Unidades de Planck

Set of units of measurement defined exclusively in terms of universal physical constants proposed by physicist Max Planck

En física de partículas y cosmología física , las unidades de Planck son un conjunto de unidades de medida definidas exclusivamente en términos de cuatro constantes físicas universales , de tal manera que estas constantes físicas toman el valor numérico de 1 cuando se expresan en términos de estas unidades.

Propuestas originalmente en 1899 por el físico alemán Max Planck , estas unidades son un sistema de unidades naturales porque el origen de su definición proviene solo de las propiedades de la naturaleza y no de ninguna construcción humana . Las unidades de Planck son solo uno de varios sistemas de unidades naturales, pero las unidades de Planck no se basan en las propiedades de ningún objeto o partícula prototipo (cuya elección es inherentemente arbitraria), sino solo en las propiedades del espacio libre . Son relevantes en la investigación de teorías unificadas como la gravedad cuántica .

El término escala de Planck se refiere a cantidades de espacio, tiempo, energía y otras unidades que son similares en magnitud a las correspondientes unidades de Planck. Esta región puede caracterizarse por energías de alrededor10 ¹⁹  GeV , tiempo intervalos de alrededor10 ^-43  s y longitudes de alrededor10 ⁻³⁵  m (aproximadamente, respectivamente, la energía equivalente de la masa de Planck, el tiempo de Planck y la longitud de Planck). En la escala de Planck, no se espera que se apliquen las predicciones del modelo estándar , la teoría cuántica de campos y la relatividad general , y se espera que dominen los efectos cuánticos de la gravedad . El ejemplo más conocido está representado por las condiciones en los primeros ^10-43 segundos de nuestro universo después del Big Bang , hace aproximadamente 13,8 mil millones de años.

Las cuatro constantes universales que, por definición, tienen un valor numérico 1 cuando se expresan en estas unidades son:

• la velocidad de la luz en el vacío, c ,
• la constante gravitacional , G ,
• la constante de Planck reducida , ħ ,
• la constante de Boltzmann , k _B .

Las unidades Planck no incorporan una dimensión electromagnética. Algunos autores optan por extender el sistema al electromagnetismo, por ejemplo, definiendo que la constante eléctrica ε ₀ tiene el valor numérico 1 o 1/4 π en este sistema. De manera similar, los autores optan por utilizar variantes del sistema que dan otros valores numéricos a una o más de las cuatro constantes anteriores.

Introducción

A cualquier sistema de medición se le puede asignar un conjunto mutuamente independiente de cantidades base y unidades base asociadas , de las cuales se pueden derivar todas las demás cantidades y unidades. En el Sistema Internacional de Unidades , por ejemplo, las cantidades base del SI incluyen la longitud con la unidad asociada del metro . En el sistema de unidades de Planck, se puede seleccionar un conjunto similar de cantidades base y unidades asociadas, en términos de los cuales se pueden expresar otras cantidades y unidades coherentes. La unidad de longitud de Planck se conoce como longitud de Planck., y la unidad de tiempo de Planck se conoce como tiempo de Planck, pero no se ha establecido que esta nomenclatura se extienda a todas las cantidades. Todas las unidades de Planck se derivan de las constantes físicas universales dimensionales que definen el sistema, y ​​en una convención en la que estas unidades se omiten (es decir, se tratan como si tuvieran el valor adimensional 1), estas constantes se eliminan de las ecuaciones de la física en las que aparecen. . Por ejemplo, la ley de Newton de la gravitación universal ,

${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}=\left({\frac {F_{\text{P}}l_{\text{P}}^{2}}{m_{\text{P}}^{2}}}\right){\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$

se puede expresar como:

${\displaystyle {\frac {F}{F_{\text{P}}}}={\frac {\left({\dfrac {m_{1}}{m_{\text{P}}}}\right)\left({\dfrac {m_{2}}{m_{\text{P}}}}\right)}{\left({\dfrac {r}{l_{\text{P}}}}\right)^{2}}}.}$

Ambas ecuaciones son dimensionalmente consistentes e igualmente válidas en cualquier sistema de unidades, pero la segunda ecuación, con G ausente, está relacionando solo cantidades adimensionales ya que cualquier razón de dos cantidades de dimensiones similares es una cantidad adimensional. Si, por una convención abreviada, se entiende que todas las cantidades físicas se expresan en términos de unidades de Planck, las relaciones anteriores pueden expresarse simplemente con los símbolos de cantidad física, sin ser escaladas explícitamente por su unidad correspondiente:

${\displaystyle F={\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}.}$

Esta última ecuación (sin G ) sólo es válida si F , m ₁ , m ₂ , y r son los valores numéricos adimensionales de estas cantidades medidas en términos de unidades de Planck. Es por eso que las unidades de Planck o cualquier otro uso de unidades naturales deben emplearse con cuidado. Refiriéndose a G = c = 1 , Paul S. Wesson escribió que, "Matemáticamente es un truco aceptable que ahorra trabajo. Físicamente representa una pérdida de información y puede generar confusión". ^[1]

