Panal icosaédrico | |
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Modelo de disco de Poincaré | |
Tipo | Nido de abeja hiperbólico regular Nido de abeja hiperbólico uniforme |
Símbolo de Schläfli | {3,5,3} |
Diagrama de Coxeter | |
Células | {3,5} |
Caras | triángulo {3} |
Figura de borde | triángulo {3} |
Figura de vértice | dodecaedro |
Doble | Auto-dual |
Grupo Coxeter | , [3,5,3] |
Propiedades | Regular |
El panal icosaédrico es una de las cuatro teselaciones (o panales ) compactas y regulares que llenan el espacio en tres espacios hiperbólicos . Con el símbolo de Schläfli {3,5,3}, hay tres icosaedros alrededor de cada borde y 12 icosaedros alrededor de cada vértice, en una figura de vértice dodecaédrico regular .
Un panal geométrico es un relleno de espacio de celdas poliédricas o de mayor dimensión , de modo que no hay espacios. Es un ejemplo del mosaico o teselado matemático más general en cualquier número de dimensiones.
Los panales generalmente se construyen en un espacio euclidiano ordinario ("plano"), como los panales convexos uniformes . También pueden construirse en espacios no euclidianos , como panales uniformes hiperbólicos . Cualquier politopo uniforme finito se puede proyectar a su circunsfera para formar un panal uniforme en el espacio esférico.
Descripción
El ángulo diedro de un icosaedro regular es de alrededor de 138,2 °, por lo que es imposible encajar tres icosaedros alrededor de un borde en el espacio tridimensional euclidiano. Sin embargo, en el espacio hiperbólico, los icosaedros correctamente escalados pueden tener ángulos diedros de exactamente 120 grados, por lo que tres de ellos pueden caber alrededor de un borde.
Panales regulares relacionados
Hay cuatro panales compactos regulares en el espacio hiperbólico 3D:
{5,3,4} | {4,3,5} | {3,5,3} | {5,3,5} |
Politopos regulares y panales relacionados
Es miembro de una secuencia de policoras regulares y panales {3, p , 3} con células deltraédricas :
{3, p , 3} politopos | |||||||||||
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Espacio | S 3 | H 3 | |||||||||
Formulario | Finito | Compacto | Paracompacto | No compacto | |||||||
{3, p , 3} | {3,3,3} | {3,4,3} | {3,5,3} | {3,6,3} | {3,7,3} | {3,8,3} | ... {3, ∞, 3} | ||||
Imagen | |||||||||||
Células | {3,3} | {3,4} | {3,5} | {3,6} | {3,7} | {3,8} | {3, ∞} | ||||
Figura de vértice | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞, 3} |
También es miembro de una secuencia de policoras regulares y panales { p , 5, p }, con figuras de vértice compuestas por pentágonos:
{ p , 5, p } panales regulares | |||||||||||
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Espacio | H 3 | ||||||||||
Formulario | Paracompacto | No compacto | |||||||||
Nombre | {3,5,3} | {4,5,4} | {5,5,5} | {6,5,6} | {7,5,7} | {8,5,8} | ... {∞, 5, ∞} | ||||
Imagen | |||||||||||
Celdas { p , 5} | {3,5} | {4,5} | {5,5} | {6,5} | {7,5} | {8,5} | {∞, 5} | ||||
Figura de vértice {5, p } | {5,3} | {5,4} | {5,5} | {5,6} | {5,7} | {5,8} | {5, ∞} |
Panales uniformes
Hay nueve panales uniformes en la familia del grupo [3,5,3] Coxeter , incluida esta forma regular y la forma bitruncada , t 1,2 {3,5,3},, también llamado panal dodecaédrico truncado , cada una de cuyas células son dodecaedros truncados .
{3,5,3} | t 1 {3,5,3} | t 0,1 {3,5,3} | t 0,2 {3,5,3} | t 0,3 {3,5,3} |
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t 1,2 {3,5,3} | t 0,1,2 {3,5,3} | t 0,1,3 { 3,5,3 } | t 0,1,2,3 {3,5,3} | |
Nido de abeja icosaédrico rectificado
Nido de abeja icosaédrico rectificado | |
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Tipo | Panales uniformes en el espacio hiperbólico |
Símbolo de Schläfli | r {3,5,3} o t 1 {3,5,3} |
Diagrama de Coxeter | |
Células | r {3,5} {5,3} |
Caras | triángulo {3} pentágono {5} |
Figura de vértice | prisma triangular |
Grupo Coxeter | , [3,5,3] |
Propiedades | Vértice-transitivo, borde-transitivo |
El panal icosaédrico rectificado , t 1 {3,5,3},, tiene células alternas de dodecaedro e icosidodecaedro , con una figura de vértice de prisma triangular :
Proyecciones en perspectiva desde el centro del modelo de disco de Poincaré
Panal relacionado
Hay cuatro panales regulares compactos rectificados:
Imagen | ||||
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Simbolos | r {5,3,4} | r {4,3,5} | r {3,5,3} | r {5,3,5} |
Figura de vértice |
Panal icosaédrico truncado
Panal icosaédrico truncado | |
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Tipo | Panales uniformes en el espacio hiperbólico |
Símbolo de Schläfli | t {3,5,3} o t 0,1 {3,5,3} |
Diagrama de Coxeter | |
Células | t {3,5} {5,3} |
Caras | pentágono {5} hexágono {6} |
Figura de vértice | Pirámide triangular |
Grupo Coxeter | , [3,5,3] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal icosaédrico truncado , t 0,1 {3,5,3},, tiene celdas alternas de dodecaedro e icosaedro truncado , con una figura de vértice piramidal triangular .
