En geometría , el teorema de Petr-Douglas-Neumann (o el teorema de PDN ) es un resultado relativo a polígonos planos arbitrarios . El teorema afirma que un cierto procedimiento cuando se aplica a un polígono arbitrario siempre produce un polígono regular que tiene el mismo número de lados que el polígono inicial. El teorema fue publicado por primera vez por Karel Petr (1868-1950) de Praga en 1908. [1] [2] El teorema fue redescubierto independientemente por Jesse Douglas (1897-1965) en 1940 [3] y también por BH Neumann (1909-1965). 2002) en 1941.[2] [4] El nombre del teorema como teorema de Petr-Douglas-Neumann , o como el teorema PDN para abreviar, se debe a Stephen B Gray. [2] Este teorema también se ha denominado teorema de Douglas , el teorema de Douglas-Neumann , el teorema de Napoleón-Douglas-Neumann y el teorema de Petr . [2]
El teorema de PDN es una generalización del teorema de Napoleón que se ocupa de los triángulos arbitrarios y del teorema de van Aubel que está relacionado con los cuadriláteros arbitrarios .
Declaración del teorema
El teorema de Petr-Douglas-Neumann afirma lo siguiente. [3] [5]
- Si se erigen triángulos isósceles con ángulos de vértice 2kπ / n en los lados de un n-gon A 0 arbitrario , y si este proceso se repite con el n-gon formado por los ápices libres de los triángulos, pero con un valor diferente de k , y así sucesivamente hasta que se hayan usado todos los valores 1 ≤ k ≤ n - 2 (en orden arbitrario), entonces se forma un n-gon regular A n − 2 cuyo centroide coincide con el centroide de A 0 .
Especialización en triángulos
En el caso de los triángulos, el valor de n es 3 y el de n - 2 es 1. Por lo tanto, solo hay un valor posible para k , a saber 1. La especialización del teorema en triángulos afirma que el triángulo A 1 es un triángulo regular. 3-gon, es decir, un triángulo equilátero.
A 1 está formado por los ápices de los triángulos isósceles con un ángulo de vértice 2π / 3 erigido sobre los lados del triángulo A 0 . Los vértices de A 1 son los centros de triángulos equiláteros erigidos sobre los lados del triángulo A 0 . Por tanto, la especialización del teorema PDN en un triángulo se puede formular de la siguiente manera:
- Si se erigen triángulos equiláteros sobre los lados de cualquier triángulo, entonces el triángulo formado por los centros de los tres triángulos equiláteros es equilátero.
La última afirmación es la afirmación del teorema de Napoleón .
Especialización en cuadriláteros
En el caso de los cuadriláteros , el valor de n es 4 y el de n - 2 es 2. Hay dos valores posibles para k , a saber, 1 y 2, por lo que dos ángulos de vértice posibles, a saber:
- (2 × 1 × π) / 4 = π / 2 = 90 ° (correspondiente a k = 1)
- (2 × 2 × π) / 4 = π = 180 ° (correspondiente a k = 2).
De acuerdo con el teorema de PDN, el cuadrilátero A 2 es un 4-gon regular, es decir, un cuadrado . El proceso de dos etapas que produce el cuadrado A 2 se puede llevar a cabo de dos formas diferentes. (El vértice Z de un triángulo isósceles con un ángulo de vértice π erigido sobre un segmento de recta XY es el punto medio del segmento de recta XY ).
Construya A 1 usando el ángulo de vértice π / 2 y luego A 2 con el ángulo de vértice π.
En este caso, los vértices de A 1 son los ápices libres de triángulos isósceles con ángulos de vértice π / 2 erigidos sobre los lados del cuadrilátero A 0 . Los vértices del cuadrilátero A 2 son los puntos medios de los lados del cuadrilátero A 1 . Según el teorema de PDN, A 2 es un cuadrado.
Los vértices del cuadrilátero A 1 son los centros de los cuadrados erigidos sobre los lados del cuadrilátero A 0 . La afirmación de que el cuadrilátero A 2 es un cuadrado es equivalente a la afirmación de que las diagonales de A 1 son iguales y perpendiculares entre sí. La última afirmación es el contenido del teorema de van Aubel .
Por tanto, el teorema de van Aubel es un caso especial del teorema PDN.
Construya A 1 usando el ángulo de vértice π y luego A 2 con el ángulo de vértice π / 2.
En este caso, los vértices de A 1 son los puntos medios de los lados del cuadrilátero A 0 y los de A 2 son los vértices de los triángulos con ángulos de vértice π / 2 erigidos sobre los lados de A 1 . El teorema de PDN afirma que A 2 es un cuadrado también en este caso.
Imágenes que ilustran la aplicación del teorema a los cuadriláteros.
