Un gráfico euclidiano (un gráfico incrustado en algún espacio euclidiano ) es periódico si existe una base de ese espacio euclidiano cuyas traducciones correspondientes inducen simetrías de ese gráfico (es decir, la aplicación de cualquier traducción de este tipo al gráfico incrustado en el espacio euclidiano deja el gráfico sin alterar). De manera equivalente, un gráfico euclidiano periódico es una realización periódica de un gráfico de cobertura abeliano sobre un gráfico finito. [1] [2] Un gráfico euclidiano es uniformemente discreto si hay una distancia mínima entre dos vértices cualesquiera. Los gráficos periódicos están estrechamente relacionados con las teselaciones del espacio.(o panales) y la geometría de sus grupos de simetría , de ahí a la teoría de grupos geométricos , así como a la geometría discreta y la teoría de politopos , y áreas similares.
Gran parte del esfuerzo en los gráficos periódicos está motivado por aplicaciones a las ciencias naturales y la ingeniería, particularmente de redes de cristal tridimensionales a la ingeniería de cristales , predicción (diseño) de cristales y modelado del comportamiento de los cristales. También se han estudiado gráficos periódicos para modelar circuitos de integración a muy gran escala (VLSI) . [3]
Formulación básica
Un gráfico euclidiano es un par ( V , E ), donde V es un conjunto de puntos (a veces llamados vértices o nodos) y E es un conjunto de bordes (a veces llamados enlaces), donde cada borde une dos vértices. Mientras que una arista que conecta dos vértices u y v se suele interpretar como el conjunto { u , v }, una arista a veces se interpreta como el segmento de línea que conecta u y v, de modo que la estructura resultante es un complejo CW . Existe una tendencia en la literatura poliédrica y química a referirse a los gráficos geométricos como redes (en contraste con las redes poliédricas ), y la nomenclatura en la literatura química difiere de la de la teoría de grafos. [4] La mayor parte de la literatura se centra en gráficos periódicos que son uniformemente discretos en el sentido de que existe e > 0 tal que para dos vértices distintos, su distancia es | u - v | > e .
Desde el punto de vista matemático, un gráfico periódico euclidiano es una realización de un gráfico de cobertura abeliano de pliegues infinitos sobre un gráfico finito.
Obteniendo periodicidad
La identificación y clasificación de los grupos espaciales cristalográficos tomó gran parte del siglo XIX, y la confirmación de la integridad de la lista se terminó con los teoremas de Evgraf Fedorov y Arthur Schoenflies . [5] El problema se generalizó en el decimoctavo problema de David Hilbert , y el teorema de Fedorov-Schoenflies fue generalizado a dimensiones superiores por Ludwig Bieberbach . [6]
El teorema de Fedorov-Schoenflies afirma lo siguiente. Suponga que a uno se le da una gráfica euclidiana en el espacio tridimensional de manera que lo siguiente sea cierto:
- Es uniformemente discreto en el sentido de que existe e > 0 tal que para dos vértices distintos cualesquiera, su distancia es | u - v | > e .
- Llena el espacio en el sentido de que para cualquier plano en el espacio tridimensional, existen vértices del gráfico en ambos lados del plano.
- Cada vértice es de grado o valencia finito .
- Hay un número finito de órbitas de vértices bajo el grupo de simetría del gráfico geométrico.
Entonces, el gráfico euclidiano es periódico en el sentido de que los vectores de traslación en su grupo de simetría abarcan el espacio euclidiano subyacente, y su grupo de simetría es un grupo espacial cristalográfico .
La interpretación en ciencia e ingeniería es que dado que un gráfico euclidiano que representa un material que se extiende a través del espacio debe satisfacer las condiciones (1), (2) y (3), las sustancias no cristalinas, desde cuasicristales hasta vidrios, deben violar (4). Sin embargo, en el último cuarto de siglo, se ha reconocido que los cuasicristales comparten suficientes propiedades químicas y físicas con los cristales, por lo que existe una tendencia a clasificar los cuasicristales como "cristales" y a ajustar la definición de "cristal" en consecuencia. [7]
Matemáticas y computación
Gran parte de la investigación teórica de los gráficos periódicos se ha centrado en los problemas de generarlos y clasificarlos.
