En la teoría de sistemas dinámicos , se produce una bifurcación que duplica el período cuando un ligero cambio en los parámetros de un sistema hace que surja una nueva trayectoria periódica a partir de una trayectoria periódica existente; la nueva tiene el doble del período original. Con el período duplicado, se necesitan el doble de tiempo (o, en un sistema dinámico discreto , el doble de iteraciones) para que los valores numéricos visitados por el sistema se repitan.
Una bifurcación que reduce a la mitad el período ocurre cuando un sistema cambia a un nuevo comportamiento con la mitad del período del sistema original.
Una cascada de duplicación de períodos es una secuencia infinita de bifurcaciones de duplicación de períodos. Tales cascadas son una ruta común por la cual los sistemas dinámicos desarrollan el caos. [1] En hidrodinámica , son una de las posibles rutas a la turbulencia . [2]
Ejemplos de
Mapa logístico
El mapa logístico es
dónde es una función del tiempo (discreto) . [3] El parámetro se supone que se encuentra en el intervalo , en ese caso está limitado a .
Para entre 1 y 3, converge al punto fijo estable . Entonces para entre 3 y 3.44949, converge a una oscilación permanente entre dos valores y que dependen de . Comocrece, aparecen oscilaciones entre 4 valores, luego 8, 16, 32, etc. Estas duplicaciones de período culminan en, más allá de los cuales aparecen regímenes más complejos. Como aumenta, hay algunos intervalos en los que la mayoría de los valores iniciales convergerán en una o una pequeña cantidad de oscilaciones estables, como cerca de .
En el intervalo donde el período es para algún entero positivo , no todos los puntos tienen punto . Estos son puntos únicos, en lugar de intervalos. Se dice que estos puntos están en órbitas inestables, ya que los puntos cercanos no se acercan a la misma órbita que ellos.
Ecuación de Kuramoto-Sivashinsky
La ecuación de Kuramoto-Sivashinsky es un ejemplo de un sistema dinámico espacio-temporal continuo que exhibe la duplicación del período. Es una de las ecuaciones diferenciales parciales no lineales mejor estudiadas , originalmente introducida como un modelo de propagación del frente de llama. [4]
La ecuación unidimensional de Kuramoto-Sivashinsky es
Una opción común para las condiciones de contorno es la periodicidad espacial: .
Para grandes valores de , la solución evoluciona hacia soluciones estables (dependientes del tiempo) u órbitas periódicas simples. Comodisminuye, la dinámica eventualmente desarrolla el caos. La transición del orden al caos se produce a través de una cascada de bifurcaciones que duplican el período, [5] [6] una de las cuales se ilustra en la figura.
Mapa logístico para una curva de Phillips modificada
Considere el siguiente mapa logístico para una curva de Phillips modificada :
dónde :
- es la inflación real
- es la inflación esperada,
- u es el nivel de desempleo,
- es la tasa de crecimiento de la oferta monetaria .
Acuerdo y variando , el sistema sufre bifurcaciones que duplican el período y finalmente se vuelve caótico. [ cita requerida ]
Observación experimental
Se ha observado la duplicación del período en varios sistemas experimentales. [7] También hay evidencia experimental de cascadas que duplican el período. Por ejemplo, se han observado secuencias de duplicaciones de 4 períodos en la dinámica de los rodillos de convección en agua y mercurio . [8] [9] De manera similar, se han observado 4-5 duplicaciones en ciertos circuitos electrónicos no lineales . [10] [11] [12] Sin embargo, la precisión experimental requerida para detectar el i- ésimo evento de duplicación en una cascada aumenta exponencialmente con i , lo que dificulta observar más de 5 eventos de duplicación en una cascada. [13]
Ver también
Notas
- ^ Alligood (1996) y col., P. 532
- ^ Thorne, Kip S .; Blandford, Roger D. (2017). Física clásica moderna: óptica, fluidos, plasmas, elasticidad, relatividad y física estadística . Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 825–834. ISBN 9780691159027.
- ^ Strogatz (2015), págs. 360–373
- ^ Kalogirou, A .; Keaveny, EE; Papageorgiou, DT (2015). "Un estudio numérico en profundidad de la ecuación bidimensional de Kuramoto-Sivashinsky". Actas de la Royal Society A: Ciencias Matemáticas, Físicas e Ingeniería . 471 (2179): 20140932. doi : 10.1098 / rspa.2014.0932 . ISSN 1364-5021 .
- ^ Smyrlis, YS; Papageorgiou, DT (1991). "Predicción del caos para sistemas dinámicos de dimensión infinita: la ecuación de Kuramoto-Sivashinsky, un estudio de caso". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 88 (24): 11129-11132. doi : 10.1073 / pnas.88.24.11129 . ISSN 0027-8424 .
- ^ Papageorgiou, DT; Smyrlis, YS (1991), "La ruta al caos para la ecuación de Kuramoto-Sivashinsky", Theoret. Computación. Dinámica de fluidos , 3 : 15–42, doi : 10.1007 / BF00271514 , ISSN 1432-2250
- ^ ver Strogatz (2015) para una revisión
- ^ Giglio, Marzio; Musazzi, Sergio; Perini, Umberto (1981). "Transición al comportamiento caótico a través de una secuencia reproducible de bifurcaciones que duplican el período". Cartas de revisión física . 47 (4): 243–246. doi : 10.1103 / PhysRevLett.47.243 . ISSN 0031-9007 .
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- ^ Strogatz (2015), págs. 360–373
Referencias
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- Giglio, Marzio; Musazzi, Sergio; Perini, Umberto (1981). "Transición al comportamiento caótico a través de una secuencia reproducible de bifurcaciones que duplican el período". Cartas de revisión física . 47 (4): 243–246. doi : 10.1103 / PhysRevLett.47.243 . ISSN 0031-9007 .
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- Kuznetsov, Yuri A. (2004). Elementos de la teoría aplicada de la bifurcación . Ciencias Matemáticas Aplicadas. 112 (3ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-21906-4. Zbl 1082.37002 .
- Libchaber, A .; Laroche, C .; Fauve, S. (1982). "Cascada de duplicación de período en mercurio, una medida cuantitativa". Journal de Physique Lettres . 43 (7): 211–216. doi : 10.1051 / jphyslet: 01982004307021100 . ISSN 0302-072X .
- Papageorgiou, DT; Smyrlis, YS (1991), "La ruta al caos para la ecuación de Kuramoto-Sivashinsky", Theoret. Computación. Dinámica de fluidos , 3 : 15–42, doi : 10.1007 / BF00271514 , ISSN 1432-2250
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- Strogatz, Steven (2015). Dinámica no lineal y caos: con aplicaciones a la Física, Biología, Química e Ingeniería (2ª ed.). Prensa CRC. ISBN 978-0813349107.
- Cheung, PY; Wong, AY (1987). "Comportamiento caótico y duplicación de períodos en plasmas". Cartas de revisión física . 59 (5): 551–554. doi : 10.1103 / PhysRevLett.59.551 . ISSN 0031-9007 .
enlaces externos
- Conectando cascadas de duplicación de períodos con el caos