En la teoría de la deformación, las deformaciones de una hipersuperficie dadas por un polinomio está clasificado por el anillo
Esto se muestra usando el mapa Kodaira – Spencer .
En la teoría de Hodge, hay objetos llamados estructuras de Hodge reales que son los datos de un espacio vectorial real. y una filtración creciente de satisfaciendo una lista de estructuras de compatibilidad. Para una suave variedad proyectiva hay una estructura canónica de Hodge.
Declaración para hipersuperficies de grado d
En el caso especial se define por un grado homogéneo polinomio esta estructura de Hodge puede entenderse completamente a partir del ideal jacobiano. Para sus piezas graduadas, esto viene dado por el mapa [1]
que es sobreyectiva en la cohomología primitiva, denotada y tiene el kernel . Tenga en cuenta que las clases de cohomología primitiva son las clases de que no vienen de , que es solo la clase Lefschetz .
Boceto de prueba
Reducción a mapa de residuos
Para hay una secuencia corta exacta de complejos asociada
donde el complejo medio es el complejo de haces de formas logarítmicas y el mapa de la derecha es el mapa de residuos . Esto tiene una secuencia exacta larga asociada en cohomología. Del teorema del hiperplano de Lefschetz solo hay un grupo de cohomología interesante de, cual es . A partir de la larga secuencia exacta de esta breve secuencia exacta, aparece el mapa de residuos inducidos
donde el lado derecho es igual a , que es isomorfo a . Además, hay un isomorfismo
A través de estos isomorfismos existe un mapa de residuos inducidos
que es inyectiva y sobreyectiva en la cohomología primitiva. Además, existe la descomposición de Hodge
y .
Cálculo del grupo de cohomología de de Rham
Resulta que el grupo de cohomología es mucho más manejable y tiene una descripción explícita en términos de polinomios. La parte está atravesada por las formas meromórficas que tienen polos de orden que se eleva sobre el parte de . Esto proviene del isomorfismo de reducción.
Usando el canónico -formulario
en donde el denota la eliminación del índice, estas formas diferenciales meromórficas se ven como
dónde
Finalmente, resulta que el núcleo [1] Lema 8.11 es de todos los polinomios de la forma dónde . Tenga en cuenta la identidad de Euler
muestra .