En matemáticas , la curva blancmange es una curva auto-afín construible por subdivisión de punto medio. También se la conoce como la curva Takagi , en honor a Teiji Takagi, quien la describió en 1901, o como la curva Takagi-Landsberg , una generalización de la curva que lleva el nombre de Takagi y Georg Landsberg . El nombre blancmange proviene de su parecido con un pudín del mismo nombre . Es un caso especial de la curva de Rham más general ; ver también curva fractal .
Definición
La función blancmange se define en el intervalo unitario por
dónde es la onda triangular , definida por, es decir, es la distancia de x al número entero más cercano .
La curva de Takagi-Landsberg es una ligera generalización, dada por
para un parámetro ; por tanto, la curva blancmange es el caso. El valorse conoce como parámetro de Hurst .
La función se puede extender a toda la línea real: la aplicación de la definición dada arriba muestra que la función se repite en cada intervalo de unidad.
La función también podría estar definida por la serie en la sección Expansión de la serie de Fourier .
Definición de ecuación funcional
La versión periódica de la curva de Takagi también se puede definir como la solución acotada única a la ecuación funcional
- .
De hecho, la función blancmange es ciertamente acotado, y resuelve la ecuación funcional, ya que
- .
Por el contrario, si es una solución acotada de la ecuación funcional, iterando la igualdad que uno tiene para cualquier N
- , por
De dónde . Por cierto, las ecuaciones funcionales anteriores poseen infinitas soluciones continuas, no acotadas, p. Ej.
Construcción gráfica
La curva de mange blanco se puede construir visualmente a partir de funciones de onda triangulares si la suma infinita se aproxima mediante sumas finitas de los primeros términos. En la siguiente ilustración, las funciones triangulares progresivamente más finas (mostradas en rojo) se agregan a la curva en cada etapa.
n = 0 | n ≤ 1 | n ≤ 2 | n ≤ 3 |
Propiedades
Convergencia y continuidad
La suma infinita que define converge absolutamente para todos: desde para todos , tenemos:
- Si .
Por lo tanto, la curva de Takagi del parámetro se define en el intervalo de la unidad (o ) Si .
La función Takagi del parámetro es continuo . De hecho, las funciones definido por las sumas parciales son continuos y convergen uniformemente hacia, desde:
- por todo x cuando .
Este valor puede hacerse tan pequeño como queramos seleccionando un valor suficientemente grande de n . Por lo tanto, según el teorema del límite uniforme ,es continuo si | w | <1.
parámetro w = 2/3
parámetro w = 1/2
parámetro w = 1/3
parámetro w = 1/4
parámetro w = 1/8
Subaditividad
Dado que el valor absoluto es una función subaditiva, también lo es la función, y sus dilataciones ; Dado que las combinaciones lineales positivas y los límites puntuales de las funciones subaditivas son subaditivas, la función Takagi es subaditiva para cualquier valor del parámetro..
El caso especial de la parábola
Para , se obtiene la parábola : la construcción de la parábola por subdivisión del punto medio fue descrita por Arquímedes .
Diferenciabilidad
Para valores del parámetro la función Takagi es diferenciable en sentido clásico en cualquier que no es un racional diádico . Precisamente, por derivación bajo el signo de serie, para cualquier racional no diádico uno encuentra
dónde es la secuencia de dígitos binarios en la expansión de base 2 de, es decir, . Además, para estos valores de la función es Lipschitz de constante. En particular por el valor especial uno encuentra, para cualquier racional no diádico , de acuerdo con lo mencionado
Para la función blancmange es de variación limitada en ningún conjunto abierto no vacío; ni siquiera es Lipschitz localmente, pero es cuasi-Lipschitz, de hecho, admite la funcióncomo módulo de continuidad .
Expansión de la serie Fourier
La función Takagi-Landsberg admite una expansión de la serie de Fourier absolutamente convergente:
con y para
dónde es la potencia máxima de que divide . De hecho, la onda triangular anterior tiene una expansión de la serie Fourier absolutamente convergente
Por convergencia absoluta, se puede reordenar la serie doble correspondiente para :
poniendo produce la serie de Fourier anterior para
Auto semejanza
La definición recursiva permite dar el monoide de auto-simetrías de la curva. Este monoid está dado por dos generadores, g y r , que actúan en la curva (restringido al intervalo de unidad) como
y
- .
