Dodecaedro regular | |
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(Haga clic aquí para ver el modelo giratorio) | |
Tipo | Sólido platónico |
Elementos | F = 12, E = 30 V = 20 (χ = 2) |
Caras por lados | 12 {5} |
Notación de Conway | D |
Símbolos de Schläfli | {5,3} |
Configuración de la cara | V3.3.3.3.3 |
Símbolo de Wythoff | 3 | 2 5 |
Diagrama de Coxeter | |
Simetría | Yo h , H 3 , [5,3], (* 532) |
Grupo de rotacion | Yo , [5,3] + , (532) |
Referencias | U 23 , C 26 , W 5 |
Propiedades | regular , convexo |
Ángulo diedro | 116,56505 ° = arcos (- 1 ⁄ √ 5 ) |
5.5.5 ( figura de vértice ) | Iicosaedro regular ( poliedro dual ) |
Neto |
Un dodecaedro regular o dodecaedro pentagonal es un dodecaedro que es habitual , que se compone de 12 regulares pentagonales caras, tres reunión en cada vértice . Es uno de los cinco sólidos platónicos . Tiene 12 caras, 20 vértices, 30 aristas y 160 diagonales (60 diagonales de caras , 100 diagonales espaciales ). [1] Está representado por el símbolo Schläfli {5,3}.
Dimensiones
Si la longitud del borde de un dodecaedro regular es "”, El radio de una esfera circunscrita (una que toca el dodecaedro regular en todos los vértices) es
y el radio de una esfera inscrita ( tangente a cada una de las caras del dodecaedro regular) es
mientras que el radio medio, que toca el centro de cada borde, es
Estas cantidades también pueden expresarse como
donde ϕ es la proporción áurea .
Tenga en cuenta que, dado un dodecaedro regular de la longitud de un borde, r u es el radio de una esfera que circunscribe sobre un cubo de longitud de borde φ , y r i es la apotema de un pentágono regular de la longitud del borde φ .
Superficie y volumen
El área de la superficie A y el volumen V de un dodecaedro regular con una longitud de borde a son:
Además, el área de la superficie y el volumen de un dodecaedro regular están relacionados con la proporción áurea . Un dodecaedro con una longitud de borde de una unidad tiene las propiedades: [2]
Proyecciones de simetría bidimensional
El dodecaedro regular tiene dos proyecciones ortogonales especiales , centradas, en vértices y caras pentagonales, que corresponden a los planos A 2 y H 2 de Coxeter .
Centrado por | Vértice | Borde | Cara |
---|---|---|---|
Imagen | |||
Simetría proyectiva | [[3]] = [6] | [2] | [[5]] = [10] |
En la proyección en perspectiva , visto en la parte superior de una cara pentagonal, el dodecaedro regular puede verse como un diagrama de Schlegel de bordes lineales , o la proyección estereográfica como un poliedro esférico . Estas proyecciones también se utilizan para mostrar las 120 celdas en cuatro dimensiones , un politopo regular de cuatro dimensiones, construido a partir de 120 dodecaedros, proyectándolo hacia abajo en tres dimensiones .
Proyección | Proyección ortogonal | Proyección en perspectiva | |
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Diagrama de Schlegel | Proyección estereográfica | ||
Dodecaedro regular | |||
Dodecaplex ( 120 celdas ) |
Baldosas esféricas
El dodecaedro regular también se puede representar como un mosaico esférico .
Proyección ortográfica | Proyección estereográfica |
---|
Coordenadas cartesianas
Las siguientes coordenadas cartesianas definen los 20 vértices de un dodecaedro regular centrado en el origen y adecuadamente escalado y orientado: [3]
- (± 1, ± 1, ± 1)
- (0, ± ϕ , ± 1/ϕ)
- (± 1/ϕ, 0, ± ϕ )
- (± ϕ , ± 1/ϕ, 0)
donde ϕ = 1 + √ 5/2es la proporción áurea (también escrita τ ) ≈ 1.618. La longitud del borde es2/ϕ= √ 5 - 1 . El circunradio es √ 3 .
