionales normalizadas cuyo valor máximo es 1, de modo que realmente representa la amplitud del campo.
Dado que en el medio existe una dispersión que no podemos descuidar, la relación entre el campo eléctrico y su polarización viene dada por una integral de convolución . De todos modos, usando una representación en el dominio de Fourier , podemos reemplazar la convolución con un producto simple, usando relaciones estándar que son válidas en medios más simples. Transformamos de Fourier el campo eléctrico usando la siguiente definición:
Usando esta definición, una derivada en el dominio del tiempo corresponde a un producto en el dominio de Fourier:
la expresión completa del campo en el dominio de la frecuencia es:
Ahora podemos resolver la ecuación de Helmholtz en el dominio de la frecuencia:
decidimos expresar la constante de fase con la siguiente notación:
donde asumimos que (la suma del componente dispersivo lineal y la parte no lineal) es una pequeña perturbación, es decir . La constante de fase puede tener cualquier comportamiento complicado, pero podemos representarlo con una serie de Taylor centrada en:
donde, como se conoce:
ponemos la expresión del campo eléctrico en la ecuación y hacemos algunos cálculos. Si asumimos la aproximación de envolvente que varía lentamente :
obtenemos:
estamos ignorando el comportamiento en el plano xy , porque ya es conocido y dado por. Hacemos una pequeña aproximación, como hicimos para el solitón espacial:
reemplazando esto en la ecuación obtenemos simplemente:
- .
Ahora queremos volver al dominio del tiempo. Expresando los productos por derivadas obtenemos la dualidad:
podemos escribir el componente no lineal en términos de irradiancia o amplitud del campo:
para la dualidad con el solitón espacial, definimos:
y este símbolo tiene el mismo significado que el caso anterior, incluso si el contexto es diferente. La ecuación se convierte en:
Sabemos que el impulso se propaga a lo largo del eje z con una velocidad de grupo dada por, por lo que no nos interesa porque solo queremos saber cómo el pulso cambia de forma mientras se propaga. Decidimos estudiar la forma del impulso, es decir, la función envolvente a (·) utilizando una referencia que se mueve con el campo a la misma velocidad. Así hacemos la sustitución
y la ecuación se convierte en:
Ahora asumimos además que el medio en el que se propaga el campo muestra una dispersión anómala , es decir, o en términos del parámetro de dispersión de retardo de grupo . Hacemos esto más evidente reemplazando en la ecuación. Definamos ahora los siguientes parámetros (la dualidad con el caso anterior es evidente):
reemplazando los de la ecuación obtenemos:
esa es exactamente la misma ecuación que hemos obtenido en el caso anterior. El solitón de primer orden viene dado por:
las mismas consideraciones que hemos hecho son válidas en este caso. La condición N = 1 se convierte en una condición de la amplitud del campo eléctrico:
o, en términos de irradiancia:
o podemos expresarlo en términos de poder si introducimos un área efectiva definido para que :
Estabilidad de solitones
Hemos descrito qué son los solitones ópticos y, utilizando las matemáticas, hemos visto que, si queremos crearlos, tenemos que crear un campo con una forma particular (basta con buscar el primer orden) con una potencia particular relacionada con la duración. del impulso. Pero, ¿y si nos equivocamos un poco al crear tales impulsos? Añadiendo pequeñas perturbaciones a las ecuaciones y resolviéndolas numéricamente, es posible demostrar que los solitones monodimensionales son estables. A menudo se hace referencia como (1 + 1) D solitones , lo que significa que se limitan en una dimensión ( x o t , como hemos visto) y se propagan en otro ( z ).
Si creamos tal solitón usando una potencia o forma ligeramente incorrecta, entonces se ajustará hasta que alcance la forma de sech estándar con la potencia correcta. Desafortunadamente esto se logra a expensas de alguna pérdida de potencia, que puede causar problemas porque puede generar otro campo que no sea de solitones propagándose junto con el campo que queremos. Los solitones monodimensionales son muy estables: por ejemplo, sigeneraremos un solitón de primer orden de todos modos; si N es mayor, generaremos un solitón de orden superior, pero el enfoque que hace durante la propagación puede provocar picos de alta potencia que dañen el medio.
La única forma de crear un solitón espacial (1 + 1) D es limitar el campo en el eje y usando una placa dieléctrica , luego limitando el campo en x usando el solitón.
