Sólido platónico

Convex regular polyhedra with the same number of faces at each vertex

En el espacio tridimensional , un sólido platónico es una normal , convexo poliedro . Está construido por caras poligonales congruentes (idénticas en forma y tamaño), regulares (todos los ángulos iguales y todos los lados iguales) con el mismo número de caras que se encuentran en cada vértice. Cinco sólidos cumplen estos criterios:

Tetraedro	Cubo	Octaedro	Dodecaedro	Icosaedro
Cuatro caras	Seis caras	Ocho caras	Doce caras	Veinte caras
( Animación ) ( modelo 3D )	( Animación ) ( modelo 3D )	( Animación ) ( modelo 3D )	( Animación ) ( modelo 3D )	( Animación ) ( modelo 3D )

Los geómetros han estudiado los sólidos platónicos durante miles de años. ^[1] Llevan el nombre del antiguo filósofo griego Platón, quien planteó la hipótesis en uno de sus diálogos, el Timeo , de que los elementos clásicos estaban hechos de estos sólidos regulares. ^[2]

Historia

Modelo sólido platónico de Kepler del Sistema Solar de Mysterium Cosmographicum (1596)

Asignación a los elementos del Mysterium Cosmographicum de Kepler

Los sólidos platónicos se conocen desde la antigüedad. Se ha sugerido que ciertas bolas de piedra talladas creadas por la gente del Neolítico tardío de Escocia representan estas formas; sin embargo, estas bolas tienen protuberancias redondeadas en lugar de ser poliédricas, el número de protuberancias frecuentemente difería del número de vértices de los sólidos platónicos, no hay ninguna bola cuyas protuberancias coincidan con los 20 vértices del dodecaedro y la disposición de las siempre simétrico. ^[3]

Los antiguos griegos estudiaron extensamente los sólidos platónicos. Algunas fuentes (como Proclus ) dan crédito a Pitágoras por su descubrimiento. Otra evidencia sugiere que puede que solo estuviera familiarizado con el tetraedro, el cubo y el dodecaedro y que el descubrimiento del octaedro y el icosaedro pertenecen a Theaetetus , un contemporáneo de Platón. En cualquier caso, Theaetetus dio una descripción matemática de los cinco y puede haber sido responsable de la primera prueba conocida de que no existen otros poliedros regulares convexos.

Los sólidos platónicos son prominentes en la filosofía de Platón , su homónimo. Platón escribió sobre ellos en el diálogo Timeo c. 360 a.C. en el que asoció cada uno de los cuatro elementos clásicos ( tierra , aire , agua y fuego) con un sólido regular. La tierra se asoció con el cubo, el aire con el octaedro, el agua con el icosaedro y el fuego con el tetraedro. Había una justificación intuitiva para estas asociaciones: el calor del fuego se siente agudo y punzante (como pequeños tetraedros). El aire está hecho de octaedro; sus componentes minúsculos son tan suaves que apenas se puede sentir. El agua, el icosaedro, fluye de la mano cuando se levanta, como si estuviera hecho de bolitas diminutas. Por el contrario, un sólido altamente no esférico, el hexaedro (cubo) representa la "tierra". Estos pequeños sólidos torpes hacen que la suciedad se desmorone y se rompa cuando se recogen en marcada diferencia con el flujo suave del agua. ^{[ cita requerida ]} Además, el cubo es el único sólido regular que se tesela Se creía que el espacio euclidiano causaba la solidez de la Tierra.

Del quinto sólido platónico, el dodecaedro, Platón comentó oscuramente, "... el dios lo usó para arreglar las constelaciones en todo el cielo". Aristóteles añadió un quinto elemento, aithēr (aether en latín, "ether" en inglés) y postuló que los cielos estaban hechos de este elemento, pero no tenía ningún interés en emparejarlo con el quinto sólido de Platón. ^[4]

Euclides describió completamente matemáticamente los sólidos platónicos en los Elementos , el último libro (Libro XIII) del cual está dedicado a sus propiedades. Las proposiciones 13-17 del libro XIII describen la construcción del tetraedro, octaedro, cubo, icosaedro y dodecaedro en ese orden. Para cada sólido, Euclides encuentra la relación entre el diámetro de la esfera circunscrita y la longitud del borde. En la Proposición 18 sostiene que no hay más poliedros convexos regulares. Andreas Speiser ha defendido la opinión de que la construcción de los 5 sólidos regulares es el objetivo principal del sistema deductivo canonizado en los Elementos . ^[5] Gran parte de la información del Libro XIII probablemente se deriva del trabajo de Theaetetus.

En el siglo XVI, el astrónomo alemán Johannes Kepler intentó relacionar los cinco planetas extraterrestres conocidos en ese momento con los cinco sólidos platónicos. En Mysterium Cosmographicum , publicado en 1596, Kepler propuso un modelo del Sistema Solar en el que los cinco sólidos estaban colocados uno dentro del otro y separados por una serie de esferas inscritas y circunscritas. Kepler propuso que las relaciones de distancia entre los seis planetas conocidos en ese momento podrían entenderse en términos de los cinco sólidos platónicos encerrados dentro de una esfera que representaba la órbita de Saturno . Cada una de las seis esferas correspondía a uno de los planetas ( Mercurio , Venus, Tierra , Marte , Júpiter y Saturno). Los sólidos se ordenaron siendo el más interno el octaedro, seguido por el icosaedro, el dodecaedro, el tetraedro y finalmente el cubo, dictando así la estructura del sistema solar y las relaciones de distancia entre los planetas por los sólidos platónicos. Al final, la idea original de Kepler tuvo que ser abandonada, pero de su investigación surgieron sus tres leyes de la dinámica orbital , la primera de las cuales era que las órbitas de los planetas son elipses en lugar de círculos, cambiando el curso de la física y la astronomía. También descubrió los sólidos de Kepler .