Ecuaciones que definen facetas
Similar a la simetría de las coordenadas del vértice, las ecuaciones de las doce facetas del dodecaedro regular también muestran simetría en sus coeficientes:
- x ± ϕy = ± ϕ 2
- y ± ϕz = ± ϕ 2
- z ± ϕx = ± ϕ 2
Propiedades
- El ángulo diedro de un dodecaedro regular es 2 arctan ( ϕ ) o aproximadamente116.565 ° (donde nuevamente ϕ = 1 + √ 5/2, la proporción áurea ). OEIS : A137218 Tenga en cuenta que la tangente del ángulo diedro es exactamente −2.
- Si el dodecaedro regular original tiene una longitud de borde 1, su icosaedro doble tiene una longitud de borde ϕ .
- Si los cinco sólidos platónicos se construyen con el mismo volumen, el dodecaedro regular tiene los bordes más cortos.
- Tiene 43.380 redes .
- El número de coloración del mapa de las caras de un dodecaedro regular es 4.
- La distancia entre los vértices de la misma cara no conectados por un borde es ϕ veces la longitud del borde.
- Si dos aristas comparten un vértice común, entonces los puntos medios de esas aristas forman un triángulo 36-72-72 con el centro del cuerpo.
Relaciones geométricas
El dodecaedro regular es el tercero de un conjunto infinito de trapezoedros truncados que se pueden construir truncando los dos vértices axiales de un trapezoedro pentagonal .
Las estelaciones del dodecaedro regular forman tres de los cuatro poliedros de Kepler-Poinsot .
Un dodecaedro regular rectificado forma un icosidodecaedro .
El dodecaedro regular tiene simetría icosaédrica I h , grupo Coxeter [5,3], orden 120, con una estructura de grupo abstracto de A 5 × Z 2 .
Relación con el icosaedro regular
Cuando se inscribe un dodecaedro regular en una esfera , ocupa más volumen de la esfera (66,49%) que un icosaedro inscrito en la misma esfera (60,55%).
Un dodecaedro regular con una longitud de borde 1 tiene más de tres veces y media el volumen de un icosaedro con la misma longitud de bordes (7.663 ... en comparación con 2.181 ...), cuya relación es aproximadamente 3.512 461 179 75 , o en términos exactos:3/5(3 ϕ + 1) o (1.8 ϕ + 0.6) .
Un dodecaedro regular tiene 12 caras y 20 vértices, mientras que un icosaedro regular tiene 20 caras y 12 vértices. Ambos tienen 30 aristas.
Relación con el cubo anidado
Un cubo se puede incrustar dentro de un dodecaedro regular, fijado a ocho de sus vértices equidistantes, en cinco posiciones diferentes. [4] De hecho, cinco cubos pueden superponerse y entrelazarse dentro del dodecaedro regular para dar como resultado el compuesto de cinco cubos .
La relación entre el borde de un dodecaedro regular y el borde de un cubo incrustado dentro de un dodecaedro regular es 1: ϕ , o ( ϕ - 1): 1.
La relación entre el volumen de un dodecaedro regular y el volumen de un cubo incrustado dentro de un dodecaedro regular es 1: 2/2 + ϕ, o 1 + ϕ/2 : 1 o (5 + √ 5 ): 4.
Por ejemplo, un cubo incrustado con un volumen de 64 (y una longitud de borde de 4), se anidará dentro de un dodecaedro regular de volumen 64 + 32 ϕ (y una longitud de borde de 4 ϕ - 4).
Por lo tanto, la diferencia de volumen entre el dodecaedro regular circundante y el cubo encerrado es siempre la mitad del volumen del cubo multiplicado por ϕ .
De estas proporciones se derivan fórmulas simples para el volumen de un dodecaedro regular con una longitud de borde a en términos de la media áurea:
- V = ( aϕ ) 3 · 1/4(5 + √ 5 )
- V = 1/4(14 ϕ + 8) a 3
Relación con el rectángulo dorado
Los rectángulos áureos de proporción ( ϕ + 1): 1 y ϕ : 1 también encajan perfectamente dentro de un dodecaedro regular. [5] En proporción a este rectángulo áureo, el borde de un cubo cerrado es ϕ , cuando la longitud larga del rectángulo es ϕ + 1 (o ϕ 2 ) y la longitud corta es 1 (el borde compartido con el dodecaedro regular).