Historia y definición

El concepto de unidades naturales se introdujo en 1881, cuando George Johnstone Stoney , al señalar que la carga eléctrica se cuantifica, derivó unidades de longitud, tiempo y masa, ahora llamadas unidades de Stoney en su honor, al normalizar G , c y la carga de electrones. , e , a 1. En 1899, un año antes del advenimiento de la teoría cuántica, Max Planck introdujo lo que más tarde se conocería como la constante de Planck. ^{[2] [3]} Al final del artículo, propuso las unidades base nombradas más tarde en su honor. Las unidades de Planck se basan en el cuanto de acción, ahora generalmente conocido como la constante de Planck, que apareció en elAproximación de Wien para la radiación del cuerpo negro . Planck subrayó la universalidad del nuevo sistema de unidades, escribiendo:

... die Möglichkeit gegeben ist, Einheiten für Länge, Masse, Zeit und Tempur aufzustellen, welche, unabhängig von speciellen Körpern oder Substanzen, ihre Bedeutung für alle Zeiten und für alle, auch außerirdische und außnchür allende la cultura » Maßeinheiten «bezeichnet werden können .
... es posible configurar unidades de longitud, masa, tiempo y temperatura, que son independientes de cuerpos o sustancias especiales, conservando necesariamente su significado para todos los tiempos y para todas las civilizaciones, incluidas las extraterrestres y no humanas, que pueden llamarse "unidades naturales de medida".

Planck considerarse sólo las unidades basadas en las constantes universales , , , y para llegar a unidades naturales para la longitud , tiempo , masa , y la temperatura . ^[3] Sus definiciones difieren de las modernas en un factor de , porque las definiciones modernas usan en lugar de . ^{[2] [3]}${\displaystyle G}$${\displaystyle h}$${\displaystyle c}$${\displaystyle k_{\rm {B}}}$${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle h}$

Tabla 1: Valores modernos para la elección de cantidades original de Planck

Nombre	Dimensión	Expresión	Valor ( unidades SI )
longitud de Planck	Longitud (l)	${\displaystyle l_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}}$	1.616 255 (18) × 10 −35  m [4]
Masa de Planck	Masa (M)	${\displaystyle m_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}}$	2.176 434 (24) × 10 −8  kg [5]
Tiempo de planck	Tiempo (t)	${\displaystyle t_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}}$	5.391 247 (60) × 10 −44  s [6]
Temperatura de Planck	Temperatura (Θ)	${\displaystyle T_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{Gk_{\text{B}}^{2}}}}}$	1.416 784 (16) × 10 32  K [7]

A diferencia del caso del Sistema Internacional de Unidades , no existe una entidad oficial que establezca una definición de sistema de unidades de Planck. Frank Wilczek y Barton Zwiebach definen las unidades de Planck base como las de masa, longitud y tiempo, con respecto a una unidad adicional para que la temperatura sea redundante. ^{[8] [9]} Otras tabulaciones añaden, además de una unidad de temperatura, una unidad de carga eléctrica, ^{[10] a} veces también reemplazan masa por energía al hacerlo. ^[11] Esta unidad de carga viene dada por

${\displaystyle q_{P}={\sqrt {4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}.}$

La carga de Planck, así como otras unidades electromagnéticas que se pueden definir como resistencia y flujo magnético, son más difíciles de interpretar que las unidades originales de Planck y se utilizan con menos frecuencia. ^[12] (Establecer en 1 produce para el cargo un valor idéntico a la unidad de cargo utilizada en las unidades de cromodinámica cuántica (QCD) .) Se rechazó una propuesta interna de 2006 del Grupo de Trabajo del SI de fijar el cargo de Planck en lugar del cargo elemental , y, en cambio, se eligió que el valor de la carga elemental se fijara por definición. ^[13]${\displaystyle 4\pi \epsilon _{0}}$

Los valores de c , h , e y k _B en unidades SI son exactos debido a la definición del segundo, metro, kilogramo y kelvin en términos de estas constantes, y no aportan incertidumbre a los valores de las unidades de Planck expresados ​​en términos de Unidades SI. La permitividad del vacío ε ₀ tiene una incertidumbre relativa de1,5 × 10 ⁻¹⁰ . ^[14] El valor numérico de G se ha determinado experimentalmente con una incertidumbre relativa de2,2 × 10 ⁻⁵ . ^[15] Por lo tanto, la incertidumbre en estos valores de las unidades de Planck deriva casi en su totalidad de la incertidumbre en el valor de G . Además, debido a que los valores SI de las unidades de Planck que no dependen de G ε ₀ son exactos, una longitud de Planck dividida por un tiempo de Planck es exactamente igual a1 l _P/1 t _P= c = 299792458 m / s .

Unidades derivadas

En cualquier sistema de medida, las unidades para muchas cantidades físicas pueden derivarse de las unidades base. La Tabla 2 ofrece una muestra de unidades de Planck derivadas, algunas de las cuales, de hecho, rara vez se utilizan. Al igual que con las unidades base, su uso se limita principalmente a la física teórica porque la mayoría de ellas son demasiado grandes o demasiado pequeñas para un uso empírico o práctico y existen grandes incertidumbres en sus valores.