Coordenadas cartesianas

Para los sólidos platónicos centrados en el origen, las coordenadas cartesianas simples de los vértices se dan a continuación. La letra griega φ se usa para representar la proporción áurea 1 + √ 5/2 ≈ 1,6180.

Parámetros

Figura	Tetraedro		Octaedro	Cubo	Icosaedro		Dodecaedro
Caras	4		8	6	20		12
Vértices	4		6 (2 × 3)	8	12 (4 × 3)		20 (8 + 4 × 3)
Conjunto de orientación	1	2			1	2	1	2
Coordenadas de vértice	(1, 1, 1) (1, −1, −1) (−1, 1, −1) (−1, −1, 1)	(−1, −1, −1) (−1, 1, 1) (1, −1, 1) (1, 1, −1)	(± 1, 0, 0) (0, ± 1, 0) (0, 0, ± 1)	(± 1, ± 1, ± 1)	(0, ± 1, ± φ ) (± 1, ± φ , 0) (± φ , 0, ± 1)	(0, ± φ , ± 1) (± φ , ± 1, 0) (± 1, 0, ± φ )	(± 1, ± 1, ± 1) (0, ±1/φ, ± φ ) (±1/φ, ± φ , 0) (± φ , 0, ±1/φ)	(± 1, ± 1, ± 1) (0, ± φ , ±1/φ) (± φ , ±1/φ, 0) (±1/φ, 0, ± φ )
Imagen

Las coordenadas para el tetraedro, el dodecaedro y el icosaedro se dan en dos conjuntos de orientación, cada uno de los cuales contiene la mitad del signo y la permutación de la posición de las coordenadas.

Estas coordenadas revelan ciertas relaciones entre los sólidos platónicos: los vértices del tetraedro representan la mitad de los del cubo, como {4,3} o , uno de los dos conjuntos de 4 vértices en posiciones dobles, como h {4,3} o . Ambas posiciones tetraédricas forman el octaedro estrellado compuesto .

Las coordenadas del icosaedro están relacionadas con dos conjuntos alternos de coordenadas de un octaedro truncado no uniforme , t {3,4} o, también llamado octaedro chato , como s {3,4} o, y visto en el compuesto de dos icosaedros .

Ocho de los vértices del dodecaedro se comparten con el cubo. Completar todas las orientaciones conduce al compuesto de cinco cubos .

Propiedades combinatorias

Un poliedro convexo es un sólido platónico si y solo si

1. todas sus caras son polígonos regulares convexos congruentes ,
2. ninguna de sus caras se cruza excepto en sus bordes, y
3. el mismo número de caras se encuentran en cada uno de sus vértices .

Por tanto, cada sólido platónico se puede denotar con un símbolo { p ,  q } donde

p es el número de aristas (o, de manera equivalente, vértices) de cada cara, y

q es el número de caras (o, de manera equivalente, aristas) que se encuentran en cada vértice.

El símbolo { p ,  q }, llamado símbolo de Schläfli , da una descripción combinatoria del poliedro. Los símbolos de Schläfli de los cinco sólidos platónicos se dan en la siguiente tabla.

Poliedro		Vértices	Bordes	Caras	Símbolo de Schläfli	Configuración de vértice
tetraedro		4	6	4	{3, 3}	3.3.3
cubo		8	12	6	{4, 3}	4.4.4
octaedro		6	12	8	{3, 4}	3.3.3.3
dodecaedro		20	30	12	{5, 3}	5.5.5
icosaedro		12	30	20	{3, 5}	3.3.3.3.3

Un posible ciclo hamiltoniano a través de cada vértice de un dodecaedro se muestra en rojo; como todos los sólidos platónicos , el dodecaedro es hamiltoniano.

Lo anterior como un gráfico plano bidimensional

Toda la demás información combinatoria de estos sólidos, como el número total de vértices ( V ), los bordes ( E ), y caras ( F ), puede determinarse a partir de p y q . Dado que cualquier borde une dos vértices y tiene dos caras adyacentes, debemos tener:

${\displaystyle pF=2E=qV.\,}$

La otra relación entre estos valores viene dada por la fórmula de Euler :

${\displaystyle V-E+F=2.\,}$

Esto se puede demostrar de muchas formas. Juntas, estas tres relaciones determinan completamente V , E y F :

${\displaystyle V={\frac {4p}{4-(p-2)(q-2)}},\quad E={\frac {2pq}{4-(p-2)(q-2)}},\quad F={\frac {4q}{4-(p-2)(q-2)}}.}$

Intercambio de p y q intercambios F y V , dejando E sin cambios. Para una interpretación geométrica de esta propiedad, consulte § Poliedros duales a continuación.

Como configuración

Los elementos de un poliedro se pueden expresar en una matriz de configuración . Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas y caras. Los números diagonales indican cuántos elementos de cada elemento se encuentran en todo el poliedro. Los números no diagonales indican cuántos elementos de la columna se encuentran en el elemento de la fila o en el mismo. Los pares duales de poliedros tienen sus matrices de configuración giradas 180 grados entre sí. ^[6]

{p, q}	Configuraciones platónicas
orden de grupo : g = 8 pq / (4- ( p -2) ( q -2))	g = 24	g = 48		g = 120
v mi F v g / 2 q q q mi 2 g / 4 2 F pag pag g / 2 p	{3,3} 4 3 3 2 6 2 3 3 4	{3,4} 6 4 4 2 12 2 3 3 8	{4,3} 8 3 3 2 12 2 4 4 6	{3,5} 12 5 5 2 30 2 3 3 20	{5,3} 20 3 3 2 30 2 5 5 12

Clasificación

El resultado clásico es que solo existen cinco poliedros regulares convexos. Dos argumentos comunes a continuación demuestran que no pueden existir más de cinco sólidos platónicos, pero demostrar positivamente la existencia de cualquier sólido dado es una pregunta separada, una que requiere una construcción explícita.