Problemas de clasificación
La mayor parte del trabajo sobre problemas de clasificación se ha centrado en tres dimensiones, particularmente en la clasificación de redes cristalinas , es decir, de gráficos periódicos que podrían servir como descripciones o diseños para la colocación de átomos u objetos moleculares, con enlaces indicados por bordes, en un cristal. . Uno de los criterios de clasificación más populares es el isomorfismo gráfico, que no debe confundirse con el isomorfismo cristalográfico . A menudo, dos gráficos periódicos se denominan topológicamente equivalentes si son isomórficos, aunque no necesariamente homotópicos . Aunque el problema del isomorfismo del grafo es el tiempo polinomial reducible a la equivalencia topológica de la red cristalina (lo que hace que la equivalencia topológica sea un candidato para ser "computacionalmente intratable" en el sentido de no ser computable en el tiempo polinomial ), una red cristalina generalmente se considera nueva si y solo si no se conoce una red topológicamente equivalente. Esto ha centrado la atención en los invariantes topológicos.
Una invariante es la matriz de ciclos mínimos (a menudo llamados anillos en la literatura de química) dispuestos alrededor de vértices genéricos y representados en un símbolo de Schlafli . Los ciclos de una red de cristal están relacionados [8] con otro invariante, el de la secuencia de coordinación (o mapa de capas en topología [9] ), que se define de la siguiente manera. Primero, una secuencia de distancia desde un vértice v en una gráfica es la secuencia n 1 , n 2 , n 3 , ..., donde n i es el número de vértices de distancia i desde v . La secuencia de coordinación es la secuencia s 1 , s 2 , s 3 , ..., donde s i es la media ponderada de las i -ésimas entradas de las secuencias de distancia de los vértices de las (órbitas de las) redes cristalinas, donde el los pesos son la proporción asintótica de vértices de cada órbita. Las sumas acumulativas de la secuencia de coordinación se denotan como densidad topológica , y la suma de los primeros diez términos (más 1 para el término cero), a menudo denotado como TD10, es un término de búsqueda estándar en las bases de datos de Crystal Net. Consulte [10] [11] para conocer un aspecto matemático de la densidad topológica que está estrechamente relacionado con la propiedad de gran desviación de los paseos aleatorios simples.
Otro invariante surge de la relación entre teselaciones y gráficos euclidianos. Si consideramos una teselación como un conjunto de regiones sólidas (posiblemente poliédricas), caras (posiblemente poligonales), curvas (posiblemente lineales) y vértices, es decir, como un complejo CW , entonces las curvas y los vértices forman un gráfico euclidiano ( o 1-esqueleto ) de la teselación. (Además, el gráfico de adyacencia de los mosaicos induce otro gráfico euclidiano). Si hay un número finito de prototiles en el mosaico, y el mosaico es periódico, el gráfico euclidiano resultante será periódico. Yendo en la dirección inversa, los prototipos de una teselación cuyo esqueleto 1 es (topológicamente equivalente a) el gráfico periódico dado, uno tiene otra invariante, y es esta invariante la que es calculada por el programa de computadora TOPOS. [12]
Generando gráficos periódicos
Existen varios algoritmos de enumeración de gráficos periódicos existentes, incluida la modificación de redes existentes para producir nuevas, [13] pero parece haber dos clases principales de enumeradores.
Uno de los principales algoritmos sistemáticos de enumeración de redes de cristal existentes [14] se basa en la representación de teselados mediante una generalización del símbolo Schläfli de Boris Delauney y Andreas Dress, mediante el cual cualquier teselado (de cualquier dimensión) puede ser representado por una estructura finita , [15] que podemos llamar un símbolo de Dress-Delaney . Cualquier enumerador eficaz de símbolos de Dress-Delaney puede enumerar eficazmente las redes periódicas que corresponden a teselados. El enumerador tridimensional del símbolo Dress-Delaney de Delgado-Friedrichs et al. ha predicho varias redes de cristal novedosas que se sintetizaron más tarde. [16] Mientras tanto, un enumerador de Dress-Delaney bidimensional que genera reticulaciones de espacio hiperbólico bidimensional que se diseca quirúrgicamente y se envuelve alrededor de una superficie mínima triplemente periódica como Gyroid , Diamond o Primitive , ha generado muchas redes de cristal novedosas. [17] [18]
Otro enumerador existente se centra actualmente en generar redes cristalinas plausibles de zeolitas . La extensión del grupo de simetría al espacio tridimensional permite caracterizar un dominio (o región) fundamental del espacio tridimensional, cuya intersección con la red induce un subgrafo que, en posición general, tendrá un vértice por cada órbita de vértices. Este subgrafo puede estar conectado o no, y si un vértice se encuentra en un eje de rotación o algún otro punto fijo de alguna simetría de la red, el vértice puede estar necesariamente en el límite de cualquier región fundamental. En este caso, la red se puede generar aplicando el grupo de simetría al subgrafo en la región fundamental. [19] Se han desarrollado otros programas que de manera similar generan copias de un fragmento inicial y las pegan en un gráfico periódico [20]
Ver también
- Gráficos periódicos como modelos de cristales para diseño.
Referencias
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Otras lecturas
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