Tabla 2: Unidades derivadas coherentes de las unidades de Planck

Unidad derivada de	Expresión	Equivalente SI aproximado
área (L 2 )	${\displaystyle l_{\text{P}}^{2}={\frac {\hbar G}{c^{3}}}}$	2.6121 × 10 −70  m 2
volumen (L 3 )	${\displaystyle l_{\text{P}}^{3}=\left({\frac {\hbar G}{c^{3}}}\right)^{\frac {3}{2}}={\sqrt {\frac {(\hbar G)^{3}}{c^{9}}}}}$	4.2217 × 10 −105  m 3
impulso (LMT −1 )	${\displaystyle m_{\text{P}}c={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{G}}}}$	6.5249  kg⋅m / s
energía (L 2 MT −2 )	${\displaystyle E_{\text{P}}=m_{\text{P}}c^{2}={\frac {\hbar }{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}$	1,9561 × 10 9  J
fuerza (LMT −2 )	${\displaystyle F_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{l_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}t_{\text{P}}}}={\frac {c^{4}}{G}}}$	1.2103 × 10 44  N
densidad (L −3 M)	${\displaystyle \rho _{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{3}}}={\frac {\hbar t_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{5}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}}$	5.1550 × 10 96  kg / m 3
aceleración (LT −2 )	${\displaystyle a_{\text{P}}={\frac {c}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{7}}{\hbar G}}}}$	5.5608 × 10 51  m / s 2
frecuencia (T −1 )	${\displaystyle f_{p}={\frac {c}{l_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}}$	1,8549 × 10 43  Hz

Algunas unidades de Planck, como las de tiempo y longitud, son muchos órdenes de magnitud demasiado grandes o demasiado pequeñas para ser de uso práctico, por lo que las unidades de Planck como sistema suelen ser solo relevantes para la física teórica. En algunos casos, una unidad de Planck puede sugerir un límite a un rango de una cantidad física donde se aplican las teorías actuales de la física ^{[ cita requerida ]} . Por ejemplo, nuestra comprensión del Big Bang comienza cuando el universo tenía un tiempo de Planck, es decir, después de la época de Planck . Describir el universo durante la época de Planck requiere una teoría de la gravedad cuántica que incorpore efectos cuánticos en la relatividad general . Tal teoría aún no existe.

Varias cantidades no son "extremas" en magnitud, como la masa de Planck , que es de unos 22 microgramos : muy grande en comparación con las partículas subatómicas y dentro del rango de masas de los seres vivos. De manera similar, las unidades relacionadas de energía y de momento están en el rango de algunos fenómenos cotidianos.

Importancia

Las unidades de Planck tienen poca arbitrariedad antropocéntrica , pero aún involucran algunas elecciones arbitrarias en términos de las constantes definitorias. A diferencia del metro y el segundo , que existen como unidades base en el sistema SI por razones históricas, la longitud de Planck y el tiempo de Planck están vinculados conceptualmente a un nivel físico fundamental. En consecuencia, las unidades naturales ayudan a los físicos a replantear las preguntas. Frank Wilczek lo expresa de manera sucinta:

Vemos que la pregunta [planteada] no es: "¿Por qué es tan débil la gravedad?" sino más bien, "¿Por qué la masa del protón es tan pequeña?" Porque en unidades naturales (Planck), la fuerza de la gravedad simplemente es lo que es, una cantidad primaria, mientras que la masa del protón es el número minúsculo [1 / (13  quintillones )]. ^[dieciséis]

Si bien es cierto que la fuerza de repulsión electrostática entre dos protones (solo en el espacio libre) excede en gran medida la fuerza de atracción gravitacional entre los mismos dos protones, esto no se trata de las fuerzas relativas de las dos fuerzas fundamentales. Desde el punto de vista de las unidades de Planck, esto es comparar manzanas con naranjas , porque la masa y la carga eléctrica son cantidades inconmensurables . Más bien, la disparidad de magnitud de la fuerza es una manifestación del hecho de que la carga de los protones es aproximadamente la unidad de carga, pero la masa de los protones es mucho menor que la unidad de masa .

Escala de Planck

En física de partículas y cosmología física , la escala de Planck es una escala de energía de alrededor de 1,22 × 10 ¹⁹ GeV (la energía de Planck, correspondiente a la equivalencia masa-energía de la masa de Planck , 2,17645 × 10 ⁻⁸ kg) en la que los efectos cuánticos de la gravedad volverse fuerte. A esta escala, las descripciones y teorías actuales de las interacciones de partículas subatómicas en términos de la teoría cuántica de campos se rompen y se vuelven inadecuadas, debido al impacto de la aparente no renormalizabilidad de la gravedad dentro de las teorías actuales.

Relación con la gravedad

En la escala de longitud de Planck, se espera que la fuerza de la gravedad sea comparable con las otras fuerzas, y se teoriza que todas las fuerzas fundamentales están unificadas a esa escala, pero el mecanismo exacto de esta unificación sigue siendo desconocido. Por lo tanto, la escala de Planck es el punto donde los efectos de la gravedad cuántica ya no pueden ignorarse en otras interacciones fundamentales , y donde los cálculos y enfoques actuales comienzan a fallar, y se requiere un medio para tener en cuenta su impacto. ^{[17] [18]}

Si bien los físicos tienen una comprensión bastante buena de las otras interacciones fundamentales de fuerzas en el nivel cuántico, la gravedad es problemática y no se puede integrar con la mecánica cuántica a energías muy altas utilizando el marco habitual de la teoría cuántica de campos. A niveles de energía menores, generalmente se ignora, mientras que para energías que se acercan o superan la escala de Planck, se requiere una nueva teoría de la gravedad cuántica . Otros enfoques para este problema incluyen la teoría de cuerdas y la teoría M , la gravedad cuántica de bucles , la geometría no conmutativa , la relatividad de escala , la teoría de conjuntos causales y la mecánica cuántica P-ádica.. ^[19]

