En matemáticas, la teoría de Picard-Lefschetz estudia la topología de una variedad compleja al observar los puntos críticos de una función holomórfica en la variedad. Fue introducido por Émile Picard para superficies complejas en su libro Picard & Simart (1897) , y extendido a dimensiones superiores por Solomon Lefschetz ( 1924 ). Es un análogo complejo de la teoría Morse que estudia la topología de una variedad real al observar los puntos críticos de una función real. Pierre Deligne y Nicholas Katz ( 1973) extendió la teoría de Picard-Lefschetz a variedades sobre campos más generales, y Deligne usó esta generalización en su demostración de las conjeturas de Weil .
Fórmula de Picard-Lefschetz
La fórmula de Picard-Lefschetz describe la monodromía en un punto crítico.
Suponga que f es un mapa holomórfico de una variedad compleja proyectiva (k + 1) -dimensional a la línea proyectiva P 1 . Suponga también que todos los puntos críticos no están degenerados y se encuentran en diferentes fibras, y tienen imágenes x 1 , ..., x n en P 1 . Elija cualquier otro punto x en P 1 . El grupo fundamental π 1 ( P 1 - { x 1 , ..., x n }, x ) se genera por bucles w i que van alrededor de los puntos x i , y para cada punto x i hay un ciclo de desaparición en la homología H k ( Y x ) de la fibra en x . Tenga en cuenta que esta es la homología media ya que la fibra tiene una dimensión compleja k , por lo tanto la dimensión real 2k . La acción monodromía de π 1 ( P 1 - { x 1 , ..., x n }, x ) sobre H k ( Y x ) se describe de la siguiente manera mediante la fórmula de Picard-Lefschetz. (La acción de la monodromía sobre otros grupos de homología es trivial.) La acción de la monodromía de un generador w i del grupo fundamental sobre ∈ H k ( Y x ) viene dado por
donde δ i es el ciclo de desaparición de x i . Esta fórmula aparece implícitamente para k = 2 (sin los coeficientes explícitos de los ciclos de fuga δ i ) en Picard & Simart (1897 , p.95). Lefschetz (1924 , capítulos II, V) dio la fórmula explícita en todas las dimensiones.
Ejemplo
Considere la familia proyectiva de curvas hiperelípticas del género definido por
dónde es el parámetro y . Entonces, esta familia tiene degeneraciones de doble punto siempre que. Dado que la curva es una suma conectada de tori, la forma de intersección en de una curva genérica es la matriz
podemos calcular fácilmente la fórmula de Picard-Lefschetz alrededor de una degeneración en . Suponer que son los -ciclos del -th toro. Luego, la fórmula de Picard-Lefschetz dice
Si el -th toro contiene el ciclo de desaparición. De lo contrario, es el mapa de identidad.
Referencias
- Deligne, Pierre ; Katz, Nicholas (1973), Groupes de monodromie en géométrie algébrique. II , Lecture Notes in Mathematics, 340 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0060505 , ISBN 978-3-540-06433-6, MR 0354657
- Lamotke, Klaus (1981), "La topología de variedades proyectivas complejas después de S. Lefschetz", Topología , 20 (1): 15–51, doi : 10.1016 / 0040-9383 (81) 90013-6 , ISSN 0040-9383 , Señor 0592569
- Lefschetz, S. (1924), L'analysis situs et la géométrie algébrique , Gauthier-Villars, MR 0033557
- Lefschetz, Solomon (1975), Aplicaciones de la topología algebraica. Gráficos y redes, la teoría de Picard-Lefschetz y las integrales de Feynman , Ciencias Matemáticas Aplicadas, 16 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90137-4, MR 0494126
- Picard, É .; Simart, G. (1897), Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes. Tome I (en francés), París: Gauthier-Villars et Fils.
- Vassiliev, VA (2002), Teoría aplicada de Picard-Lefschetz , Encuestas y monografías matemáticas, 97 , Providence, RI: American Mathematical Society , doi : 10.1090 / surv / 097 , ISBN 978-0-8218-2948-6, Señor 1930577