Además, el centro de cada cara del dodecaedro regular forma tres rectángulos áureos que se cruzan. [6]
Relación con el triacontaedro de 6 cubos y rómbico
Se puede proyectar en 3D desde el 6-demicubo de 6 dimensiones utilizando los mismos vectores base que forman el casco del triacontaedro rómbico del 6-cubo . Aquí se muestra, incluidos los 12 vértices internos, que no están conectados por los bordes exteriores del casco de longitud normal 6D √ 2 , forman un icosaedro regular .
Los vectores base de proyección 3D [ u , v , w ] utilizados son:
- u = (1, φ , 0, -1, φ , 0)
- v = ( φ , 0, 1, φ , 0, -1)
- w = (0, 1, φ , 0, -1, φ )
Historia y usos
Los objetos dodecaédricos regulares han encontrado algunas aplicaciones prácticas y también han jugado un papel en las artes visuales y en la filosofía.
Iamblichus afirma que Hippasus , un pitagórico, pereció en el mar, porque se jactó de haber divulgado primero "la esfera con los doce pentágonos". [7] En Theaetetus , un diálogo de Platón, Platón pudo demostrar que solo hay cinco sólidos regulares uniformes; estos luego se conocieron como los sólidos platónicos . Timeo (c. 360 a. C.), como personaje del diálogo de Platón, asocia los otros cuatro sólidos platónicos con los cuatro elementos clásicos , y agrega que hay un quinto patrón sólido que, aunque comúnmente asociado con el dodecaedro regular, nunca se menciona directamente como semejante; "este Dios usó en la delimitación del universo". [8] Aristóteles también postuló que los cielos estaban hechos de un quinto elemento, al que llamó aithêr ( éter en latín, éter en inglés americano).
Los dodecaedros regulares se han utilizado como dados y probablemente también como dispositivos adivinatorios. Durante la era helenística , se hicieron pequeños dodecaedros romanos de bronce hueco y se han encontrado en varias ruinas romanas en Europa. Su propósito no es seguro.
En el arte del siglo XX , los dodecaedros aparecen en la obra de MC Escher , como sus litografías Reptiles (1943) y Gravitation (1952). En el cuadro de Salvador Dalí El sacramento de la Última Cena (1955), la habitación es un dodecaedro regular hueco. Gerard Caris basó toda su obra artística en el dodecaedro regular y el pentágono, que se presenta como un nuevo movimiento artístico acuñado como pentagonismo.
En los juegos de rol modernos , el dodecaedro regular se usa a menudo como un dado de doce caras, uno de los dados poliédricos más comunes .
Immersive Media , una empresa de fabricación de cámaras, ha creado la cámara Dodeca 2360, la primera cámara de movimiento completo de 360 ° del mundo que captura videos de alta resolución desde todas las direcciones simultáneamente a más de 100 millones de píxeles por segundo o 30 cuadros por segundo. [ lenguaje promocional ] Se basa en un dodecaedro regular. [ cita requerida ]
El rompecabezas retorcido Megaminx , junto con sus análogos de orden más grande y más pequeño, tiene la forma de un dodecaedro regular.
En la novela infantil The Phantom Tollbooth , el dodecaedro regular aparece como un personaje en la tierra de las matemáticas. Cada uno de sus rostros tiene una expresión diferente, por ejemplo , feliz, enojado, triste, que gira hacia el frente según sea necesario para adaptarse a su estado de ánimo.
En naturaleza
El cocolitóforo fósil Braarudosphaera bigelowii (ver figura), un alga fitoplanctónica costera unicelular , tiene una capa de carbonato de calcio con una estructura dodecaédrica regular de unos 10 micrómetros de diámetro. [9]
Algunos cuasicristales tienen forma dodecaédrica (ver figura). También se dice que algunos cristales regulares como el granate y el diamante exhiben un hábito "dodecaédrico" , pero esta afirmación en realidad se refiere a la forma del dodecaedro rómbico . [10]
Forma del universo
Se han propuesto varios modelos para la geometría global del universo. Además de las geometrías primitivas , estas propuestas incluyen el espacio dodecaédrico de Poincaré , un espacio curvado positivamente formado por un dodecaedro regular cuyas caras opuestas se corresponden (con un pequeño giro). Esto fue propuesto por Jean-Pierre Luminet y sus colegas en 2003, [11] [12] y se estimó una orientación óptima en el cielo para el modelo en 2008. [13]
En el cuento de Bertrand Russell de 1954, "La pesadilla del matemático: la visión del profesor Squarepunt", el número 5 decía: "Soy el número de dedos de una mano. Hago pentágonos y pentagramas. Y si no fuera por mí, el dodecaedro no podría existir". y, como todo el mundo sabe, el universo es un dodecaedro. Entonces, pero para mí, no podría haber universo ".
