En matemáticas , los ciclos de desaparición se estudian en la teoría de la singularidad y otras partes de la geometría algebraica . Son esos ciclos de homología de una fibra lisa en una familia que se desvanecen en la fibra singular .
Por ejemplo, en un mapa desde una superficie compleja conectada a la línea proyectiva compleja, una fibra genérica es una superficie lisa de Riemann de algún género fijo gy, genéricamente, habrá puntos aislados en el objetivo cuyas preimágenes son curvas nodales. Si se considera un valor crítico aislado y un pequeño bucle a su alrededor, en cada fibra, se puede encontrar un bucle suave de modo que la fibra singular se pueda obtener pellizcando ese bucle en un punto. El bucle en las fibras lisas da un elemento del primer grupo de homología de una superficie, y la monodromía del valor crítico se define como la monodromía de la primera homología de las fibras a medida que se atraviesa el bucle, es decir, un mapa invertible del primera homología de una superficie (real) del género g.
Un resultado clásico es la fórmula de Picard-Lefschetz , [1] que detalla cómo la monodromía alrededor de la fibra singular actúa sobre los ciclos de fuga, mediante un mapeo de corte .
La teoría geométrica clásica de Solomon Lefschetz se reformuló en términos puramente algebraicos, en SGA7 . Esto fue por los requisitos de su aplicación en el contexto de la cohomología l-ádica ; y eventual aplicación a las conjeturas de Weil . Allí, la definición utiliza categorías derivadas y se ve muy diferente. Se trata de un funtor, el funtor de ciclo cercano , con una definición mediante la imagen directa superior y los retrocesos. El funtor del ciclo de desaparición se ubica en un triángulo distinguido con el funtor del ciclo cercano y un funtor más elemental. Esta formulación ha tenido una influencia continua, en particular en la teoría del módulo D.
Referencias
- ^ Dado en [1] , para funciones Morse.
- Dimca, Alexandru; Singularidades y topología de hipersuperficies.
- Sección 3 de Peters, CAM y JHM Steenbrink: Variaciones infinitesimales de la estructura de Hodge y el problema genérico de Torelli para hipersuperficies proyectivas , en: Clasificación de colectores algebraicos , K. Ueno ed., Progreso en matemáticas. 39, Birkhauser 1983.
- Para la versión étale cohomology , ver el capítulo sobre monodromía en Freitag, E .; Kiehl, Reinhardt (1988), Etale Cohomology and the Weil Conjecture , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-12175-8
- Deligne, Pierre ; Katz, Nicholas , eds. (1973), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1967–69 - Groupes de monodromie en géométrie algébrique - (SGA 7) - vol. 2 , Lecture Notes in Mathematics, 340 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. X + 438, véase especialmente Pierre Deligne, Le formalisme des cycles évanescents , SGA7 XIII y XIV.
- Massey, David (2010). "Notas sobre poleas perversas y ciclos de fuga". arXiv : matemáticas / 9908107 .
enlaces externos
- Ciclo de desaparición en la enciclopedia de las matemáticas