En matemáticas , una función doblemente periódica es una función definida en el plano complejo y que tiene dos "períodos", que son números complejos u y v que son linealmente independientes como vectores más de la campo de los números reales . Que u y v son períodos de una función ƒ significa que
para todos los valores del número complejo z .
La función doblemente periódica es así una extensión bidimensional de la función periódica simple más simple , que se repite en una sola dimensión. Ejemplos familiares de funciones con un solo período en la recta numérica real incluyen funciones trigonométricas como coseno y seno. En el plano complejo, la función exponencial e z es una función periódica simple, con período 2 πi .
Como un mapeo arbitrario de pares de reales (o números complejos) a reales, se puede construir una función doblemente periódica con poco esfuerzo. Por ejemplo, suponga que los períodos son 1 e i , de modo que el retículo repetido es el conjunto de cuadrados unitarios con vértices en los enteros gaussianos . Los valores en el cuadrado prototipo (es decir, x + iy donde 0 ≤ x <1 y 0 ≤ y <1) pueden asignarse de forma bastante arbitraria y luego "copiarse" a los cuadrados adyacentes. Esta función será entonces necesariamente doblemente periódica.
Si los vectores 1 e i en este ejemplo se reemplazan por vectores linealmente independientes u y v , el cuadrado prototipo se convierte en un paralelogramo prototipo que todavía divide el plano . El "origen" de la red de paralelogramos no tiene por qué ser el punto 0: la red puede empezar desde cualquier punto. En otras palabras, podemos pensar en el plano y sus valores funcionales asociados como si permanecieran fijos, y traducir mentalmente el enrejado para comprender mejor las características de la función.
Si una función doblemente periódica es también una función compleja que satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann y proporciona una función analítica alejada de algún conjunto de polos aislados , en otras palabras, una función meromórfica , entonces se puede obtener mucha información sobre dicha función. aplicando algunos teoremas básicos del análisis complejo.
- Una función doblemente periódica meromórfica no constante no puede limitarse al paralelogramo prototipo. Porque si lo fuera, estaría acotado en todas partes y, por lo tanto, sería constante según el teorema de Liouville .
- Dado que la función es meromórfica, no tiene singularidades esenciales y sus polos están aislados. Por tanto, se puede construir una celosía trasladada que no atraviese ningún poste. La integral de contorno alrededor de cualquier paralelogramo en la red debe desaparecer, porque los valores asumidos por la función doblemente periódica a lo largo de los dos pares de lados paralelos son idénticos, y los dos pares de lados se atraviesan en direcciones opuestas a medida que nos movemos alrededor del contorno. Por lo tanto, según el teorema del residuo , la función no puede tener un solo polo simple dentro de cada paralelogramo; debe tener al menos dos polos simples dentro de cada paralelogramo (caso jacobiano), o debe tener al menos un polo de orden mayor que uno (Weierstrassian caso).
- Se puede aplicar un argumento similar a la función g = 1 / ƒ donde ƒ es meromórfica y doblemente periódica. Bajo esta inversión, los ceros de f se convierten en los polos de g , y viceversa . Entonces, la función meromórfica doblemente periódica ƒ no puede tener un cero simple dentro de cada paralelogramo en la red; debe tener al menos dos ceros simples, o debe tener al menos un cero de multiplicidad mayor que uno. De ello se deduce que f no puede alcanzar ningún valor una sola vez, ya que f menos ese valor sería en sí mismo una función meromórfica doblemente periódica con un solo cero.
Ver también
enlaces externos
- "Función doble periódica" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]