Relleno de espacio con cubo y bilunabirotunda
Los dodecaedros regulares llenan el espacio con cubos y bilunabirotundae ( sólido de Johnson 91), en una proporción de 1 a 1 a 3. [14] [15] El dodecaedro solo forma una red de piritoedros de borde a borde . Los bilunabirotundae llenan los huecos rómbicos. Cada cubo se encuentra con seis bilunabirotundae en tres orientaciones.
Modelo de bloque | Celosía de dodecaedros | 6 bilunabirotundae alrededor de un cubo |
Poliedros y teselados relacionados
El dodecaedro regular está topológicamente relacionado con una serie de mosaicos por vértice de la figura n 3 .
* n 32 mutación de simetría de teselaciones regulares: { n , 3} | |||||||||||
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Esférico | Euclidiana | Hyperb compacto. | Paraco. | Hiperbólico no compacto | |||||||
{2,3} | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞, 3} | {12i, 3} | {9i, 3} | {6i, 3} | {3i, 3} |
El dodecaedro regular se puede transformar mediante una secuencia de truncamiento en su dual , el icosaedro:
Familia de poliedros icosaédricos uniformes | |||||||
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Simetría : [5,3] , (* 532) | [5,3] + , (532) | ||||||
{5,3} | t {5,3} | r {5,3} | t {3,5} | {3,5} | rr {5,3} | tr {5,3} | sr {5,3} |
Poliedros duales a uniformes | |||||||
V5.5.5 | V3.10.10 | V3.5.3.5 | V5.6.6 | V3.3.3.3.3 | V3.4.5.4 | V4.6.10 | V3.3.3.3.5 |
Poliedros octaédricos uniformes | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Simetría : [4,3], (* 432) | [4,3] + (432) | [1 + , 4,3] = [3,3] (* 332) | [3 + , 4] (3 * 2) | |||||||
{4,3} | t {4,3} | r {4,3} r {3 1,1 } | t {3,4} t {3 1,1 } | {3,4} {3 1,1 } | rr {4,3} s 2 {3,4} | tr {4,3} | sr {4,3} | h {4,3} {3,3} | h 2 {4,3} t {3,3} | s {3,4} s {3 1,1 } |
= | = | = | = o | = o | = | |||||
Poliedros duales a uniformes | ||||||||||
V4 3 | V3.8 2 | V (3,4) 2 | V4.6 2 | V3 4 | V3.4 3 | V4.6.8 | V3 4 .4 | V3 3 | V3.6 2 | V3 5 |
El dodecaedro regular es un miembro de una secuencia de poliedros y teselados que de otro modo no serían uniformes, compuestos por pentágonos con configuraciones de caras (V3.3.3.3. N ). (Para n > 6, la secuencia consta de mosaicos del plano hiperbólico.) Estas figuras transitivas de caras tienen ( n 32) simetría rotacional .
n 32 mutaciones de simetría de teselaciones chatas: 3.3.3.3.n | ||||||||
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Simetría n 32 | Esférico | Euclidiana | Hiperbólico compacto | Paracomp. | ||||
232 | 332 | 432 | 532 | 632 | 732 | 832 | ∞32 | |
Figuras chatas | ||||||||
Config. | 3.3.3.3.2 | 3.3.3.3.3 | 3.3.3.3.4 | 3.3.3.3.5 | 3.3.3.3.6 | 3.3.3.3.7 | 3.3.3.3.8 | 3.3.3.3.∞ |
Figuras Gyro | ||||||||
Config. | V3.3.3.3.2 | V3.3.3.3.3 | V3.3.3.3.4 | V3.3.3.3.5 | V3.3.3.3.6 | V3.3.3.3.7 | V3.3.3.3.8 | V3.3.3.3.∞ |
Disposición de vértice
El dodecaedro regular comparte su disposición de vértice con cuatro poliedros uniformes no convexos y tres compuestos poliedros uniformes .