Prueba geométrica

Redes poligonales alrededor de un vértice

{3,3} Defecto 180 °	{3,4} Defecto 120 °	{3,5} Defecto 60 °	{3,6} Defecto 0 °
{4,3} Defecto 90 °	{4,4} Defecto 0 °	{5,3} Defecto 36 °	{6,3} Defecto 0 °
Un vértice necesita al menos 3 caras y un defecto de ángulo . Un defecto de ángulo de 0 ° llenará el plano euclidiano con un mosaico regular. Según el teorema de Descartes , el número de vértices es 720 ° / defecto .

El siguiente argumento geométrico es muy similar al dado por Euclides en los Elementos :

1. Cada vértice del sólido debe ser un vértice de al menos tres caras.
2. En cada vértice del sólido, el total, entre las caras adyacentes, de los ángulos entre sus respectivos lados adyacentes debe ser menor a 360 °. La cantidad menor de 360 ​​° se llama defecto de ángulo .
3. Los ángulos en todos los vértices de todas las caras de un sólido platónico son idénticos: cada vértice de cada cara debe contribuir menos de 360 °/3 = 120 °.
4. Los polígonos regulares de seis o más lados tienen solo ángulos de 120 ° o más, por lo que la cara común debe ser el triángulo, el cuadrado o el pentágono. Para estas diferentes formas de caras, se aplica lo siguiente:
   • Caras triangulares : cada vértice de un triángulo regular mide 60 °, por lo que una forma puede tener 3, 4 o 5 triángulos que se unen en un vértice; estos son el tetraedro, el octaedro y el icosaedro, respectivamente.
   • Caras cuadradas : cada vértice de un cuadrado mide 90 °, por lo que solo es posible una disposición con tres caras en un vértice, el cubo.
   • Caras pentagonales : cada vértice mide 108 °; de nuevo, sólo es posible una disposición de tres caras en un vértice, el dodecaedro.

En total, esto hace 5 posibles sólidos platónicos.

Prueba topológica

Se puede realizar una prueba puramente topológica utilizando solo información combinatoria sobre los sólidos. La clave es la observación de Euler de que V  -  E  +  F  = 2, y el hecho de que pF  = 2 E  =  qV , donde p representa el número de aristas de cada cara yq el número de aristas que se encuentran en cada vértice. Combinando estas ecuaciones se obtiene la ecuación

${\displaystyle {\frac {2E}{q}}-E+{\frac {2E}{p}}=2.}$

La manipulación algebraica simple da

${\displaystyle {1 \over q}+{1 \over p}={1 \over 2}+{1 \over E}.}$

Dado que E es estrictamente positivo, debemos tener

${\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}>{\frac {1}{2}}.}$

Usando el hecho de que p y q deben ser al menos 3, uno puede ver fácilmente que solo hay cinco posibilidades para { p ,  q }:

{3, 3}, {4, 3}, {3, 4}, {5, 3}, {3, 5}.

Propiedades geométricas

Ángulos

Hay una serie de ángulos asociados con cada sólido platónico. El ángulo diedro es el ángulo interior entre dos planos de caras cualesquiera. El ángulo diedro, θ , del sólido { p , q } viene dado por la fórmula

${\displaystyle \sin {\theta \over 2}={\frac {\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right)}{\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)}}.}$

Esto a veces se expresa más convenientemente en términos de la tangente por

${\displaystyle \tan {\theta \over 2}={\frac {\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right)}{\sin \left({\frac {\pi }{h}}\right)}}.}$

La cantidad h (llamada número de Coxeter ) es 4, 6, 6, 10 y 10 para el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro, respectivamente.

La deficiencia angular en el vértice de un poliedro es la diferencia entre la suma de los ángulos de las caras en ese vértice y 2 π . El defecto, δ , en cualquier vértice de los sólidos platónicos { p , q } es

${\displaystyle \delta =2\pi -q\pi \left(1-{2 \over p}\right).}$

Según un teorema de Descartes, esto es igual a 4 π dividido por el número de vértices (es decir, el defecto total en todos los vértices es 4 π ).

El análogo tridimensional de un ángulo plano es un ángulo sólido . El ángulo sólido, Ω , en el vértice de un sólido platónico está dado en términos del ángulo diedro por

${\displaystyle \Omega =q\theta -(q-2)\pi .\,}$

Esto se sigue de la fórmula del exceso esférico para un polígono esférico y del hecho de que la figura del vértice del poliedro { p , q } es un q -gon regular .

El ángulo sólido de una cara subtendida desde el centro de un sólido platónico es igual al ángulo sólido de una esfera completa (4 π estereorradianes) dividido por el número de caras. Esto es igual a la deficiencia angular de su dual.

Los diversos ángulos asociados con los sólidos platónicos se tabulan a continuación. Los valores numéricos de los ángulos sólidos se dan en estereorradianes . La constante φ =1 + √ 5/2es la proporción áurea .