En cosmología

Artículo principal: Cronología del Universo

En la cosmología del Big Bang , la época de Planck o era de Planck es la etapa más temprana del Big Bang , antes de que el tiempo pasara fuera igual al tiempo de Planck, t _P , o aproximadamente ^10-43 segundos. ^[20] Actualmente no existe una teoría física disponible para describir tiempos tan cortos, y no está claro en qué sentido el concepto de tiempo es significativo para valores menores que el tiempo de Planck. Generalmente se asume que los efectos cuánticos de la gravedad dominan las interacciones físicas en esta escala de tiempo. A esta escala, la fuerza unificada del modelo estándarse supone que está unificado con la gravitación . Inmensurablemente caliente y denso, el estado de la época de Planck fue sucedido por la época de la gran unificación , donde la gravitación se separa de la fuerza unificada del Modelo Estándar, seguida a su vez por la época inflacionaria , que terminó después de unos ^10-32 segundos (o alrededor de 10 ¹⁰  t _P ). ^[21]

El universo observable hoy expresado en unidades de Planck: ^{[22] [23]}

Tabla 2: Universo de hoy en unidades de Planck.

Propiedad del universo observable actual	Número aproximado de unidades Planck	Equivalentes
Envejecer	8.08 × 10 60 t P	4,35 × 10 17 s, o 13,8 × 10 9 años
Diámetro	5,4 × 10 61 l P	8,7 × 10 26 mo 9,2 × 10 10 años luz
Masa	aprox. 10 60 m P	3 × 10 52 kg o 1,5 × 10 22 masas solares (solo contando estrellas) 10 80 protones (a veces conocido como el número de Eddington )
Densidad	1.8 × 10 −123 m P ⋅ l P −3	9,9 × 10 −27 kg⋅m −3
La temperatura	1,9 × 10 −32 T P	2.725 K de temperatura de la radiación cósmica de fondo de microondas
Constante cosmológica	2,9 × 10 −122 l −2 P	1,1 × 10 −52 m −2
Constante de Hubble	1,18 × 10 −61 t −1 P	2,2 × 10 −18 s −1 o 67,8 (km / s) / Mpc

Más información: variación temporal de las constantes físicas

Después de la medición de la constante cosmológica en 1998, estimada en ^10-122 en unidades de Planck, se observó que esto es sugerente cerca del recíproco de la edad del universo al cuadrado. Barrow y Shaw propusieron una teoría modificada en la que Λ es un campo que evoluciona de tal manera que su valor sigue siendo Λ ~ T ^{−2 a lo} largo de la historia del universo. ^[24]

Análisis de las unidades

Artículos principales: longitud de Planck , la carga de Planck , y masa de Planck

Duración y tiempo de Planck

La longitud de Planck, denotada ℓ _P , es una unidad de longitud definida como:

${\displaystyle \ell _{\mathrm {P} }={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}}$

Es igual a 1.616 255 (18) × 10 ⁻³⁵  m ^[4] donde los dos dígitos entre paréntesis son el error estándar estimado asociado con el valor numérico informado.

Una unidad de tiempo de Planck es el tiempo necesario para que la luz recorra una distancia de 1 longitud de Planck en el vacío , que es un intervalo de tiempo de aproximadamente 5,39 × 10 ⁻⁴⁴ s . ^[25] Todos los experimentos científicos y experiencias humanas ocurren en escalas de tiempo que son muchos órdenes de magnitud más largos que el tiempo de Planck, ^[26] haciendo que cualquier evento que suceda en la escala de Planck sea indetectable con la tecnología científica actual. En octubre de 2020 ^[update], la incertidumbre de intervalo de tiempo más pequeña en las mediciones directas fue del orden de 247 zeptosegundos (2,47 × 10 ⁻¹⁹ segundos). ^[27]

Si bien actualmente no existe una forma conocida de medir los intervalos de tiempo en la escala del tiempo de Planck, los investigadores en 2020 propusieron un aparato teórico y un experimento que, si alguna vez se realiza, podría ser capaz de ser influenciado por efectos del tiempo tan cortos como 10 ^−33. segundos, estableciendo así un límite superior detectable para la cuantificación de un tiempo que es aproximadamente 20 mil millones de veces más largo que el tiempo de Planck. ^{[28] [29]}

Energía de Planck

La mayoría de las unidades de Planck son extremadamente pequeñas, como en el caso de la longitud de Planck o el tiempo de Planck, o extremadamente grandes, como en el caso de la temperatura de Planck o la aceleración de Planck. A modo de comparación, la energía de Planck es aproximadamente igual a la energía almacenada en el tanque de gasolina de un automóvil (57.2 L de gasolina a 34.2 MJ / L de energía química). El rayo cósmico-alta energía de ultra observado en 1991 había una energía de aproximadamente 50 J, equivalente medida a aproximadamente 2,5 × 10 ^-8 E _P . ^[30] Teóricamente, el fotón de mayor energía transporta alrededor de 1 E _P de energía (ver Rayos gamma de energía ultra alta ), y cualquier aumento adicional de energía (fotón trans-Planckiano) lo hará indistinguible de unPartícula de Planck que lleva el mismo impulso.

Fuerza de Planck

La fuerza de Planck es la unidad de fuerza derivada que resulta de la definición de las unidades de Planck base para el tiempo, la longitud y la masa. Es igual a la unidad natural de impulso dividida por la unidad natural de tiempo.