Cinco cubos caben dentro, con sus bordes como diagonales de las caras del dodecaedro regular, y juntos forman el compuesto poliédrico regular de cinco cubos. Dado que dos tetraedros pueden caber en vértices de cubos alternos, cinco y diez tetraedros también pueden caber en un dodecaedro regular.
Gran dodecaedro estrellado | Iicosidodecaedro ditrigonal pequeño | Dodecadodecaedro Ditrigonal | Gran icosidodecaedro ditrigonal |
Compuesto de cinco cubos | Compuesto de cinco tetraedros | Compuesto de diez tetraedros |
Stellations
Las 3 estelaciones del dodecaedro regular son poliedros regulares ( no convexos ): (poliedros de Kepler-Poinsot )
0 | 1 | 2 | 3 | |
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Stelación | Dodecaedro regular | Pequeño dodecaedro estrellado | Gran dodecaedro | Gran dodecaedro estrellado |
Diagrama de facetas |
Gráfico dodecaédrico
Gráfico de dodecaedro regular | |
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Vértices | 20 |
Bordes | 30 |
Radio | 5 |
Diámetro | 5 |
Circunferencia | 5 |
Automorfismos | 120 ( A 5 × Z 2 ) [16] |
Número cromático | 3 |
Propiedades | Hamiltoniano , normal , simétrica , distancia regular , distancia-transitivo , 3-vértice-conectado , gráfico planar |
Tabla de gráficos y parámetros |
El esqueleto del dodecaedro (los vértices y los bordes) forman un gráfico . Es uno de los 5 gráficos platónicos , cada uno de los cuales es un esqueleto de su sólido platónico .
Este gráfico también se puede construir como el gráfico de Petersen generalizado G (10,2). El alto grado de simetría del polígono se replica en las propiedades de esta gráfica, que es la distancia-transitivo , distancia regular , y simétrica . El grupo de automorfismos tiene orden 120. Los vértices se pueden colorear con 3 colores, al igual que los bordes, y el diámetro es 5. [17]
El gráfico dodecaédrico es hamiltoniano : hay un ciclo que contiene todos los vértices. De hecho, este nombre deriva de un juego matemático inventado en 1857 por William Rowan Hamilton , el juego icosiano . El objetivo del juego era encontrar un ciclo hamiltoniano a lo largo de los bordes de un dodecaedro.
Ver también
- 120 celdas , un policoron regular (politopo 4D cuya superficie consta de 120 celdas dodecaédricas)
- Braarudosphaera bigelowii : un cocolitóforo con forma de dodecaedro(un alga de fitoplancton unicelular ).
- Dodecaedrano (molécula)
- Pentakis dodecaedro
- Dodecaedro chato
- Dodecaedro truncado
Referencias
- ^ Sutton, Daud (2002), Sólidos platónicos y de Arquímedes , Libros de madera, Bloomsbury Publishing USA, p. 55, ISBN 9780802713865.
- ^ Livio, Mario (2003) [2002]. La proporción áurea: la historia de Phi, el número más asombroso del mundo (Primera edición comercial en rústica). Ciudad de Nueva York: Broadway Books . págs. 70–1. ISBN 0-7679-0816-3.
- ^ Weisstein, Eric W. "Grupo icosaédrico" . MathWorld .
- ^ http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/DodecahedronCube_700.gif
- ^ http://davidf.faricy.net/polyhedra/images/dodecarect.gif
- ^ http://www.toshen.com/images/dodecahedronwithgoldrectang.gif
- ^ Florian Cajori , Historia de las matemáticas (1893)
- ↑ Platón, Timeo , traducción de Jowett [línea 1317-8]; la palabra griega que se traduce como delineación es diazographein , pintura en apariencia de vida.
- ^ Hagino, K., Onuma, R., Kawachi, M. y Horiguchi, T. (2013) "Descubrimiento de una cianobacteria UCYN-A fijadora de nitrógeno endosimbiótica en Braarudosphaera bigelowii (Prymnesiophyceae)". PLoS One , 8 (12): e81749. doi : 10.1371 / journal.pone.0081749 .