Teorema de Petr-Douglas-Neumann aplicado a un cuadrilátero A 0 = ABCD . A 1 = EFGH se construye utilizando el ángulo de vértice π / 2 y A 2 = PQRS con el ángulo de vértice π. | Teorema de Petr-Douglas-Neumann aplicado a un cuadrilátero A 0 = ABCD . A 1 = EFGH se construye utilizando el ángulo de vértice π y A 2 = PQRS con el ángulo de vértice π / 2. |
Teorema de Petr-Douglas-Neumann aplicado a un cuadrilátero que se interseca automáticamente A 0 = ABCD . A 1 = EFGH se construye utilizando el ángulo de vértice π / 2 y A 2 = PQRS con el ángulo de vértice π. | Teorema de Petr-Douglas-Neumann aplicado a un cuadrilátero que se interseca automáticamente A 0 = ABCD . A 1 = EFGH se construye utilizando el ángulo de vértice π y A 2 = PQRS con el ángulo de vértice π / 2. |
Diagrama que ilustra el hecho de que el teorema de van Aubel es un caso especial del teorema de Petr-Douglas-Neumann. |
Especialización en pentágonos
En el caso de los pentágonos , tenemos n = 5 y n - 2 = 3. Entonces, hay tres valores posibles para k , a saber, 1, 2 y 3, y por lo tanto, tres ángulos de vértice posibles para triángulos isósceles:
- (2 × 1 × π) / 5 = 2π / 5 = 72 °
- (2 × 2 × π) / 5 = 4π / 5 = 144 °
- (2 × 3 × π) / 5 = 6π / 5 = 216 °
Según el teorema de PDN, A 3 es un pentágono regular . El proceso de tres etapas que conduce a la construcción de la pentágono regular A 3 se puede realizar en seis formas diferentes dependiendo del orden en el que los ángulos de vértice se seleccionan para la construcción de los triángulos isósceles.
Número de serie | Ángulo de vértice en la construcción de A 1 | Ángulo de vértice en la construcción de A 2 | Ángulo de vértice en la construcción de A 3 |
---|---|---|---|
1 | 72 ° | 144 ° | 216 ° |
2 | 72 ° | 216 ° | 144 ° |
3 | 144 ° | 72 ° | 216 ° |
4 | 144 ° | 216 ° | 72 ° |
5 | 216 ° | 72 ° | 144 ° |
6 | 216 ° | 144 ° | 72 ° |
Prueba del teorema
El teorema se puede demostrar usando algunos conceptos elementales del álgebra lineal. [2] [6]
La demostración comienza codificando un n -gon mediante una lista de números complejos que representan los vértices del n -gon. Esta lista se puede considerar como un vector en el espacio lineal complejo n- dimensional C n . Tome un n -gon A y déjelo representar por el vector complejo
- A = ( un 1 , un 2 , ..., un n ).
Sea el polígono B formado por los vértices libres de triángulos similares construidos en los lados de A y sea representado por el vector complejo
- B = ( b 1 , b 2 , ..., b n ).
Entonces nosotros tenemos
- α ( a r - b r ) = a r +1 - b r , donde α = exp ( i θ) para algunos θ (aquí i es la raíz cuadrada de −1).
Esto produce la siguiente expresión para calcular las b r :
- segundo r = (1 − α) −1 ( a r +1 - α a r ).
En términos del operador lineal S : C n → C n que permuta cíclicamente las coordenadas un lugar, tenemos
- B = (1 − α) −1 ( S - α I ) A , donde I es la matriz identidad.
Esto significa que el polígono A n −2 que necesitamos mostrar que es regular se obtiene de A 0 aplicando la composición de los siguientes operadores:
- (1 - ω k ) −1 ( S - ω k I ) para k = 1, 2, ..., n - 2, donde ω = exp (2π i / n ). (Estos conmutan porque son todos polinomios en el mismo operador S ).
Un polígono P = ( p 1 , p 2 , ..., p n ) es un n -gon regular si cada lado de P se obtiene del siguiente girando un ángulo de 2π / n , es decir, si
- p r + 1 - p r = ω ( p r + 2 - p r + 1 ).
Esta condición se puede formular en términos de S de la siguiente manera:
- ( S - I ) ( I - ω S ) P = 0.
O equivalentemente como
- ( S - I ) ( S - ω n - 1 I ) P = 0, ya que ω n = 1.
El teorema de Petr-Douglas-Neumann se deduce ahora de los siguientes cálculos.
- ( S - I ) ( S - ω norte - 1 I ) A norte - 2
- = ( S - I ) ( S - ω n - 1 I ) (1 - ω) −1 ( S - ω I ) (1 - ω 2 ) −1 ( S - ω 2 I ) ... (1 - ω norte - 2 ) −1 ( S - ω norte - 2 I ) A 0
- = (1 - ω) −1 (1 - ω 2 ) −1 ... (1 - ω n - 2 ) −1 ( S - I ) ( S - ω I ) ( S - ω 2 I ) ... ( S - ω n - 1 I ) A 0
- = (1 - ω) −1 (1 - ω 2 ) −1 ... (1 - ω norte - 2 ) −1 ( S norte - I ) A 0
- = 0, ya que S n = I .
Referencias
- ↑ K. Petr (1908). "Ein Satz ¨uber Vielecke". Arco. Matemáticas. Phys . 13 : 29–31.
- ^ a b c d e Stephen B. Gray (2003). "Generalización del teorema de Petr-Douglas-Neumann en n- gones" (PDF) . American Mathematical Monthly . 110 (3): 210-227. CiteSeerX 10.1.1.605.2676 . doi : 10.2307 / 3647935 . JSTOR 3647935 . Consultado el 8 de mayo de 2012 .
- ^ a b Douglas, Jesse (1946). "Sobre transformaciones de polígonos lineales" (PDF) . Boletín de la American Mathematical Society . 46 (6): 551–561. doi : 10.1090 / s0002-9904-1940-07259-3 . Consultado el 7 de mayo de 2012 .
- ^ BH Neumann (1941). "Algunas observaciones sobre polígonos". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . s1-16 (4): 230–245. doi : 10.1112 / jlms / s1-16.4.230 .
- ^ van Lamoen, piso; Weisstein, Eric W. "Teorema de Petr-Neumann-Douglas" . De MathWorld — Un recurso web de Wolfram . Consultado el 8 de mayo de 2012 .
- ^ Omar Antolín Camarena. "El teorema de Petr-Neumann-Douglas a través del álgebra lineal" . Consultado el 10 de enero de 2018 .