En el procesamiento de señales , se obtiene un filtro adaptado correlacionando una señal retardada conocida , o plantilla , con una señal desconocida para detectar la presencia de la plantilla en la señal desconocida. [1] [2] Esto equivale a convolucionar la señal desconocida con una versión conjugada de tiempo invertido de la plantilla. El filtro combinado es el filtro lineal óptimo para maximizar la relación señal-ruido (SNR) en presencia de ruido estocástico aditivo .
Los filtros combinados se utilizan comúnmente en los radares , en los que se envía una señal conocida y la señal reflejada se examina en busca de elementos comunes de la señal de salida. La compresión de pulsos es un ejemplo de filtrado adaptado. Se llama así porque la respuesta de impulso se corresponde con las señales de impulso de entrada. Los filtros emparejados bidimensionales se utilizan comúnmente en el procesamiento de imágenes , por ejemplo, para mejorar la SNR de las observaciones de rayos X. El filtrado emparejado es una técnica de demodulación con filtros LTI (invariantes en el tiempo lineal) para maximizar la SNR. [3] Originalmente también se conocía como filtro norte . [4]
Derivación
Derivación vía álgebra matricial
La siguiente sección deriva el filtro adaptado para un sistema de tiempo discreto . La derivación para un sistema de tiempo continuo es similar, con sumas reemplazadas por integrales.
El filtro combinado es el filtro lineal, , que maximiza la relación señal / ruido de salida .
dónde es la entrada en función de la variable independiente , y es la salida filtrada. Aunque con mayor frecuencia expresamos los filtros como la respuesta al impulso de los sistemas de convolución, como se indicó anteriormente (consulte la teoría del sistema LTI ), es más fácil pensar en el filtro emparejado en el contexto del producto interno , que veremos en breve.
Podemos derivar el filtro lineal que maximiza la relación señal / ruido de salida invocando un argumento geométrico. La intuición detrás del filtro emparejado se basa en correlacionar la señal recibida (un vector) con un filtro (otro vector) que es paralelo a la señal, maximizando el producto interno. Esto mejora la señal. Cuando consideramos el ruido estocástico aditivo, tenemos el desafío adicional de minimizar la salida debido al ruido eligiendo un filtro que sea ortogonal al ruido.
Definamos formalmente el problema. Buscamos un filtro,, de manera que maximizamos la relación señal-ruido de salida, donde la salida es el producto interno del filtro y la señal observada .
Nuestra señal observada consiste en la señal deseable y ruido aditivo :
Definamos la matriz de covarianza del ruido, recordándonos que esta matriz tiene simetría hermitiana , propiedad que será útil en la derivación:
dónde denota la transposición conjugada de, y denota expectativa . Llamemos a nuestra salida,, el producto interno de nuestro filtro y la señal observada tal que
Ahora definimos la relación señal-ruido, que es nuestra función objetivo, como la relación entre la potencia de salida debida a la señal deseada y la potencia de salida debida al ruido:
Reescribimos lo anterior:
Deseamos maximizar esta cantidad eligiendo . Ampliando el denominador de nuestra función objetivo, tenemos
Ahora nuestro se convierte en
Reescribiremos esta expresión con alguna manipulación de matriz. La razón de esta medida aparentemente contraproducente se hará evidente en breve. Explotación de la simetría hermitiana de la matriz de covarianza, podemos escribir
Nos gustaría encontrar un límite superior en esta expresión. Para hacerlo, primero reconocemos una forma de desigualdad de Cauchy-Schwarz :
lo que quiere decir que el cuadrado del producto interno de dos vectores solo puede ser tan grande como el producto de los productos internos individuales de los vectores. Este concepto vuelve a la intuición detrás del filtro emparejado: este límite superior se logra cuando los dos vectores y son paralelos. Reanudamos nuestra derivación expresando el límite superior de nuestra a la luz de la desigualdad geométrica anterior:
Nuestra valiente manipulación de la matriz ahora ha dado sus frutos. Vemos que la expresión de nuestro límite superior se puede simplificar enormemente:
Podemos lograr este límite superior si elegimos,
dónde es un número real arbitrario. Para verificar esto, conectamos nuestra expresión para la salida:
Por lo tanto, nuestro filtro combinado óptimo es
A menudo elegimos normalizar el valor esperado de la potencia de la salida del filtro debido al ruido a la unidad. Es decir, restringimos
Esta restricción implica un valor de , para lo cual podemos resolver:
flexible
dándonos nuestro filtro normalizado,
Si nos importa escribir la respuesta de impulso del filtro para el sistema de convolución, es simplemente la compleja inversión de tiempo conjugado de la entrada .