${\displaystyle F_{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}c}{t_{\text{P}}}}={\frac {c^{4}}{G}}=1.210295\times 10^{44}{\mbox{ N.}}}$

La fuerza de atracción gravitacional de dos cuerpos de 1 masa de Planck cada uno, separados por 1 longitud de Planck es 1 fuerza de Planck; de manera equivalente, la fuerza de atracción / repulsión electrostática de dos cargas de Planck separadas por 1 longitud de Planck es 1 fuerza de Planck.

Varios autores han argumentado que la fuerza de Planck está en el orden de la fuerza máxima que se puede observar en la naturaleza. ^{[31] [32]} Sin embargo, la validez de estas conjeturas ha sido cuestionada. ^[33]

Impulso de Planck

Esta gráfica de energía cinética versus impulso tiene un lugar para la mayoría de los objetos en movimiento que se encuentran en la vida cotidiana. Muestra objetos con la misma energía cinética (relacionada horizontalmente) que tienen diferentes cantidades de impulso, así como cómo se compara la velocidad de un objeto de baja masa (por extrapolación vertical) con la velocidad después de una colisión perfectamente inelástica con un objeto grande en reposo. . Las líneas muy inclinadas (subida / carrera = 2) marcan contornos de masa constante, mientras que las líneas de pendiente unitaria marcan contornos de velocidad constante. La trama ilustra además dónde figuran la velocidad de la luz, la constante de Planck y kT (Nota: la línea etiquetada como universo solo rastrea una estimación de masa para el universo visible).

El impulso de Planck es igual a la masa de Planck multiplicada por la velocidad de la luz . A diferencia de la mayoría de las otras unidades de Planck, el impulso de Planck se produce a escala humana. En comparación, correr con un objeto de cinco libras ( ¹⁰⁸ × masa de Planck) a una velocidad de funcionamiento promedio (10 ⁻⁸ × velocidad de la luz en el vacío) le daría al objeto un impulso de Planck. Un ser humano de 70 kg que se mueve a una velocidad promedio de caminata de 1.4 m / s (5.0 km / h; 3.1 mph) tendría un impulso de aproximadamente 15 . Una pelota de béisbol , que tiene una masa de 0.145 kg, viajando a 45 m / s (160 km / h; 100 mph) tendría un impulso de Planck.${\displaystyle m_{\text{P}}c}$${\displaystyle m=}$

Densidad de Planck

La densidad de Planck es una unidad muy grande, equivalente a unos 10 ⁹³ gramos comprimidos en el espacio de un solo centímetro cúbico. Se cree que la densidad de Planck es el límite superior de densidad. ^{[ cita requerida ]}

Temperatura de Planck

La temperatura de Planck de 1 (unidad), igual a 1.416 784 (16) × 10 ³²  K ^[7] , se considera un límite fundamental de temperatura. ^[34] Un objeto con la temperatura de1,42 × 10 ³²  kelvin ( T _P ) emitiría una radiación de cuerpo negro con una longitud de onda máxima de1.616 × 10 ⁻³⁵  m ( longitud de Planck ), donde cada fotón y cada colisión individual tendrían la energía para crear una partícula de Planck . No hay modelos físicos conocidos capaces de describir temperaturas mayores que o igual a T _P .

Lista de ecuaciones físicas

Cantidades físicas que tienen diferentes dimensiones (como tiempo y longitud) no pueden equipararse incluso si son numéricamente iguales (1 segundo no es lo mismo que 1 metro). En física teórica, sin embargo, este escrúpulo puede dejarse de lado mediante un proceso llamado no dimensionalización . La Tabla 3 muestra cómo el uso de las unidades de Planck simplifica muchas ecuaciones fundamentales de la física, porque esto le da a cada una de las cinco constantes fundamentales, y productos de ellas, un valor numérico simple de 1 . En el formato SI, las unidades deben contabilizarse. En la forma no dimensionalizada, las unidades, que ahora son unidades de Planck, no necesitan escribirse si se comprende su uso.

Tabla 3: Cómo las unidades de Planck simplifican las ecuaciones clave de la física

