Integral de Henstock-Kurzweil

En matemáticas , la integral de Henstock-Kurzweil o la integral de Riemann generalizada o la integral de calibre , también conocida como la integral (estrecha) de Denjoy (pronunciada[dɑ̃ˈʒwa] ), integral de Luzin o integral de Perron , pero que no debe confundirse con la integral amplia más general de Denjoy - es una de varias definiciones de la integral de una función . Es una generalización de la integral de Riemann , y en algunas situaciones es más general que la integral de Lebesgue . En particular, una función es integrable según Lebesgue si y solo si la función y su valor absoluto son integrables según Henstock-Kurzweil.

Esta integral fue definida por primera vez por Arnaud Denjoy (1912). Denjoy estaba interesado en una definición que permitiera integrar funciones como

Esta función tiene una singularidad en 0 y no es integrable de Lebesgue. Sin embargo, parece natural calcular su integral excepto en el intervalo [− ε , δ ] y luego dejar que ε, δ → 0 .

Tratando de crear una teoría general, Denjoy utilizó la inducción transfinita sobre los posibles tipos de singularidades, lo que complicaba bastante la definición. Otras definiciones fueron dadas por Nikolai Luzin (usando variaciones sobre las nociones de continuidad absoluta ), y por Oskar Perron , quien estaba interesado en las funciones mayores y menores continuas. Me tomó un tiempo entender que las integrales de Perron y Denjoy son en realidad idénticas.

Más tarde, en 1957, el matemático checo Jaroslav Kurzweil descubrió una nueva definición de esta integral elegantemente similar en naturaleza a la definición original de Riemann a la que denominó integral de calibre ; la teoría fue desarrollada por Ralph Henstock . Debido a estas dos importantes contribuciones, ahora se conoce comúnmente como la integral de Henstock-Kurzweil . La simplicidad de la definición de Kurzweil hizo que algunos educadores defendieran que esta integral debería reemplazar a la integral de Riemann en los cursos de introducción al cálculo. [1]

definimos la suma de Riemann para una función como