Aunque hemos derivado el filtro emparejado en tiempo discreto, podemos extender el concepto a sistemas de tiempo continuo si reemplazamos con la función de autocorrelación de tiempo continuo del ruido, asumiendo una señal continua, ruido continuo , y un filtro continuo .
Derivación vía lagrangiana
Alternativamente, podemos resolver el filtro emparejado resolviendo nuestro problema de maximización con un lagrangiano. Una vez más, el filtro adaptado se esfuerza por maximizar la relación señal / ruido de salida () de una señal determinista filtrada en ruido estocástico aditivo. La secuencia observada, nuevamente, es
con la matriz de covarianza de ruido,
La relación señal-ruido es
dónde y .
Al evaluar la expresión en el numerador, tenemos
y en el denominador,
La relación señal-ruido se vuelve
Si ahora restringimos el denominador a 1, el problema de maximizar se reduce a maximizar el numerador. Luego podemos formular el problema usando un multiplicador de Lagrange :
que reconocemos como un problema de valor propio generalizado
Desde es de rango unitario, solo tiene un valor propio distinto de cero. Se puede demostrar que este valor propio es igual a
produciendo el siguiente filtro combinado óptimo
Este es el mismo resultado encontrado en la subsección anterior.
Interpretación como estimador de mínimos cuadrados
Derivación
El filtrado emparejado también se puede interpretar como un estimador de mínimos cuadrados para la ubicación óptima y el escalado de un modelo o plantilla determinados. Una vez más, definamos la secuencia observada como
dónde es ruido medio cero no correlacionado. La señal se supone que es una versión escalada y modificada de una secuencia de modelo conocida :
Queremos encontrar estimaciones óptimas y para el turno desconocido y escalado minimizando el residuo de mínimos cuadrados entre la secuencia observada y una "secuencia de sondeo" :
La Apropiada más tarde resultará ser el filtro correspondiente, pero aún no se ha especificado. En expansión y el cuadrado dentro de la suma da
- .
El primer término entre paréntesis es una constante (ya que se da la señal observada) y no influye en la solución óptima. El último término tiene un valor esperado constante porque el ruido no está correlacionado y tiene una media cero. Por lo tanto, podemos eliminar ambos términos de la optimización. Después de invertir el signo, obtenemos el problema de optimización equivalente
- .
Configuración de la derivada wrt a cero da una solución analítica para :
- .
Insertar esto en nuestra función objetivo produce un problema de maximización reducido por solo :
- .
El numerador se puede acotar por la parte superior mediante la desigualdad de Cauchy-Schwarz :
- .
El problema de optimización asume su máximo cuando se cumple la igualdad en esta expresión. Según las propiedades de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, esto solo es posible cuando
- .
para constantes arbitrarias distintas de cero o , y la solución óptima se obtiene en como se desee. Por lo tanto, nuestra "secuencia de sondeo" debe ser proporcional al modelo de señal y la opción conveniente produce el filtro emparejado
- .
Tenga en cuenta que el filtro es el modelo de señal reflejada. Esto asegura que la operación que debe aplicarse para encontrar el óptimo es de hecho la convolución entre la secuencia observada y el filtro combinado . La secuencia filtrada asume su máximo en la posición donde la secuencia observada las mejores coincidencias (en un sentido de mínimos cuadrados) el modelo de señal .