	Formulario SI	Formulario de unidades Planck
Ley de Newton de la gravitación universal	${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$	${\displaystyle F={\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$
Ecuaciones de campo de Einstein en relatividad general	${\displaystyle {G_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}\ }$	${\displaystyle {G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }}\ }$
Equivalencia masa-energía en relatividad especial	${\displaystyle {E=mc^{2}}\ }$	${\displaystyle {E=m}\ }$
Relación energía-momento	${\displaystyle E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}\;}$	${\displaystyle E^{2}=m^{2}+p^{2}\;}$
Energía térmica por partícula por grado de libertad	${\displaystyle {E={\tfrac {1}{2}}k_{\text{B}}T}\ }$	${\displaystyle {E={\tfrac {1}{2}}T}\ }$
Fórmula de la entropía de Boltzmann	${\displaystyle {S=k_{\text{B}}\ln \Omega }\ }$	${\displaystyle {S=\ln \Omega }\ }$
Relación de Planck-Einstein para energía y frecuencia angular	${\displaystyle {E=\hbar \omega }\ }$	${\displaystyle {E=\omega }\ }$
La ley de Planck (superficie de intensidad por unidad de ángulo sólido por unidad de frecuencia angular ) para cuerpo negro a la temperatura T .	${\displaystyle I(\omega ,T)={\frac {\hbar \omega ^{3}}{4\pi ^{3}c^{2}}}~{\frac {1}{e^{\frac {\hbar \omega }{k_{\text{B}}T}}-1}}}$	${\displaystyle I(\omega ,T)={\frac {\omega ^{3}}{4\pi ^{3}}}~{\frac {1}{e^{\omega /T}-1}}}$
Constante de Stefan-Boltzmann σ definida	${\displaystyle \sigma ={\frac {\pi ^{2}k_{\text{B}}^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}}$	${\displaystyle \sigma ={\frac {\pi ^{2}}{60}}}$
Bekenstein - Entropía del agujero negro de Hawking [35]	${\displaystyle S_{\text{BH}}={\frac {A_{\text{BH}}k_{\text{B}}c^{3}}{4G\hbar }}={\frac {4\pi Gk_{\text{B}}m_{\text{BH}}^{2}}{\hbar c}}}$	${\displaystyle S_{\text{BH}}={\frac {A_{\text{BH}}}{4}}=4\pi m_{\text{BH}}^{2}}$
Ecuación de Schrödinger	${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)=i{\frac {\partial \psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}}$
Forma hamiltoniana de la ecuación de Schrödinger	${\displaystyle H\left|\psi _{t}\right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left|\psi _{t}\right\rangle }$	${\displaystyle H\left|\psi _{t}\right\rangle =i{\frac {\partial }{\partial t}}\left|\psi _{t}\right\rangle }$
Forma covariante de la ecuación de Dirac	${\displaystyle \ (i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc)\psi =0}$	${\displaystyle \ (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0}$
Unruh temperatura	${\displaystyle T={\frac {\hbar a}{2\pi ck_{B}}}}$	${\displaystyle T={\frac {a}{2\pi }}}$
ley de Coulomb	${\displaystyle F={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}}$	${\displaystyle F={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}}$
Ecuaciones de Maxwell	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\rho }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\ }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {1}{\epsilon _{0}}}\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho \ }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\ }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$
Ley de los gases ideales	${\displaystyle PV=Nk_{B}T}$ o ${\displaystyle PV=nRT}$	${\displaystyle PV=NT}$

Opciones alternativas de normalización

Como ya se dijo anteriormente, las unidades de Planck se obtienen "normalizando" los valores numéricos de ciertas constantes fundamentales a 1. Estas normalizaciones no son las únicas posibles ni necesariamente las mejores. Además, la elección de qué factores normalizar, entre los factores que aparecen en las ecuaciones fundamentales de la física, no es evidente, y los valores de las unidades de Planck son sensibles a esta elección.

El factor 4 π es omnipresente en la física teórica porque el área de la superficie de una esfera de radio r es 4 π r ² en contextos que tienen simetría esférica en tres dimensiones. Esto, junto con el concepto de flujo , son la base de la ley del inverso del cuadrado , la ley de Gauss y el operador de divergencia aplicado a la densidad de flujo . Por ejemplo, los campos gravitacionales y electrostáticos producidos por cargas puntuales tienen simetría esférica (Barrow 2002: 214-15). El 4 π r ²que aparece en el denominador de la ley de Coulomb en forma racionalizada , por ejemplo, se sigue del flujo de un campo electrostático que se distribuye uniformemente en la superficie de una esfera. Lo mismo ocurre con la ley de gravitación universal de Newton. (Si el espacio tuviera más de tres dimensiones espaciales, el factor 4 π cambiaría de acuerdo con la geometría de la esfera en dimensiones superiores ).

Por lo tanto, un cuerpo sustancial de teoría física desarrollado desde Planck (1899) sugiere normalizar no G sino 4 π G (o 8 π G o 16 π G ) a 1. Hacerlo introduciría un factor de1/4 π (o 1/8 π o 1/16 π) en la forma no dimensionalizada de la ley de la gravitación universal, consistente con la formulación racionalizada moderna de la ley de Coulomb en términos de la permitividad del vacío. De hecho, las normalizaciones alternativas conservan con frecuencia el factor de1/4 πtambién en la forma no dimensionalizada de la ley de Coulomb, de modo que las ecuaciones de Maxwell no dimensionalizadas para el electromagnetismo y el gravitoelectromagnetismo adoptan la misma forma que las del electromagnetismo en SI, que no tienen ningún factor de 4 π . Cuando esto se aplica a las constantes electromagnéticas, ε ₀ , este sistema unitario se denomina " racionalizado " . Cuando se aplica adicionalmente a las unidades de Gravitación y Planck, estas se denominan unidades de Planck racionalizadas ^[36] y se ven en la física de altas energías. ^[37]

Las unidades de Planck racionalizadas se definen de modo que .${\displaystyle c=4\pi G=\hbar =\varepsilon _{0}=k_{\text{B}}=1}$

Hay varias normalizaciones alternativas posibles.

Constante gravitacional

En 1899, la ley de Newton de la gravitación universal todavía se veía como exacta, más que como una aproximación conveniente para velocidades y masas "pequeñas" (la naturaleza aproximada de la ley de Newton se mostró después del desarrollo de la relatividad general en 1915). Por tanto, Planck normalizó a 1 la constante gravitacional G en la ley de Newton. En las teorías que surgieron después de 1899, G casi siempre aparece en fórmulas multiplicadas por 4 π o un pequeño múltiplo entero de la misma. Por lo tanto, al diseñar un sistema de unidades naturales se debe elegir qué instancias de 4 π que aparecen en las ecuaciones de la física , si las hay, deben eliminarse mediante la normalización.