Por otro lado, los solitones espaciales (2 + 1) D son inestables, por lo que cualquier pequeña perturbación (debido al ruido, por ejemplo) puede hacer que el solitón se difracte como un campo en un medio lineal o colapse, dañando así el material. Es posible crear solitones espaciales estables (2 + 1) D utilizando medios saturantes no lineales, donde la relación de Kerres válido hasta que alcanza un valor máximo. Trabajar cerca de este nivel de saturación permite crear un solitón estable en un espacio tridimensional.
Si consideramos la propagación de pulsos de luz más cortos (temporales) o en una distancia más larga, debemos considerar correcciones de orden superior y, por lo tanto, la envolvente de la portadora de pulsos se rige por la ecuación de Schrödinger no lineal de orden superior (HONSE) para la cual existen algunas soluciones de solitón especializadas (analíticas). [17]
Efecto de las pérdidas de potencia
Como hemos visto, para crear un solitón es necesario tener la potencia adecuada cuando se genera. Si no hay pérdidas en el medio, entonces sabemos que el solitón seguirá propagándose para siempre sin cambiar de forma (1er orden) o cambiar su forma periódicamente (órdenes superiores). Desafortunadamente, cualquier medio introduce pérdidas, por lo que el comportamiento real de la potencia estará en la forma:
este es un problema serio para los solitones temporales que se propagan en fibras a lo largo de varios kilómetros. Considere lo que sucede para el solitón temporal, la generalización a los espaciales es inmediata. Hemos probado que la relación entre poder y duración del impulso es:
si el poder cambia, lo único que puede cambiar en la segunda parte de la relación es . si sumamos pérdidas a la potencia y resolvemos la relación en términos de obtenemos:
¡la amplitud del impulso crece exponencialmente para equilibrar las pérdidas! esta relación es verdadera mientras exista el solitón, es decir, hasta que esta perturbación sea pequeña, por lo que debe serde lo contrario, no podemos usar las ecuaciones para solitones y tenemos que estudiar la dispersión lineal estándar. Si queremos crear un sistema de transmisión utilizando fibras ópticas y solitones, tenemos que añadir amplificadores ópticos para limitar la pérdida de potencia.
Generación de pulso de solitón
Se han realizado experimentos para analizar el efecto del efecto Kerr no lineal inducido por campo magnético externo de alta frecuencia (20 MHz-1 GHz) en fibra óptica monomodo de longitud considerable (50-100 m) para compensar la dispersión de velocidad de grupo (GVD) y posterior evolución del pulso del solitón (pico de energía, pulso hiperbólico secante estrecho ). [18] La generación de pulso de solitón en fibra es una conclusión obvia como auto modulación de fase debido a la alta energía de la compensación de pulso GVD, mientras que la longitud de evolución es de 2000 km. (la longitud de onda del láser elegida superior a 1,3 micrómetros). Además, el pulso de solitón pico tiene un período de 1 a 3 ps para que se aloje de forma segura en el ancho de banda óptico. Una vez que se genera el pulso de solitón, se dispersa menos en miles de kilómetros de longitud de fibra, lo que limita el número de estaciones repetidoras.
Solitones oscuros
En el análisis de ambos tipos de solitones hemos asumido condiciones particulares sobre el medio:
- en solitones espaciales, , eso significa que la modulación de auto-fase causa autoenfoque
- en solitones temporales, o , dispersión anómala
¿Es posible obtener solitones si no se verifican esas condiciones? si asumimos o , obtenemos la siguiente ecuación diferencial (tiene la misma forma en ambos casos, usaremos solo la notación del solitón temporal):
Esta ecuación tiene soluciones en forma de solitón. Para el primer pedido ( N = 1):
La trama de se muestra en la imagen de la derecha. Para solitones de orden superior () podemos usar la siguiente expresión de forma cerrada:
Es un solitón, en el sentido de que se propaga sin cambiar de forma, pero no está formado por un pulso normal; más bien, es una falta de energía en un rayo de tiempo continuo. La intensidad es constante, pero por un corto tiempo durante el cual salta a cero y regresa, generando así un "pulso oscuro" '. Esos solitones se pueden generar introduciendo pulsos oscuros cortos en pulsos estándar mucho más largos. Los solitones oscuros son más difíciles de manejar que los solitones estándar, pero han demostrado ser más estables y resistentes a las pérdidas.
Ver también
- Solitón
- Modulación de fase propia
- Efecto Kerr óptico
- vector soliton
- nematicon
- Pulso ultracorto
Referencias
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Bibliografía
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enlaces externos
- Propagación de solitones en SMF-28 usando la GPU