Un elemento general del monoide tiene entonces la forma para algunos enteros Esto actúa sobre la curva como una función lineal :para algunas constantes a , b y c . Debido a que la acción es lineal, se puede describir en términos de un espacio vectorial , con la base del espacio vectorial :
En esta representación , la acción de g y r están dadas por
y
Es decir, la acción de un elemento general mapea la curva de manjar blanco en el intervalo unitario [0,1] a un subintervalo para algunos enteros m , n , p . El mapeo viene dado exactamente pordonde los valores de un , b y c pueden obtenerse directamente multiplicando las matrices anteriores. Es decir:
Tenga en cuenta que es inmediato.
El monoid generado por g y r es a veces llamado el monoid diádica ; es un sub-monoide del grupo modular . Cuando se habla del grupo modular, la notación más común para g y r es T y S , pero que los conflictos de notación con los símbolos utilizados aquí.
La representación tridimensional anterior es solo una de las muchas representaciones que puede tener; muestra que la curva de manjar blanco es una posible realización de la acción. Es decir, hay representaciones para cualquier dimensión, no solo para 3; algunos de ellos dan las curvas de De Rham .
Integrando la curva de Blancmange
Dado que la integral de de 0 a 1 es 1/2, la identidad permite calcular la integral sobre cualquier intervalo mediante la siguiente relación. El cálculo es recursivo con el tiempo de cálculo en el orden del logaritmo de la precisión requerida. Definiendo
uno tiene eso
La integral definida viene dada por:
Se puede obtener una expresión más general definiendo
que, combinado con la representación en serie, da
Tenga en cuenta que
Esta integral también es auto-similar en el intervalo unitario, bajo una acción del monoide diádico descrito en la sección Auto-semejanza . Aquí, la representación es de 4 dimensiones, teniendo la base. Reescribiendo lo anterior para que la acción de g sea más clara: en el intervalo unitario, uno tiene
- .
A partir de esto, se pueden leer inmediatamente los generadores de la representación en cuatro dimensiones:
y
Las integrales repetidas se transforman bajo una representación de 5,6, ... dimensiones.
Relación con los complejos simpliciales.
Dejar
Definir la función Kruskal-Katona
El teorema de Kruskal-Katona establece que este es el número mínimo de ( t - 1) -simplexes que son caras de un conjunto de N t -simplexes.
Como t y N enfoque infinito, (adecuadamente normalizado) se aproxima a la curva de manjar blanco.
Ver también
- Función de cantor (también conocida como escalera del diablo)
- Función de signo de interrogación de Minkowski
- Función Weierstrass
- Transformación diádica
Referencias
- Weisstein, Eric W. "Función Blancmange" . MathWorld .
- Takagi, Teiji (1901), "Un ejemplo simple de la función continua sin derivada", Proc. Phys.-Math. Soc. Jpn. , 1 : 176–177, doi : 10.11429 / subutsuhokoku1901.1.F176
- Benoit Mandelbrot , "Paisajes fractales sin pliegues y con ríos", que aparece en La ciencia de las imágenes fractales , ed. Heinz-Otto Peitgen, Dietmar Saupe; Springer-Verlag (1988) págs. 243-260.
- Linas Vepstas, Simetrías de mapas de duplicación de períodos , (2004)
- Donald Knuth , El arte de la programación informática , volumen 4a. Algoritmos combinatorios, parte 1. ISBN 0-201-03804-8 . Consulte las páginas 372–375.
Otras lecturas
- Allaart, Pieter C .; Kawamura, Kiko (11 de octubre de 2011), La función Takagi: una encuesta , arXiv : 1110.1691 , Bibcode : 2011arXiv1110.1691A
- Lagarias, Jeffrey C. (17 de diciembre de 2011), La función Takagi y sus propiedades , arXiv : 1112.4205 , Bibcode : 2011arXiv1112.4205L
enlaces externos
- Explorador de Takagi
- (Algunas propiedades de la función Takagi)