• Normalizando 4 π G a 1 (y por lo tanto estableciendo G =1/4π):

• La ley de Gauss para la gravedad se convierte en Φ _g = - M (en lugar de Φ _g = −4 π M en unidades de Planck).
• Elimina 4 π G de la ecuación de Poisson .
• Elimina 4 π G en las ecuaciones gravitoelectromagnéticas (GEM), que se mantienen en campos gravitacionales débiles o en un espaciotiempo localmente plano . Estas ecuaciones tienen la misma forma que las ecuaciones de Maxwell (y la ecuación de fuerza de Lorentz ) del electromagnetismo , con la densidad de masa reemplazando la densidad de carga , y con1/4 π Greemplazando ε ₀ .
• Normaliza la impedancia característica Z _g de la radiación gravitacional en el espacio libre a 1 (normalmente expresada como4 π G/C). ^{[nota 1]}
• Elimina 4 π G de la fórmula de Bekenstein-Hawking (para la entropía de un agujero negro en términos de su masa m _BH y el área de su horizonte de eventos A _BH ) que se simplifica a S _BH = π A _BH = ( m _BH ) ² .

• Configurando 8 π G = 1 (y por lo tanto configurando G =1/8π). Esto eliminaría 8 π G de las ecuaciones de campo de Einstein , la acción de Einstein-Hilbert y las ecuaciones de Friedmann , para la gravitación. Las unidades de Planck modificadas de modo que 8 π G = 1 se conocen como unidades de Planck reducidas , porque la masa de Planck se divide por √ 8 π . También, la fórmula Bekenstein-Hawking para la entropía de un negro simplifica agujero para S _BH = ( m _BH ) ² /2 = 2 π A _BH .
• Configurando 16 π G = 1 (y por lo tanto configurando G =1/16π). Esto eliminaría la constantec ⁴/16 π Gde la acción de Einstein-Hilbert. La forma de las ecuaciones de campo de Einstein con constante cosmológica Λ se convierte en R _μν -1/2Rg _μν + Λg _μν =1/2T _μν .

Unidades de Planck y la escala invariable de la naturaleza

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Algunos teóricos (como Dirac y Milne ) han propuesto cosmologías que conjeturan que las "constantes" físicas en realidad podrían cambiar con el tiempo (por ejemplo, una velocidad variable de la luz o la teoría G variable de Dirac). Estas cosmologías no han ganado la aceptación generalizada y, sin embargo, todavía existe un interés científico considerable en la posibilidad de que las "constantes" físicas puedan cambiar, aunque tales proposiciones introducen preguntas difíciles. Quizás la primera pregunta a abordar es: ¿Cómo un cambio de este tipo haría una diferencia operativa notable en la medición física o, más fundamentalmente, en nuestra percepción de la realidad? Si alguna constante física en particular hubiera cambiado, ¿cómo lo notaríamos o en qué sería diferente la realidad física? ¿Qué constantes cambiantes dan como resultado una diferencia significativa y mensurable en la realidad física? Si una constante física que no es adimensional , como la velocidad de la luz , node hecho cambia, ¿podríamos notarlo o medirlo sin ambigüedades? - una pregunta examinada por Michael Duff en su artículo "Comentario sobre la variación en el tiempo de las constantes fundamentales". ^{[38] [39]}

George Gamow argumentó en su libro Mr Tompkins in Wonderland que un cambio suficiente en una constante física dimensional, como la velocidad de la luz en el vacío, resultaría en cambios perceptibles obvios. Pero esta idea es desafiada:

[Una] lección importante que aprendemos de la forma en que los números puros como α definen el mundo es lo que realmente significa que los mundos sean diferentes. El número puro que llamamos constante de estructura fina y que denotamos por α es una combinación de la carga del electrón, e , la velocidad de la luz, c , y la constante de Planck, h . Al principio, podríamos sentirnos tentados a pensar que un mundo en el que la velocidad de la luz fuera más lenta sería un mundo diferente. Pero esto sería un error. Si c , h , y el correo se cambió todo para que los valores que tienen en el sistema métrico (o cualquier otro) unidades eran diferentes cuando los miramos en nuestras tablas de constantes físicas, pero el valor deα permaneció igual, este nuevo mundo sería indistinguible desde el punto de vista de la observación de nuestro mundo. Lo único que cuenta en la definición de mundos son los valores de las constantes adimensionales de la Naturaleza. Si todas las masas se duplicaron en valor [incluida la masa de Planck m _P  ], no se puede saber porque todos los números puros definidos por las razones de cualquier par de masas no cambian.

-  Barrow 2002 ^[22]

Refiriéndose al "Comentario sobre la variación en el tiempo de las constantes fundamentales" de Duff ^[38] y al artículo de Duff, Okun y Veneziano "Triálogo sobre el número de constantes fundamentales", ^[40]particularmente la sección titulada "El mundo operacionalmente indistinguible del Sr. Tompkins", si todas las cantidades físicas (masas y otras propiedades de las partículas) se expresaran en términos de unidades de Planck, esas cantidades serían números adimensionales (masa dividida por la masa de Planck, longitud dividido por la longitud de Planck, etc.) y las únicas cantidades que finalmente medimos en experimentos físicos o en nuestra percepción de la realidad son números adimensionales. Cuando uno mide comúnmente una longitud con una regla o cinta métrica, esa persona en realidad está contando marcas de graduación en un estándar dado o está midiendo la longitud en relación con ese estándar dado, que es un valor adimensional. No es diferente para los experimentos físicos, ya que todas las cantidades físicas se miden en relación con alguna otra cantidad de dimensiones similares.