Poliedro	Ángulo diedro ( θ )	broncearse θ/2	Defecto ( δ )	Ángulo sólido del vértice ( Ω )	Ángulo sólido de cara
tetraedro	70,53 °	${\displaystyle 1 \over {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle \cos ^{-1}\left({\frac {23}{27}}\right)\quad \approx 0.551286}$	${\displaystyle \pi }$
cubo	90 °	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pi \over 2}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\quad \approx 1.57080}$	${\displaystyle 2\pi \over 3}$
octaedro	109,47 °	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {2\pi } \over 3}$	${\displaystyle 4\sin ^{-1}\left({1 \over 3}\right)\quad \approx 1.35935}$	${\displaystyle \pi \over 2}$
dodecaedro	116,57 °	${\displaystyle \varphi }$	${\displaystyle \pi \over 5}$	${\displaystyle \pi -\tan ^{-1}\left({\frac {2}{11}}\right)\quad \approx 2.96174}$	${\displaystyle \pi \over 3}$
icosaedro	138,19 °	${\displaystyle \varphi ^{2}}$	${\displaystyle \pi \over 3}$	${\displaystyle 2\pi -5\sin ^{-1}\left({2 \over 3}\right)\quad \approx 2.63455}$	${\displaystyle \pi \over 5}$

Radios, área y volumen

Otra virtud de la regularidad es que todos los sólidos platónicos poseen tres esferas concéntricas:

• la esfera circunscrita que pasa por todos los vértices,
• la esfera media que es tangente a cada borde en el punto medio del borde, y
• la esfera inscrita que es tangente a cada cara en el centro de la cara.

Los radios de estas esferas se denominan circunradio , radio medio y radio interno . Estas son las distancias desde el centro del poliedro a los vértices, los puntos medios de los bordes y los centros de las caras, respectivamente. El radio circunferencial R y el radio interno r del sólido { p ,  q } con una longitud de borde a están dados por

${\displaystyle R=\left({a \over 2}\right)\tan {\frac {\pi }{q}}\tan {\frac {\theta }{2}}}$

${\displaystyle r=\left({a \over 2}\right)\cot {\frac {\pi }{p}}\tan {\frac {\theta }{2}}}$

donde θ es el ángulo diedro. El radio medio ρ viene dado por

${\displaystyle \rho =\left({a \over 2}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi }{p}}\right)}{\sin \left({\frac {\pi }{h}}\right)}}}$

donde h es la cantidad utilizada anteriormente en la definición del ángulo diedro ( h = 4, 6, 6, 10 o 10). La relación de la circunferencia circunscrita a la inradio es simétrica en p y q :

${\displaystyle {R \over r}=\tan {\frac {\pi }{p}}\tan {\frac {\pi }{q}}={\frac {\sqrt {{\sin ^{-2}{\left({\frac {\theta }{2}}\right)}}-{\cos ^{2}{\left({\frac {\alpha }{2}}\right)}}}}{\sin {\left({\frac {\alpha }{2}}\right)}}}.}$

El área superficial , A , de un platónico sólida { p ,  q } se calcula fácilmente como zona de un habitual p -gon veces el número de caras F . Este es:

${\displaystyle A=\left({a \over 2}\right)^{2}Fp\cot {\frac {\pi }{p}}.}$

El volumen se calcula como F multiplicado por el volumen de la pirámide cuya base es un p -gon regular y cuya altura es el radio interno r . Eso es,

${\displaystyle V={\tfrac {1}{3}}rA.}$

La siguiente tabla enumera los diversos radios de los sólidos platónicos junto con su área de superficie y volumen. El tamaño total se fija tomando la longitud del borde, a , para que sea igual a 2.

Poliedro ( a  = 2)	Inradio ( r )	Radio medio ( ρ )	Circumradio ( R )	Superficie ( A )	Volumen ( V )	Volumen (bordes de la unidad)
tetraedro	${\displaystyle 1 \over {\sqrt {6}}}$	${\displaystyle 1 \over {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3 \over 2}}}$	${\displaystyle 4{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {8}}{3}}\approx 0.942809}$	${\displaystyle \approx 0.117851}$
cubo	${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 24\,}$	${\displaystyle 8\,}$	${\displaystyle 1\,}$
octaedro	${\displaystyle {\sqrt {2 \over 3}}}$	${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 8{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {128}}{3}}\approx 3.771236}$	${\displaystyle \approx 0.471404}$
dodecaedro	${\displaystyle {\frac {\varphi ^{2}}{\xi }}}$	${\displaystyle \varphi ^{2}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}\,\varphi }$	${\displaystyle 12{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\frac {20\varphi ^{3}}{\xi ^{2}}}\approx 61.304952}$	${\displaystyle \approx 7.663119}$
icosaedro	${\displaystyle {\frac {\varphi ^{2}}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle \varphi }$	${\displaystyle \xi \varphi }$	${\displaystyle 20{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {20\varphi ^{2}}{3}}\approx 17.453560}$	${\displaystyle \approx 2.181695}$

Las constantes φ y ξ en lo anterior están dadas por

${\displaystyle \varphi =2\cos {\pi \over 5}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\qquad \xi =2\sin {\pi \over 5}={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=5^{\frac {1}{4}}\varphi ^{-{\frac {1}{2}}}.}$

Entre los sólidos platónicos, el dodecaedro o el icosaedro pueden verse como la mejor aproximación a la esfera. El icosaedro tiene el mayor número de caras y el ángulo diedro más grande, abraza su esfera inscrita con mayor fuerza, y su relación área de superficie a volumen es más cercana a la de una esfera del mismo tamaño (es decir, la misma área de superficie o el mismo volumen.) El dodecaedro, por otro lado, tiene el defecto angular más pequeño, el ángulo sólido de vértice más grande, y es el que más llena su esfera circunscrita.

