En matemáticas , el residuo de Poincaré es una generalización, a varias variables complejas y teoría de variedades complejas , del residuo en un polo de la teoría de funciones complejas . Es solo una de las posibles extensiones.
Dada una hipersuperficie definido por un grado polinomio y un racional -formulario en con un poste de orden en , entonces podemos construir una clase de cohomología . Si recuperamos la clásica construcción de residuos.
Construccion historica
Cuando Poincaré introdujo por primera vez los residuos [1] , estaba estudiando integrales de período de la forma
por
dónde era una forma diferencial racional con polos a lo largo de un divisor . Pudo hacer la reducción de esta integral a una integral de la forma
por
dónde , enviando hasta el límite de un sólido -tubo alrededor en el lugar liso del divisor. Si
en un gráfico afín donde es irreductible de grado y (por lo que no hay polos en la línea en el infinito [2] página 150 ). Luego, dio una fórmula para calcular este residuo como
que son ambas formas cohomólogas.
Construcción
Definición preliminar
Dada la configuración en la introducción, dejemos ser el espacio de los meromorfos -formas en que tienen polos de orden hasta . Observe que el diferencial estándar envía
Definir
como los grupos de cohomología racional de-Rham . Forman una filtración
correspondiente a la filtración Hodge.
Definición de residuo
Considere una -ciclo . Tomamos un tubo alrededor (que es localmente isomorfo a ) que se encuentra dentro del complemento de . Dado que este es un-ciclo, podemos integrar un racional -formulario y consigue un número. Si escribimos esto como
luego obtenemos una transformación lineal en las clases de homología. La dualidad homología / cohomología implica que esta es una clase de cohomología
que llamamos residuo. Fíjate si nos limitamos al caso, este es solo el residuo estándar de análisis complejo (aunque ampliamos nuestra meromorphic -forma a todos . Esta definición se puede resumir como el mapa
Algoritmo para calcular esta clase
Existe un método recursivo simple para calcular los residuos que se reduce al caso clásico de . Recuerde que el residuo de un-formulario
Si consideramos un gráfico que contiene donde es el lugar de desaparición de , podemos escribir un meromorfo -forma con poste en como
Entonces podemos escribirlo como
Esto muestra que las dos clases de cohomología
son iguales. Por lo tanto, hemos reducido el orden del polo, por lo que podemos usar la recursividad para obtener un polo de orden. y definir el residuo de como
Ejemplo
Por ejemplo, considere la curva definido por el polinomio
Luego, podemos aplicar el algoritmo anterior para calcular el residuo de
Desde
y
tenemos eso
Esto implica que
Ver también
- Residuos de Grothendieck
- Residuo de Leray
- Residuos de bott
- Gavilla de formas diferenciales logarítmicas
- singularidad de cruce normal
- Fórmula adjunta # Residuos de Poincare
- Estructura Hodge
- Ideal jacobiano
Referencias
- ↑ Poincaré, H. (1887). "Sur les résidus des intégrales dobles" . Acta Mathematica (en francés). 9 : 321–380. doi : 10.1007 / BF02406742 . ISSN 0001-5962 .
- ^ Griffiths, Phillip A. (1982). "Poincaré y geometría algebraica" . Boletín de la American Mathematical Society . 6 (2): 147-159. doi : 10.1090 / S0273-0979-1982-14967-9 . ISSN 0273-0979 .
Introductorio
- Poincaré y geometría algebraica
- Variaciones infinitesimales de la estructura de Hodge y el problema global de Torelli : la página 7 contiene una fórmula de cálculo general que utiliza la cohomología de Cech
Avanzado
- Nicolaescu, Liviu, residuos y teoría de Hodge (PDF)
- Schnell, Christian, sobre la computación de ecuaciones de Picard-Fuchs (PDF)
Referencias
- Boris A. Khesin , Robert Wendt, La geometría de los grupos de dimensión infinita (2008) p. 171
- Weber, Andrzej, Leray Residue for Singular Varieties (PDF)