Podemos notar una diferencia si alguna cantidad física adimensional, como la constante de estructura fina , α , cambia o la relación de masa protón-electrón ,m _p/m _electrónico, cambia (las estructuras atómicas cambiarían) pero si todas las cantidades físicas adimensionales permanecieran sin cambios (esto incluye todas las proporciones posibles de cantidades físicas idénticamente dimensionadas), no podemos decir si una cantidad dimensional, como la velocidad de la luz , c , ha cambiado. Y, de hecho, el concepto de Tompkins pierde sentido en nuestra percepción de la realidad si una cantidad dimensional como c ha cambiado , incluso drásticamente.

Si la velocidad de la luz c , se redujera repentinamente a la mitad y se cambiara a1/2c (pero con el axioma de que todas las cantidades físicas adimensionales siguen siendo las mismas), entonces la longitud de Planck aumentaría en un factor de 2 √ 2 desde el punto de vista de algún observador externo no afectado. Medida por observadores "mortales" en términos de unidades de Planck, la nueva velocidad de la luz permanecería como 1 nueva longitud de Planck por 1 nuevo tiempo de Planck, que no es diferente de la medición anterior. Pero, dado que por axioma, el tamaño de los átomos (aproximadamente el radio de Bohr ) está relacionado con la longitud de Planck por una constante adimensional invariable de proporcionalidad:

${\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{e}e^{2}}}={\frac {m_{\text{P}}}{m_{e}\alpha }}l_{\text{P}}.}$

Entonces, los átomos serían más grandes (en una dimensión) en 2 √ 2 , cada uno de nosotros sería más alto en 2 √ 2 , y nuestras varillas métricas serían más altas (y más anchas y más gruesas) en un factor de 2 √ 2 . Nuestra percepción de la distancia y las longitudes relativas a la longitud de Planck es, por axioma, una constante adimensional invariable.

Nuestros relojes marcarían más lento por un factor de 4 √ 2 (desde el punto de vista de este observador no afectado en el exterior) porque el tiempo de Planck ha aumentado en 4 √ 2 pero no sabríamos la diferencia (nuestra percepción de la duración del tiempo relativo al tiempo de Planck es, por axioma, una constante adimensional invariable). Este hipotético observador no afectado en el exterior podría observar que la luz ahora se propaga a la mitad de la velocidad que lo hacía anteriormente (así como todas las demás velocidades observadas) pero aún así viajaría.299 792 458 de nuestros nuevos metros en el tiempo transcurrido por uno de nuestros nuevos segundos (1/2c × 4 √ 2 ÷ 2 √ 2 sigue igual299 792 458  m / s ). No notaríamos ninguna diferencia.

Esto contradice lo que escribe George Gamow en su libro Mr. Tompkins ; allí, Gamow sugiere que si una constante universal dimensión dependientes tales como c cambió significativamente, nos podríamos notar fácilmente la diferencia. Es mejor pensar en el desacuerdo como la ambigüedad en la frase "cambiar una constante física" ; lo que sucedería depende de si (1) todas las demás constantes adimensionales se mantuvieron iguales, o si (2) todas las demás dimensiones dependienteslas constantes se mantienen iguales. La segunda opción es una posibilidad algo confusa, ya que la mayoría de nuestras unidades de medida se definen en relación con los resultados de los experimentos físicos, y los resultados experimentales dependen de las constantes. Gamow no aborda esta sutileza; los experimentos mentales que realiza en sus obras populares asumen la segunda opción para "cambiar una constante física" . Y Duff o Barrow señalarían que atribuir un cambio en la realidad mensurable, es decir , α , a una cantidad de componente dimensional específica, como c , no está justificado. La misma diferencia operativa, en realidad, la medida o percibida podría también ser causado por un cambio en h o correo si αse cambia y no se cambia ninguna otra constante adimensional. Son solo las constantes físicas adimensionales las que en última instancia importan en la definición de mundos. ^{[38] [41]}

Este aspecto invariable de la escala relativa de Planck, o el de cualquier otro sistema de unidades naturales, lleva a muchos teóricos a concluir que un cambio hipotético en las constantes físicas dimensionales sólo puede manifestarse como un cambio en las constantes físicas adimensionales . Una de esas constantes físicas adimensionales es la constante de estructura fina . Algunos físicos experimentales afirman que de hecho han medido un cambio en la constante de estructura fina ^[42] y esto ha intensificado el debate sobre la medición de las constantes físicas. Según algunos teóricos ^[43], hay algunas circunstancias muy especiales en las que los cambios en la constante de estructura fina pueden medirse como un cambio en la dimensiónconstantes físicas. Otros, sin embargo, rechazan la posibilidad de medir un cambio en las constantes físicas dimensionales bajo cualquier circunstancia. ^[38] La dificultad o incluso la imposibilidad de medir los cambios en las constantes físicas dimensionales ha llevado a algunos teóricos a debatir entre sí si una constante física dimensional tiene algún significado práctico y eso a su vez conduce a preguntas sobre qué constantes físicas dimensionales son significativos. ^[40]

Ver también

• Física cGh
• Análisis dimensional
• Relatividad doblemente especial
• Partícula de Planck
• Energía de punto cero

Notas

1. La relatividad general predice que la radiación gravitacional se propaga a la misma velocidad que la radiación electromagnética .

Referencias

Citas

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Enlaces externos

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