Trascendencia
El filtro emparejado puede derivarse de varias formas, [2] pero como un caso especial de un procedimiento de mínimos cuadrados , también puede interpretarse como un método de máxima verosimilitud en el contexto de un modelo de ruido gaussiano (coloreado) y el asociado Poca probabilidad . [5] Si la señal transmitida no posee parámetros desconocidos (como tiempo de llegada, amplitud, ...), entonces el filtro emparejado, según el lema de Neyman-Pearson , minimizaría la probabilidad de error. Sin embargo, dado que la señal exacta generalmente está determinada por parámetros desconocidos que efectivamente se estiman (o ajustan ) en el proceso de filtrado, el filtro emparejado constituye una estadística de máxima verosimilitud (prueba) generalizada . [6] La serie de tiempo filtrada puede entonces interpretarse como (proporcional a) la probabilidad del perfil , la probabilidad condicional maximizada en función del parámetro de tiempo. [7] Esto implica en particular que la probabilidad de error (en el sentido de Neyman y Pearson, es decir, con respecto a la maximización de la probabilidad de detección para una probabilidad dada de falsa alarma [8] ) no es necesariamente óptima. Lo que comúnmente se conoce como la relación señal-ruido (SNR) , que se supone que se maximiza mediante un filtro adaptado, en este contexto corresponde a, dónde es la razón de probabilidad maximizada (condicionalmente). [7] [nb 1]
La construcción del filtro adaptado se basa en un espectro de ruido conocido . En realidad, sin embargo, el espectro de ruido generalmente se estima a partir de datos y, por lo tanto, solo se conoce con una precisión limitada. Para el caso de un espectro incierto, el filtro adaptado puede generalizarse a un procedimiento iterativo más robusto con propiedades favorables también en ruido no gaussiano. [7]
Interpretación en el dominio de la frecuencia
Cuando se ve en el dominio de la frecuencia, es evidente que el filtro adaptado aplica la mayor ponderación a los componentes espectrales que exhiben la mayor relación señal-ruido (es decir, gran peso donde el ruido es relativamente bajo y viceversa). En general, esto requiere una respuesta de frecuencia no plana, pero la "distorsión" asociada no es motivo de preocupación en situaciones como el radar y las comunicaciones digitales , donde se conoce la forma de onda original y el objetivo es la detección de esta señal contra el ruido de fondo. . En el aspecto técnico, el filtro emparejado es un método de mínimos cuadrados ponderados basado en los datos ( heterocedásticos ) en el dominio de la frecuencia (donde los "pesos" se determinan mediante el espectro de ruido, ver también la sección anterior), o equivalentemente, un mínimo- método de cuadrados aplicado a los datos blanqueados .
Ejemplos de
Filtro combinado en radar y sonar
Los filtros combinados se utilizan a menudo en la detección de señales . [1] Como ejemplo, suponga que deseamos juzgar la distancia de un objeto reflejando una señal en él. Podemos optar por transmitir una sinusoide de tono puro a 1 Hz. Suponemos que nuestra señal recibida es una forma atenuada y desfasada de la señal transmitida con ruido añadido.
Para juzgar la distancia del objeto, correlacionamos la señal recibida con un filtro emparejado, que, en el caso del ruido blanco (no correlacionado) , es otra sinusoide de tono puro de 1 Hz. Cuando la salida del sistema de filtro adaptado excede un cierto umbral, concluimos con alta probabilidad de que la señal recibida se ha reflejado en el objeto. Usando la velocidad de propagación y el tiempo que observamos por primera vez la señal reflejada, podemos estimar la distancia del objeto. Si cambiamos la forma del pulso de una manera especialmente diseñada, la relación señal-ruido y la resolución de la distancia se pueden mejorar incluso después del filtrado adaptado: esta es una técnica conocida como compresión de pulso .
Además, los filtros emparejados se pueden utilizar en problemas de estimación de parámetros (ver teoría de estimación ). Para volver a nuestro ejemplo anterior, es posible que deseemos estimar la velocidad del objeto, además de su posición. Para aprovechar el efecto Doppler , nos gustaría estimar la frecuencia de la señal recibida. Para hacerlo, podemos correlacionar la señal recibida con varios filtros emparejados de sinusoides en frecuencias variables. El filtro emparejado con la salida más alta revelará, con alta probabilidad, la frecuencia de la señal reflejada y nos ayudará a determinar la velocidad del objeto. Este método es, de hecho, una versión simple de la transformada discreta de Fourier (DFT) . La DFT toma un-valora la entrada compleja y la correlaciona con filtros emparejados, correspondientes a exponenciales complejos en diferentes frecuencias, para ceder números de valor complejo correspondientes a las amplitudes y fases relativas de los componentes sinusoidales (consulte Indicación de objetivo móvil ).
Filtro adaptado en comunicaciones digitales
El filtro combinado también se utiliza en comunicaciones. En el contexto de un sistema de comunicación que envía mensajes binarios desde el transmisor al receptor a través de un canal ruidoso, se puede utilizar un filtro adaptado para detectar los pulsos transmitidos en la señal recibida con ruido.
Imagine que queremos enviar la secuencia "0101100100" codificada en no polar sin retorno a cero (NRZ) a través de un determinado canal.
Matemáticamente, una secuencia en código NRZ puede describirse como una secuencia de pulsos unitarios o funciones rectificadas desplazadas , cada pulso ponderado por +1 si el bit es "1" y por -1 si el bit es "0". Formalmente, el factor de escala para el bit es,
Podemos representar nuestro mensaje, , como la suma de los pulsos unitarios desplazados:
dónde es la longitud de tiempo de un bit.
Por tanto, la señal a enviar por el transmisor es
Si modelamos nuestro canal ruidoso como un canal AWGN , se agrega ruido blanco gaussiano a la señal. En el extremo del receptor, para una relación señal / ruido de 3 dB, esto puede verse así:
Un primer vistazo no revelará la secuencia transmitida original. Hay una alta potencia de ruido en relación con la potencia de la señal deseada (es decir, hay una baja relación señal / ruido ). Si el receptor muestreara esta señal en los momentos correctos, el mensaje binario resultante posiblemente desmentiría el original transmitido.