Punto en el espacio

Para un punto arbitrario en el espacio de un sólido platónico con circunradio , cuyas distancias al centroide del sólido platónico y sus vértices son y respectivamente, y${\displaystyle R}$${\displaystyle n}$${\displaystyle L}$${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle S_{[n]}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}}$,

tenemos ^[7]

${\displaystyle S_{[4]}^{(2)}=S_{[6]}^{(2)}=S_{[8]}^{(2)}=S_{[12]}^{(2)}=S_{[20]}^{(2)}=R^{2}+L^{2},}$

${\displaystyle S_{[4]}^{(4)}=S_{[6]}^{(4)}=S_{[8]}^{(4)}=S_{[12]}^{(4)}=S_{[20]}^{(4)}=(R^{2}+L^{2})^{2}+{\frac {4}{3}}R^{2}L^{2},}$

${\displaystyle S_{[6]}^{(6)}=S_{[8]}^{(6)}=S_{[12]}^{(6)}=S_{[20]}^{(6)}=(R^{2}+L^{2})^{3}+4R^{2}L^{2}(R^{2}+L^{2}),}$

${\displaystyle S_{[12]}^{(8)}=S_{[20]}^{(8)}=(R^{2}+L^{2})^{4}+8R^{2}L^{2}(R^{2}+L^{2})^{2}+{\frac {16}{5}}R^{4}L^{4},}$

${\displaystyle S_{[12]}^{(10)}=S_{[20]}^{(10)}=(R^{2}+L^{2})^{5}+{\frac {40}{3}}R^{2}L^{2}(R^{2}+L^{2})^{3}+16R^{4}L^{4}(R^{2}+L^{2}).}$

Para los cinco sólidos platónicos, tenemos ^[7]

${\displaystyle S_{[n]}^{(4)}+{\frac {16}{9}}R^{4}=(S_{[n]}^{(2)}+{\frac {2}{3}}R^{2})^{2}.}$

Si son las distancias desde los vértices del sólido platónico hasta cualquier punto de su esfera circunscrita, entonces ^[7]${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle 4(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2})^{2}=3n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}.}$

Propiedad de Rupert

Un poliedro P se dice que tiene el Rupert propiedad si un poliedro de igual o mayor tamaño y la misma forma que P puede pasar a través de un agujero en P . ^[8] Los cinco sólidos platónicos tienen esta propiedad. ^{[8] [9] [10]}

Simetría

Poliedros duales

Compuestos duales

Cada poliedro tiene un poliedro dual (o "polar") con caras y vértices intercambiados . El dual de cada sólido platónico es otro sólido platónico, de modo que podemos ordenar los cinco sólidos en pares duales.

• El tetraedro es auto-dual (es decir, su dual es otro tetraedro).
• El cubo y el octaedro forman un par dual.
• El dodecaedro y el icosaedro forman un par dual.

Si un poliedro tiene el símbolo de Schläfli { p ,  q }, entonces su dual tiene el símbolo { q ,  p }. De hecho, cada propiedad combinatoria de un sólido platónico puede interpretarse como otra propiedad combinatoria del dual.

Se puede construir el poliedro dual tomando los vértices del dual como centros de las caras de la figura original. La conexión de los centros de las caras adyacentes en el original forma los bordes del dual y, por lo tanto, intercambia el número de caras y vértices mientras se mantiene el número de bordes.

De manera más general, se puede dualizar un sólido platónico con respecto a una esfera de radio d concéntrico con el sólido. Los radios ( R ,  ρ ,  r ) de un sólido y los de su dual ( R *,  ρ *,  r *) están relacionados por

${\displaystyle d^{2}=R^{\ast }r=r^{\ast }R=\rho ^{\ast }\rho .}$

La dualización con respecto a la esfera media ( d  =  ρ ) suele ser conveniente porque la esfera media tiene la misma relación con ambos poliedros. Si se toma d ²  =  Rr, se obtiene un sólido dual con el mismo radio de circunferencia e inradio (es decir, R * =  R y r * =  r ).

Grupos de simetría

En matemáticas, el concepto de simetría se estudia con la noción de grupo matemático . Cada poliedro tiene un grupo de simetría asociado , que es el conjunto de todas las transformaciones ( isometrías euclidianas ) que dejan invariante el poliedro. El orden del grupo de simetría es el número de simetrías del poliedro. A menudo se distingue entre el grupo de simetría completo , que incluye reflejos , y el grupo de simetría adecuado , que incluye solo rotaciones .

Los grupos de simetría de los sólidos platónicos son una clase especial de grupos de puntos tridimensionales conocidos como grupos poliédricos . El alto grado de simetría de los sólidos platónicos se puede interpretar de varias formas. Lo más importante es que los vértices de cada sólido son todos equivalentes bajo la acción del grupo de simetría, al igual que las aristas y las caras. Se dice que la acción del grupo de simetría es transitiva en los vértices, aristas y caras. De hecho, esta es otra manera de definir la regularidad de un poliedro: un poliedro es normal si y sólo si es vértice uniforme , borde uniforme , y cara uniforme .

Solo hay tres grupos de simetría asociados con los sólidos platónicos en lugar de cinco, ya que el grupo de simetría de cualquier poliedro coincide con el de su dual. Esto se ve fácilmente al examinar la construcción del poliedro dual. Cualquier simetría del original debe ser una simetría del dual y viceversa. Los tres grupos poliédricos son:

• el grupo tetraédrico T ,
• el grupo octaédrico O (que también es el grupo de simetría del cubo), y
• el grupo icosaédrico I (que también es el grupo de simetría del dodecaedro).

