Curva de De Rham

En matemáticas , una curva de Rham es un cierto tipo de curva fractal nombrada en honor a Georges de Rham .

La función de Cantor , la curva Cesàro, la función de signo de interrogación de Minkowski , la curva de Lévy C , la curva de manjar blanco de la curva de Koch y la curva de Osgood son todos los casos especiales del general de Rham curva.

Considere un espacio métrico completo (generalmente ² con la distancia euclidiana habitual) y un par de mapas de contracción en M:${\ Displaystyle (M, d)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Según el teorema del punto fijo de Banach , estos tienen puntos fijos y respectivamente. Sea x un número real en el intervalo , con expansión binaria${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle [0,1]}$

donde cada uno es 0 o 1. Considere el mapa${\displaystyle b_{k}}$

donde denota la composición de la función . Se puede demostrar que cada uno mapeará la cuenca común de atracción de y hacia un solo punto en . La colección de puntos , parametrizada por un único parámetro real x , se conoce como curva de Rham.${\displaystyle \circ }$${\displaystyle c_{x}}$${\displaystyle d_{0}}$${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle p_{x}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p_{x}}$

Curva de Cesàro para a  = 0.3 +  i  0.3

Curva de Cesàro para a  = 0.5 +  i  0.5. Esta es la curva C de Lévy .

Curva de Koch-Peano para a  = 0,6 +  i  0,37. Esto está cerca, pero no del todo, de la curva de Koch .

Curva de Koch-Peano para a  = 0,6 +  i  0,45. Esta es la curva de Osgood .

Curva genérica afín de Rham

Curva genérica afín de Rham

Curva genérica afín de Rham

Curva genérica afín de Rham