Para aumentar nuestra relación señal-ruido, pasamos la señal recibida a través de un filtro adaptado. En este caso, el filtro debe coincidir con un pulso NRZ (equivalente a un "1" codificado en código NRZ). Precisamente, la respuesta al impulso del filtro emparejado ideal, asumiendo que el ruido blanco (no correlacionado) debe ser una versión escalada conjugada compleja de tiempo inverso de la señal que estamos buscando. Nosotros elegimos
En este caso, debido a la simetría, el complejo conjugado de tiempo invertido de es de hecho , permitiéndonos llamar la respuesta al impulso de nuestro sistema de convolución de filtro adaptado.
Después de convolucionar con el filtro emparejado correcto, la señal resultante, es,
dónde denota convolución.
El cual ahora puede ser muestreado de manera segura por el receptor en los instantes de muestreo correctos y comparado con un umbral apropiado, lo que resulta en una interpretación correcta del mensaje binario.
Filtro combinado en astronomía de ondas gravitacionales
Los filtros combinados juegan un papel central en la astronomía de ondas gravitacionales . [9] La primera observación de ondas gravitacionales se basó en el filtrado a gran escala de la salida de cada detector para señales que se asemejaran a la forma esperada, seguido de una selección posterior de disparos coincidentes y coherentes entre ambos instrumentos. A continuación, se evaluaron las tasas de falsas alarmas y, con ello, la significación estadística de la detección mediante métodos de remuestreo . [10] [11] La inferencia sobre los parámetros de la fuente astrofísica se completó utilizando métodos bayesianos basados en modelos teóricos parametrizados para la forma de onda de la señal y (nuevamente) en la probabilidad de Whittle . [12] [13]
Ver también
- Periodograma
- Retroproyección filtrada (transformada de radón)
- Filtro digital
- Procesamiento estadístico de señales
- Probabilidad pequeña
- Probabilidad del perfil
- Teoría de la detección
- Problema de comparaciones múltiples
- Capacidad de canal
- Teorema de codificación de canal ruidoso
- Estimación de densidad espectral
- Filtro de mínimos cuadrados medios (LMS)
- Filtro de salchicha
- Clasificación múltiple de señales (MUSIC), un método popular de superresolución paramétrica
- SAMV
Notas
- ^ De hecho, la referencia común a la SNR ha sido criticada por ser algo engañosa: " La característica interesante de este enfoque es que la perfección teórica se logra sin apuntar conscientemente a una relación señal / ruido máxima. Como cuestión de interés bastante incidental, sucede que la operación maximiza la relación pico señal / ruido, pero este hecho no juega ningún papel en la presente teoría. La relación señal / ruido no es una medida de información [...] "( Woodward , 1953; [1] Sec. 5.1).
Referencias
- ↑ a b c Woodward, PM (1953). Teoría de la probabilidad y la información con aplicaciones al radar . Londres: Pergamon Press .
- ^ a b Turín, GL (1960). "Una introducción a los filtros combinados" . Transacciones IRE sobre teoría de la información . 6 (3): 311–329. doi : 10.1109 / TIT.1960.1057571 .
- ^ "Demodulación" . OpenStax CNX . Consultado el 18 de abril de 2017 .
- ^ Después de DO North, quien fue uno de los primeros en introducir el concepto: Norte, DO (1943). "Un análisis de los factores que determinan la discriminación señal / ruido en sistemas portadores pulsados". Informe PPR-6C, RCA Laboratories, Princeton, Nueva Jersey .
Reimprimir: Norte, DO (1963). "Un análisis de los factores que determinan la discriminación señal / ruido en sistemas portadores de impulsos". Actas del IEEE . 51 (7): 1016–1027. doi : 10.1109 / PROC.1963.2383 .
Ver también: Jaynes, ET (2003). "14.6.1 El filtro emparejado clásico ". Teoría de la probabilidad: la lógica de la ciencia . Cambridge: Cambridge University Press . - ^ Choudhuri, N .; Ghosal, S .; Roy, A. (2004). "Contigüidad de la medida de Whittle para una serie de tiempo gaussiana" . Biometrika . 91 (4): 211–218. doi : 10.1093 / biomet / 91.1.211 .
- ^ Estado de ánimo, AM; Graybill, FA; Boes, DC (1974). "IX. Pruebas de hipótesis ". Introducción a la teoría de la estadística (3ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill.
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Otras lecturas
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