Los órdenes de los grupos propios (de rotación) son 12, 24 y 60 respectivamente, exactamente el doble del número de aristas en los respectivos poliedros. Los órdenes de los grupos de simetría completos son nuevamente el doble (24, 48 y 120). Ver (Coxeter 1973) para una derivación de estos hechos. Todos los sólidos platónicos excepto el tetraedro son centralmente simétricos, lo que significa que se conservan bajo reflexión a través del origen .

La siguiente tabla enumera las diversas propiedades de simetría de los sólidos platónicos. Los grupos de simetría enumerados son los grupos completos con los subgrupos de rotación entre paréntesis (también para el número de simetrías). La construcción del caleidoscopio de Wythoff es un método para construir poliedros directamente a partir de sus grupos de simetría. Se enumeran como referencia el símbolo de Wythoff para cada uno de los sólidos platónicos.

Poliedro	Símbolo de Schläfli	Símbolo de Wythoff	Poliedro doble	Grupo de simetría (Reflexión, rotación)
				Poliédrico	Schön.	Timonel.	Orbe.	Pedido
tetraedro	{3, 3}	3 | 2 3	tetraedro	Tetraédrico	T d T	[3,3] [3,3] +	* 332 332	24 12
cubo	{4, 3}	3 | 2 4	octaedro	Octaédrico	O h O	[4,3] [4,3] +	* 432 432	48 24
octaedro	{3, 4}	4 | 2 3	cubo
dodecaedro	{5, 3}	3 | 2 5	icosaedro	Icosaédrico	Yo h yo	[5,3] [5,3] +	* 532 532	120 60
icosaedro	{3, 5}	5 | 2 3	dodecaedro

En naturaleza y tecnología

Esta sección no cita ninguna fuente . Por favor, ayuda a mejorar esta sección mediante la adición de citas de fuentes confiables . El material no obtenido puede ser cuestionado y eliminado . ( Octubre de 2018 ) ( Obtenga información sobre cómo y cuándo eliminar este mensaje de plantilla )

El tetraedro, el cubo y el octaedro se encuentran todos naturalmente en las estructuras cristalinas . Estos de ninguna manera agotan el número de posibles formas de cristales. Sin embargo, ni el icosaedro regular ni el dodecaedro regular se encuentran entre ellos. Una de las formas, llamada piritoedro (llamado así por el grupo de minerales del que es típico) tiene doce caras pentagonales, dispuestas en el mismo patrón que las caras del dodecaedro regular. Sin embargo, las caras del piritoedro no son regulares, por lo que el piritoedro tampoco lo es. Los alótropos de boro y muchos compuestos de boro , como el carburo de boro , incluyen B ₁₂ discretosicosaedros dentro de sus estructuras cristalinas. Los ácidos carborano también tienen estructuras moleculares que se aproximan al icosaedro regular.

Circogonia icosahedra, una especie de radiolaria , con forma de icosaedro regular .

A principios del siglo XX, Ernst Haeckel describió (Haeckel, 1904) varias especies de Radiolaria , algunos de cuyos esqueletos tienen la forma de varios poliedros regulares. Los ejemplos incluyen Circoporus octahedrus , Circogonia icosahedra , Lithocubus geometricus y Circorrhegma dodecahedra . Las formas de estas criaturas deberían ser obvias por sus nombres.

Muchos virus , como el virus del herpes ^[11] , tienen la forma de un icosaedro regular. Las estructuras virales están formadas por subunidades de proteínas idénticas repetidas y el icosaedro es la forma más fácil de ensamblar utilizando estas subunidades. Se utiliza un poliedro regular porque se puede construir a partir de una única unidad básica de proteína utilizada una y otra vez; esto ahorra espacio en el genoma viral .

En meteorología y climatología , los modelos numéricos globales de flujo atmosférico son de creciente interés que emplean cuadrículas geodésicas que se basan en un icosaedro (refinado por triangulación ) en lugar de la cuadrícula de longitud / latitud más comúnmente utilizada . Esto tiene la ventaja de una resolución espacial distribuida uniformemente sin singularidades (es decir, los polos) a expensas de una dificultad numérica algo mayor.

La geometría de los marcos espaciales se basa a menudo en sólidos platónicos. En el sistema MERO, los sólidos platónicos se utilizan para nombrar la convención de varias configuraciones de marcos espaciales. Por ejemplo,1/2O + T se refiere a una configuración formada por la mitad de un octaedro y un tetraedro.

Se han sintetizado varios hidrocarburos platónicos , incluidos el cubano y el dodecahedrano .

• Tetrahedrano

• Cubano

• Dodecahedrane

Los sólidos platónicos se utilizan a menudo para hacer dados , porque los dados de estas formas se pueden hacer justos . Los dados de 6 caras son muy comunes, pero los otros números se usan comúnmente en juegos de rol . Dichos dados se denominan comúnmente d n donde n es el número de caras (d8, d20, etc.); consulte la notación de dados para obtener más detalles.

Un juego de dados poliédricos.

Estas formas aparecen con frecuencia en otros juegos o rompecabezas. Los rompecabezas similares a un cubo de Rubik vienen en las cinco formas: vea los poliedros mágicos .

Cristales líquidos con simetrías de sólidos platónicos

Para la fase material intermedia llamada cristales líquidos , la existencia de tales simetrías fue propuesta por primera vez en 1981 por H. Kleinert y K. Maki. ^{[12] [13]} En aluminio, la estructura icosaédrica fue descubierta tres años después por Dan Shechtman , que le valió el Premio Nobel de Química en 2011.