- ^ Hábito del cristal dodecaédrico Archivado el 12 de abril de 2009 en la Wayback Machine.
- ^ Dumé, Belle (8 de octubre de 2003). "¿Es el universo un dodecaedro?" . PhysicsWorld . Archivado desde el original el 25 de abril de 2012.
- ^ Luminet, Jean-Pierre ; Jeff Weeks; Alain Riazuelo; Roland Lehoucq; Jean-Phillipe Uzan (9 de octubre de 2003). "Topología espacial dodecaédrica como explicación de las correlaciones de temperatura de gran angular débiles en el fondo cósmico de microondas". Naturaleza . 425 (6958): 593–5. arXiv : astro-ph / 0310253 . Código bibliográfico : 2003Natur.425..593L . doi : 10.1038 / nature01944 . PMID 14534579 . S2CID 4380713 .
- ^ Roukema, Boudewijn; Zbigniew Buliński; Agnieszka Szaniewska; Nicolas E. Gaudin (2008). "Una prueba de la hipótesis de la topología espacial dodecaédrica de Poincaré con los datos de WMAP CMB". Astronomía y Astrofísica . 482 (3): 747. arXiv : 0801.0006 . Bibcode : 2008A & A ... 482..747L . doi : 10.1051 / 0004-6361: 20078777 . S2CID 1616362 .
- ^ http://demonstrations.wolfram.com/DodecahedronAndBilunabirotunda/
- ^ http://www.lcv.ne.jp/~hhase/memo/m09_08b.html
- ^ Frucht, Roberto (1936-1937), "Die gruppe des Petersen'schen Graphen und der Kantensysteme der regulären Polyeder", comentario. Matemáticas. Helv. , 9 : 217–223, doi : 10.1007 / bf01258190 , S2CID 121791222
- ^ Weisstein, Eric W. "Gráfico dodecaédrico" . MathWorld .
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Dodecaedro regular" . MathWorld .
- Klitzing, Richard. "Poliedros uniformes convexos 3D o3o5x - doe" .
- Red editable e imprimible de un dodecaedro con vista 3D interactiva
- Los poliedros uniformes
- Poliedros de origami - Modelos hechos con Origami modular
- Dodecaedro : modelo 3D que funciona en su navegador
- Poliedros de realidad virtual La enciclopedia de poliedros
- VRML # Dodecaedro regular
- KJM MacLean, un análisis geométrico de los cinco sólidos platónicos y otros poliedros semirregulares
- Visualización 3D del dodecaedro
- Stella: Polyhedron Navigator : software utilizado para crear algunas de las imágenes de esta página.
- Cómo hacer un dodecaedro a partir de un cubo de espuma de poliestireno
- Los elementos griegos, indios y chinos: teoría de los siete elementos
Familia | A n | B n | I 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
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Polígono regular | Triángulo | Cuadrado | p-gon | Hexágono | Pentágono | |||||||
Poliedro uniforme | Tetraedro | Octaedro • Cubo | Demicubo | Dodecaedro • Icosaedro | ||||||||
Politopo uniforme 4 | 5 celdas | 16 celdas • Tesseract | Demitesseract | 24 celdas | 120 celdas • 600 celdas | |||||||
5 politopos uniformes | 5-simplex | 5 ortoplex • 5 cubos | 5-demicubo | |||||||||
6 politopos uniformes | 6-simplex | 6 ortoplex • 6 cubos | 6-demicubo | 1 22 • 2 21 | ||||||||
7 politopos uniformes | 7-simplex | 7-ortoplex • 7-cubo | 7-demicubo | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Politopo uniforme de 8 | 8 simplex | 8 ortoplex • 8 cubos | 8-demicubo | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
9 politopos uniformes | 9 simplex | 9-ortoplex • 9-cubo | 9-demicubo | |||||||||
Politopo uniforme 10 | 10-simplex | 10-ortoplex • 10-cubo | 10-demicubo | |||||||||
Uniforme n - politopo | n - simplex | n - ortoplex • n - cubo | n - demicube | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n - politopo pentagonal | |||||||
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