En geometría plana , el teorema de Van Aubel describe una relación entre cuadrados construidos en los lados de un cuadrilátero . Comenzando con un cuadrilátero convexo dado, construya un cuadrado , externo al cuadrilátero, en cada lado. El teorema de Van Aubel establece que los dos segmentos de línea entre los centros de cuadrados opuestos tienen la misma longitud y forman ángulos rectos entre sí. Otra forma de decir lo mismo es que los puntos centrales de los cuatro cuadrados forman los vértices de un cuadrilátero ortodiagonal equidiagonal . El teorema lleva el nombre de HH van Aubel, quien lo publicó en 1878. [1]
El teorema es válido también para cuadriláteros reentrantes, [2] y cuando los cuadrados se construyen internamente al cuadrilátero dado. [3] Para cuadriláteros complejos (auto-intersectantes), las construcciones externas e internas de los cuadrados no son definibles. En este caso, el teorema es cierto cuando las construcciones se llevan a cabo de la manera más general: [3]
- sigue los vértices del cuadrilátero en una dirección secuencial y construye cada cuadrado en el lado derecho de cada lado del cuadrilátero dado.
- Sigue los vértices del cuadrilátero en la misma dirección secuencial y construye cada cuadrado en el lado izquierdo de cada lado del cuadrilátero dado.
Los segmentos que unen los centros de los cuadrados construidos externamente (o internamente) al cuadrilátero sobre dos lados opuestos se han denominado segmentos de Van Aubel . Los puntos de intersección de dos segmentos Van Aubel iguales y ortogonales (producidos cuando es necesario) se han denominado puntos Van Aubel : [3] primer punto Van Aubel exterior o exterior para la construcción exterior, segundo punto Van Aubel interior o interior para el interior .
Algunas extensiones del teorema, considerando rectángulos similares, rombos similares y paralelogramos similares construidos en los lados del cuadrilátero dado, se han publicado en The Mathematical Gazette . [4] [5]
Ver también
Referencias
- ↑ van Aubel, HH (1878), "Nota concerniente a les centres de carrés construits sur les côtés d'un polygon quelconque", Nouvelle Correspondance Mathématique (en francés), 4 : 40–44.
- ^ Coxeter, HSM y Greitzer, Samuel L. 1967. Geometry Revisited , páginas 52.
- ^ a b c D. Pellegrinetti: "El círculo de seis puntos para el cuadrilátero" . Revista Internacional de Geometría , vol. 8 (octubre de 2019), núm. 2, págs. 5-13.
- ^ M. de Villiers: "Generalizaciones duales del teorema de Van Aubel" . The Mathematical Gazette , vol. 82 (noviembre de 1998), págs. 405-412.
- ^ JR Silvester: "Extensiones de un teorema de Van Aubel" . The Mathematical Gazette , vol. 90 (marzo de 2006), págs. 2-12.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Teorema de van Aubel" . MathWorld .
- Teorema de Van Aubel para cuadriláteros y Teorema de Van Aubel para triángulos por Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project .
- El hermoso teorema geométrico de Van Aubel por Yutaka Nishiyama , Revista Internacional de Matemáticas Puras y Aplicadas .
- Applet interactivo de Tim Brzezinski que muestra el teorema de Van Aubel realizado con GeoGebra .
- Algunas generalizaciones del teorema de Van Aubel a cuadriláteros similares en Dynamic Geometry Sketches , bocetos interactivos de geometría.
- QG-2P6: Puntos Van Aubel externos e internos por Chris Van Tienhoven en Encyclopedia of Quadri-Figures (EQF) .