Poliedros y politopos relacionados

Poliedros uniformes

Existen cuatro poliedros regulares que no son convexos, llamados poliedros de Kepler-Poinsot . Todos ellos tienen simetría icosaédrica y pueden obtenerse como estelaciones del dodecaedro y del icosaedro.

cuboctaedro

icosidodecaedro

Los siguientes poliedros convexos más regulares después de los sólidos platónicos son el cuboctaedro , que es una rectificación del cubo y el octaedro, y el icosidodecaedro , que es una rectificación del dodecaedro y el icosaedro (la rectificación del tetraedro auto-dual es una octaedro regular). Ambos son cuasi regulares , lo que significa que son uniformes en vértices y aristas y tienen caras regulares, pero las caras no son todas congruentes (vienen en dos clases diferentes). Forman dos de los trece sólidos de Arquímedes , que son los poliedros uniformes convexos con simetría poliédrica. Sus duales, el dodecaedro rómbico ytriacontaedro rómbico , son transitivos de arista y cara, pero sus caras no son regulares y sus vértices son de dos tipos cada uno; son dos de los trece sólidos catalanes .

Los poliedros uniformes forman una clase mucho más amplia de poliedros. Estas figuras son de vértice uniforme y tienen uno o más tipos de polígonos regulares o en estrella para las caras. Estos incluyen todos los poliedros mencionados anteriormente junto con un conjunto infinito de prismas , un conjunto infinito de antiprismas y otras 53 formas no convexas.

Los sólidos de Johnson son poliedros convexos que tienen caras regulares pero no uniformes. Entre ellos se encuentran cinco de los ocho deltaedros convexos , que tienen caras idénticas y regulares (todos triángulos equiláteros) pero no son uniformes. (Los otros tres deltaedros convexos son el tetraedro platónico, el octaedro y el icosaedro).

Teselaciones regulares

Azulejos esféricos regulares

Azulejos platónicos
{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}
Azulejos diedros regulares
{2,2}	{3,2}	{4,2}	{5,2}	{6,2} ...
Azulejos hosoédricos regulares
{2,2}	{2,3}	{2,4}	{2,5}	{2,6} ...

Las tres teselaciones regulares del plano están estrechamente relacionadas con los sólidos platónicos. De hecho, uno puede ver los sólidos platónicos como teselaciones regulares de la esfera . Esto se hace proyectando cada sólido sobre una esfera concéntrica. Las caras se proyectan sobre polígonos esféricos regulares que cubren exactamente la esfera. Las teselaciones esféricas proporcionan dos conjuntos adicionales infinitos de teselaciones regulares, el hosohedra , {2, n } con 2 vértices en los polos y caras lune , y la dihedra dual , { n , 2} con 2 caras hemisféricas y vértices regularmente espaciados en el ecuador. Tales teselaciones se degenerarían en el verdadero espacio 3D como poliedros.

Se puede demostrar que cada teselación regular de la esfera se caracteriza por un par de enteros { p ,  q } con1/pag + 1/q > 1/2. Asimismo, una teselación regular del plano se caracteriza por la condición1/pag + 1/q = 1/2. Hay tres posibilidades:

Los tres mosaicos regulares del plano euclidiano

{4, 4}	{3, 6}	{6, 3}

De manera similar, se pueden considerar teselaciones regulares del plano hiperbólico . Estos se caracterizan por la condición1/pag + 1/q < 1/2. Existe una familia infinita de tales teselados.

Ejemplo de mosaicos regulares del plano hiperbólico

{5, 4}	{4, 5}	{7, 3}	{3, 7}

Dimensiones superiores

Más información: Lista de politopos regulares

En más de tres dimensiones, los poliedros se generalizan a politopos , siendo los politopos regulares convexos de mayor dimensión los equivalentes de los sólidos platónicos tridimensionales.

A mediados del siglo XIX, el matemático suizo Ludwig Schläfli descubrió los análogos tetradimensionales de los sólidos platónicos, llamados 4-politopos regulares convexos . Hay exactamente seis de estas figuras; cinco son análogos a los sólidos platónicos 5 celdas como {3,3,3}, 16 celdas como {3,3,4}, 600 celdas como {3,3,5}, tesseract como {4,3, 3}, y 120 celdas como {5,3,3}, y un sexto, el auto-dual de 24 celdas , {3,4,3}.

En todas las dimensiones superiores a cuatro, solo hay tres politopos regulares convexos: el simplex como {3,3, ..., 3}, el hipercubo como {4,3, ..., 3} y el politopo cruzado como {3,3, ..., 4}. ^[14] En tres dimensiones, coinciden con el tetraedro como {3,3}, el cubo como {4,3} y el octaedro como {3,4}.

