En el procesamiento de señales , un periodograma es una estimación de la densidad espectral de una señal. El término fue acuñado por Arthur Schuster en 1898. [1] Hoy en día, el periodograma es un componente de métodos más sofisticados (ver estimación espectral ). Es la herramienta más común para examinar las características de amplitud frente a frecuencia de los filtros FIR y las funciones de ventana . Los analizadores de espectro FFT también se implementan como una secuencia de tiempo de periodogramas.
Definición
Actualmente se utilizan al menos dos definiciones diferentes. [2] Uno de ellos implica promediar el tiempo, [3] y el otro no. [4] El promedio de tiempo también es competencia de otros artículos ( método de Bartlett y método de Welch ). Este artículo no trata sobre promediar el tiempo. La definición de interés aquí es que la densidad espectral de potencia de una función continua, es la transformada de Fourier de su función de autocorrelación (consulte el teorema de correlación cruzada , la densidad espectral de energía y el teorema de Wiener-Khinchin ) :
Cálculo
Para valores suficientemente pequeños del parámetro T, se puede observar una aproximación arbitrariamente precisa para X ( f ) en la región de la función:
que está determinada con precisión por las muestras x ( nT ) que abarcan la duración distinta de cero de x ( t ) (ver Transformada de Fourier de tiempo discreto ).
Y para valores suficientemente grandes del parámetro N , se puede evaluar con una frecuencia arbitrariamente cercana mediante una suma de la forma:
donde k es un número entero. La periodicidad de permite que esto se escriba de manera muy simple en términos de una transformada discreta de Fourier :
dónde es una suma periódica:
Cuando se evalúa para todos los números enteros, k , entre 0 y N -1, la matriz:
Aplicaciones
Cuando se utiliza un periodograma para examinar las características detalladas de un filtro FIR o función de ventana , el parámetro N se elige para que sea varios múltiplos de la duración distinta de cero de la secuencia x [ n ] , que se denomina relleno de ceros (ver § Muestreo de DTFT ). [A] Cuando se utiliza para implementar un banco de filtros , N son varios submúltiplos de la duración distinta de cero de la secuencia x [ n ] (ver § Muestreo de DTFT ).
Una de las deficiencias del periodograma es que la varianza a una frecuencia determinada no disminuye a medida que aumenta el número de muestras utilizadas en el cálculo. No proporciona el promedio necesario para analizar señales de ruido o incluso sinusoides con relaciones de señal a ruido bajas. Las funciones de ventana y las respuestas de impulso de filtro son silenciosas, pero muchas otras señales requieren métodos más sofisticados de estimación espectral . Dos de las alternativas utilizan periodogramas como parte del proceso:
- El método de periodogramas promediados , [8] más comúnmente conocido como método de Welch , [9] [10] divide una secuencia larga x [n] en múltiples subsecuencias más cortas y posiblemente superpuestas. Calcula un periodograma en ventana de cada uno y calcula un promedio de matriz, es decir, una matriz donde cada elemento es un promedio de los elementos correspondientes de todos los periodogramas. Para procesos estacionarios , esto reduce la varianza de ruido de cada elemento en aproximadamente un factor igual al recíproco del número de periodogramas.
- El suavizado es una técnica de promediado en frecuencia, en lugar de tiempo. El periodograma suavizado a veces se denomina gráfico espectral . [11] [12]
Las técnicas basadas en periodogramas introducen pequeños sesgos que son inaceptables en algunas aplicaciones. Otras técnicas que no se basan en periodogramas se presentan en el artículo de estimación de densidad espectral .
Ver también
- Filtro coincidente
- Retroproyección filtrada (transformada de radón)
- El método de Welch
- El método de Bartlett
- Transformada de Fourier de tiempo discreto
- Análisis espectral de mínimos cuadrados , para calcular periodogramas en datos que no están igualmente espaciados
- Clasificación múltiple de señales (MUSIC), un método popular de superresolución paramétrica
- SAMV
Notas
- ^ N se designa como NFFT en las aplicaciones Matlab y Octave.
Referencias
- ^ Schuster, Arthur (enero de 1898). "Sobre la investigación de periodicidades ocultas con aplicación a un supuesto período de 26 días de fenómenos meteorológicos" (PDF) . Magnetismo terrestre . 3 (1): 13–41. Código bibliográfico : 1898TeMag ... 3 ... 13S . doi : 10.1029 / TM003i001p00013 .
Es conveniente tener una palabra para alguna representación de una cantidad variable que corresponderá al "espectro" de una radiación luminosa. Propongo la palabra periodograma , y la defino más particularmente de la siguiente manera.
- ^ McSweeney, Laura A. (14 de mayo de 2004). "Comparación de pruebas de periodograma". Revista de Computación y Simulación Estadística . en línea ($ 50). 76 (4): 357–369. doi : 10.1080 / 10629360500107618 .
- ^ "Periodograma — Documentación de Wolfram Language" .
- ^ a b "Estimación de la densidad espectral de potencia del periodograma - periodograma de MATLAB" .
- ^ Oppenheim, Alan V .; Schafer, Ronald W .; Buck, John R. (1999). Procesamiento de señales en tiempo discreto (2ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall. pag. 732 (10,55). ISBN 0-13-754920-2. url = https://d1.amobbs.com/bbs_upload782111/files_24/ourdev_523225.pdf
- ^ Rabiner, Lawrence R .; Oro, Bernard (1975). "6,18". Teoría y aplicación del procesamiento de señales digitales . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall. págs. 415 . ISBN 0-13-914101-4.
- ^ "Hágalo usted mismo: ¿se esconde Próxima c en este gráfico?" . www.eso.org . Consultado el 11 de septiembre de 2017 .
- ^ Engelberg, S. (2008), Procesamiento de señales digitales: un enfoque experimental , Springer, Cap. 7 p. 56
- ^ Welch, Peter D. (junio de 1967). "El uso de la Transformada Rápida de Fourier para la estimación de espectros de potencia: un método basado en promediar el tiempo sobre periodogramas cortos y modificados". Transacciones IEEE sobre audio y electroacústica . AU-15 (2): 70–73. Código Bibliográfico : 1967ITAE ... 15 ... 70W . doi : 10.1109 / TAU.1967.1161901 .
- ^ "Estimación de la densidad espectral de potencia de Welch - MATLAB pwelch" .
- ^ Gráfico espectral , delmanual de estadísticas de ingenieríadel NIST .
- ^ "Manual de referencia de DATAPLOT" (PDF) . NIST.gov . Instituto Nacional de Estándares y Tecnología (NIST). 1997-03-11 . Consultado el 14 de junio de 2019 .
El gráfico espectral es esencialmente un periodograma "suavizado" en el que el suavizado se realiza en el dominio de la frecuencia.
Otras lecturas
- Caja, George EP; Jenkins, Gwilym M. (1976). Análisis de series de tiempo: pronóstico y control . San Francisco: Holden-Day.
- Scargle, JD (15 de diciembre de 1982). "Estudios en análisis de series de tiempo astronómico. II - Aspectos estadísticos del análisis espectral de datos espaciados desigualmente". Revista astrofísica, parte 1 . 263 : 835–853. Código bibliográfico : 1982ApJ ... 263..835S . doi : 10.1086 / 160554 .
- Vaughan, Simon; Uttley, Philip (2006). "Detección de QPOs de rayos X en galaxias activas". Avances en la investigación espacial . 38 (7): 1405–1408. arXiv : astro-ph / 0506456 . Código Bibliográfico : 2006AdSpR..38.1405V . doi : 10.1016 / j.asr.2005.02.064 .