En matemáticas , especialmente en el estudio de sistemas dinámicos , un conjunto límite es el estado que alcanza un sistema dinámico después de que ha pasado una cantidad infinita de tiempo, ya sea avanzando o retrocediendo en el tiempo. Los conjuntos de límites son importantes porque pueden usarse para comprender el comportamiento a largo plazo de un sistema dinámico.
Tipos
En general, los conjuntos de límites pueden ser muy complicados como en el caso de atractores extraños , pero para sistemas dinámicos bidimensionales, el teorema de Poincaré-Bendixson proporciona una caracterización simple de todos los elementos compactos no vacíos.-conjuntos límite que contienen a lo sumo un número finito de puntos fijos como un punto fijo, una órbita periódica o una unión de puntos fijos y órbitas homoclínicas o heteroclínicas que conectan esos puntos fijos.
Definición de funciones iteradas
Dejar ser un espacio métrico y dejarser una función continua . La-conjunto límite de , denotado por , es el conjunto de puntos del cúmulo de la órbita delantera de la función iterada . [1] Por lo tanto, si y solo si hay una secuencia estrictamente creciente de números naturales tal que como . Otra forma de expresar esto es
dónde denota el cierre de conjunto. El cierre es aquí necesario, ya que no hemos asumido que el espacio métrico subyacente de interés sea un espacio métrico completo . Los puntos en el límite establecido no son errantes (pero pueden no ser puntos recurrentes ). Esto también se puede formular como el límite externo ( limsup ) de una secuencia de conjuntos, de modo que
Si es un homeomorfismo (es decir, una biyección bicontinua), entonces el-el conjunto de límites se define de manera similar, pero para la órbita hacia atrás; es decir .
Ambos conjuntos son -invariante, y si es compacto , son compactos y no vacíos.
Definición de flujos
Dado un sistema dinámico real ( T , X , φ) con flujo , un punto x , llamamos a un punto y un ω- punto límite de x si existe una secuenciaen R para que
- .
Para una órbita γ de ( T , X , φ), decimos que y es un punto límite ω de γ, si es un punto límite ω de algún punto de la órbita.
De manera análoga, llamamos a y un punto límite α de x si existe una secuenciaen R para que
- .
Para una órbita γ de ( T , X , φ), decimos que y es un punto límite α de γ, si es un punto límite α de algún punto de la órbita.
El conjunto de todos los puntos límite ω (puntos límite α) para una órbita γ dada se denomina conjunto límite ω ( conjunto límite α ) para γ y se denota lim ω γ (lim α γ).
Si el conjunto de límites ω (conjunto de límites α) es disjunto de la órbita γ, es decir lim ω γ ∩ γ = ∅ (lim α γ ∩ γ = ∅), llamamos lim ω γ (lim α γ) a ω -ciclo límite ( ciclo α-límite ).
Alternativamente, los conjuntos de límites se pueden definir como
y
Ejemplos de
- Para cualquier órbita periódica γ de un sistema dinámico, lim ω γ = lim α γ = γ
- Para cualquier punto fijo de un sistema dinámico, lim ω = lim α =
Propiedades
- lim ω γ y lim α γ están cerrados
- si X es compacto, entonces lim ω γ y lim α γ no están vacíos , son compactos y están conectados
- lim ω γ y lim α γ son φ-invariantes, es decir φ ( R × lim ω γ) = lim ω γ y φ ( R × lim α γ) = lim α γ
Ver también
Referencias
- ^ Alligood, Kathleen T .; Sauer, Tim D .; Yorke, James A. (1996). Caos, una introducción a los sistemas dinámicos . Saltador.
Otras lecturas
- Teschl, Gerald (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos . Providencia : Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-8328-0.
Este artículo incorpora material de Omega-limit establecido en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License .