Ver también

• Sólido de Arquímedes
• Sólido catalán
• Deltaedro
• Johnson sólido
• Goldberg sólido
• Sólidos de Kepler
• Lista de politopos regulares
• Cubo del príncipe Rupert
• Politopos regulares
• Poliedro oblicuo regular
• Poliedro toroidal

Referencias

1. Gardner (1987): Martin Gardner escribió un relato popular de los cinco sólidos en su columna Mathematical Games de diciembre de 1958en Scientific American.
2. Zeyl, Donald. "El Timeo de Platón" . La Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
3. Lloyd 2012 .
4. Wildberg (1988): Wildberg analiza la correspondencia de los sólidos platónicos con elementos en Timeo, pero señala que esta correspondencia parece haber sido olvidada en Epinomis , que él llama "un gran paso hacia la teoría de Aristóteles", y señala que el éter de Aristóteles está por encima de los otros cuatro elementos en lugar de estar en pie de igualdad con ellos, lo que hace que la correspondencia sea menos adecuada.
5. Weyl 1952 , pág. 74.
6. Coxeter, Politopos regulares, sección 1.8 Configuraciones
7. Meskhishvili, Mamuka (2020). "Promedios cíclicos de polígonos regulares y sólidos platónicos" . Comunicaciones en Matemáticas y Aplicaciones . 11 : 335–355.
8. Jerrard, Richard P .; Wetzel, John E .; Yuan, Liping (abril de 2017). "Pasajes platónicos". Revista de Matemáticas . Washington, DC: Asociación Matemática de América . 90 (2): 87–98. doi : 10.4169 / math.mag.90.2.87 .
9. Schrek, DJE (1950), "El problema del príncipe Rupert y su extensión por Pieter Nieuwland", Scripta Mathematica , 16 : 73–80 y 261–267
10. Scriba, Christoph J. (1968), "Das Problem des Prinzen Ruprecht von der Pfalz", Praxis der Mathematik (en alemán), 10 (9): 241–246, MR 0497615 
11. Siyu Li, Polly Roy, Alex Travesset y Roya Zandi (octubre de 2018). "Por qué los virus icosaédricos grandes necesitan proteínas de andamiaje" . pnas.org . Consultado el 14 de marzo de 2021 .
12. Kleinert y Maki (1981)
13. Las fases azules cristalinas líquidas (1989). por Tamar Seideman, Reports on Progress in Physics, Volumen 53, Número 6
14. Coxeter 1973 , p. 136.

Fuentes

• Atiyah, Michael ; Sutcliffe, Paul (2003). "Poliedros en Física, Química y Geometría". Milan J. Math . 71 : 33–58. arXiv : matemáticas-ph / 0303071 . doi : 10.1007 / s00032-003-0014-1 .
• Boyer, Carl ; Merzbach, Uta (1989). Una historia de las matemáticas (2ª ed.). Wiley. ISBN 0-471-54397-7.
• Coxeter, HSM (1973). Politopos regulares (3ª ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-61480-8.
• Euclides (1956). Heath, Thomas L. (ed.). Los trece libros de los elementos de Euclides, libros 10-13 (2ª ed. Unabr.). Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-60090-4.
• Gardner, Martin (1987). The 2nd Scientific American Book of Mathematical Puzzles & Diversions , University of Chicago Press, Capítulo 1: Los cinco sólidos platónicos, ISBN 0226282538 
• Haeckel, Ernst , E. (1904). Kunstformen der Natur . Disponible como Haeckel, E. (1998); Formas de arte en la naturaleza , Prestel USA. ISBN 3-7913-1990-6 . 
• Kepler. Johannes Strena seu de nive sexangula (Sobre el copo de nieve de seis picos) , artículo de 1611 de Kepler que analiza la razón de la forma de seis ángulos de los cristales de nieve y las formas y simetrías de la naturaleza. Habla de sólidos platónicos.
• Kleinert, Hagen y Maki, K. (1981). "Texturas de celosía en cristales líquidos colestéricos" (PDF) . Fortschritte der Physik . 29 (5): 219-259. Código Bibliográfico : 1981ForPh..29..219K . doi : 10.1002 / prop.19810290503 .
• Lloyd, David Robert (2012). "¿Qué edad tienen los sólidos platónicos?". Boletín BSHM: Revista de la Sociedad Británica de Historia de las Matemáticas . 27 (3): 131–140. doi : 10.1080 / 17498430.2012.670845 .
• Pugh, Anthony (1976). Poliedros: un enfoque visual . California: Universidad de California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.
• Weyl, Hermann (1952). Simetría . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-02374-3.
• Wildberg, Christian (1988). Crítica de John Philoponus a la teoría del éter de Aristóteles. Walter de Gruyter. págs. 11-12. ISBN 9783110104462 

Enlaces externos

Es posible que el uso de enlaces externos en este artículo no siga las políticas o pautas de Wikipedia . Por favor , mejorar este artículo mediante la eliminación de excesivas o inapropiadas enlaces externos, y la conversión de enlaces útiles en su caso en las referencias de nota al pie . ( Diciembre de 2019 ) ( Obtenga información sobre cómo y cuándo eliminar este mensaje de plantilla )

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con los sólidos platónicos .

• Sólidos platónicos en Encyclopaedia of Mathematics
• Weisstein, Eric W. "Sólido platónico" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Isohedron" . MathWorld .
• Libro XIII de los Elementos de Euclides .
• Poliedros 3D interactivos en Java
• Sólidos platónicos en poliedros visuales
• Solid Body Viewer es un visor de poliedros 3D interactivo que le permite guardar el modelo en formato svg, stl u obj.
• Sólidos platónicos plegables / desplegables interactivos en Java
• Modelos en papel de los sólidos platónicos creados utilizando redes generadas por el software Stella
• Modelos de papel libres de sólidos platónicos (redes)
• Grime, James; Steckles, Katie. "Sólidos platónicos" . Numberphile . Brady Haran .
• Enseñanza de matemáticas con modelos de arte creados por estudiantes
• Enseñanza de matemáticas con instrucciones del maestro de arte para hacer modelos
• Marcos de imágenes de sólidos platónicos de superficies algebraicas
• Sólidos platónicos con algunas derivaciones de fórmulas
• Cómo hacer cuatro sólidos platónicos a partir de un cubo