Panales relacionados
Imagen | ||||
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Simbolos | t {5,3,4} | t {4,3,5} | t {3,5,3} | t {5,3,5} |
Figura de vértice |
Panal icosaédrico bitruncado
Panal icosaédrico bitruncado | |
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Tipo | Panales uniformes en el espacio hiperbólico |
Símbolo de Schläfli | 2t {3,5,3} o t 1,2 {3,5,3} |
Diagrama de Coxeter | |
Células | t {5,3} |
Caras | triángulo {3} decágono {10} |
Figura de vértice | difenoide tetragonal |
Grupo Coxeter | , [[3,5,3]] |
Propiedades | Transitivo de vértice, transitivo de borde, transitivo de celda |
El panal icosaédrico bitruncado , t 1,2 {3,5,3},, tiene células dodecaedro truncado con una figura de vértice tetragonal difenoide .
Panales relacionados
Imagen | |||
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Simbolos | 2t {4,3,5} | 2t {3,5,3} | 2t {5,3,5} |
Figura de vértice |
Nido de abeja icosaédrico cantelado
Nido de abeja icosaédrico cantelado | |
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Tipo | Panales uniformes en el espacio hiperbólico |
Símbolo de Schläfli | rr {3,5,3} o t 0,2 {3,5,3} |
Diagrama de Coxeter | |
Células | rr {3,5} r {5,3} {} x {3} |
Caras | triángulo {3} cuadrado {4} pentágono {5} |
Figura de vértice | cuña |
Grupo Coxeter | , [3,5,3] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal icosaédrico cantelado , t 0,2 {3,5,3},, tiene células de rombicosidodecaedro , icosidodecaedro y prisma triangular , con una figura de vértice en cuña .
Panales relacionados
Cuatro panales compactos regulares cantelados en H 3 | |||||||||||||||
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Nido de abeja icosaédrico cantitruncado
Nido de abeja icosaédrico cantitruncado | |
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Tipo | Panales uniformes en el espacio hiperbólico |
Símbolo de Schläfli | tr {3,5,3} o t 0,1,2 {3,5,3} |
Diagrama de Coxeter | |
Células | tr {3,5} t {5,3} {} x {3} |
Caras | triángulo {3} cuadrado {4} hexágono {6} decágono {10} |
Figura de vértice | esfenoides reflejados |
Grupo Coxeter | , [3,5,3] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal icosaédrico cantitruncado , t 0,1,2 {3,5,3},, tiene icosidodecaedro truncado , dodecaedro truncado y prismas triangulares , con una figura de vértice esfenoidal reflejada .
Panales relacionados
Imagen | ||||
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Simbolos | tr {5,3,4} | tr {4,3,5} | tr {3,5,3} | tr {5,3,5} |
Figura de vértice |
Panal icosaédrico runcinado
Panal icosaédrico runcinado | |
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Tipo | Panales uniformes en el espacio hiperbólico |
Símbolo de Schläfli | t 0,3 {3,5,3} |
Diagrama de Coxeter | |
Células | {3,5} {} × {3} |
Caras | triángulo {3} cuadrado {4} |
Figura de vértice | antiprisma pentagonal |
Grupo Coxeter | , [[3,5,3]] |
Propiedades | Vértice-transitivo, borde-transitivo |
El panal icosaédrico runcinado , t 0,3 {3,5,3},, tiene icosaedro y células prismáticas triangulares , con una figura de vértice antiprisma pentagonal .
- Visto desde el centro del prisma triangular
Panales relacionados
Imagen | |||
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Simbolos | t 0,3 {4,3,5} | t 0,3 {3,5,3} | t 0,3 {5,3,5} |
Figura de vértice |
Panal icosaédrico runcitruncado
Panal icosaédrico runcitruncado | |
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Tipo | Panales uniformes en el espacio hiperbólico |
Símbolo de Schläfli | t 0,1,3 { 3,5,3 } |
Diagrama de Coxeter | |
Células | t {3,5} rr {3,5} {} × {3} {} × {6} |
Caras | triángulo {3} cuadrado {4} pentágono {5} hexágono {6} |
Figura de vértice | pirámide isósceles-trapezoidal |
Grupo Coxeter | , [3,5,3] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal icosaédrico runcitruncado , t 0,1,3 { 3,5,3 },, tiene icosaedro truncado , rombicosidodecaedro , prisma hexagonal y celdas de prisma triangular , con una figura de vértice piramidal isósceles-trapezoidal .
El panal icosaédrico runcicantellated es equivalente al panal icosaédrico runcitruncado.
- Visto desde el centro del prisma triangular
Panales relacionados
Cuatro panales compactos regulares runcitruncated en H 3 | |||||||||||||||
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Panal icosaédrico omnitruncado
Panal icosaédrico omnitruncado | |
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Tipo | Panales uniformes en el espacio hiperbólico |
Símbolo de Schläfli | t 0,1,2,3 {3,5,3} |
Diagrama de Coxeter | |
Células | tr {3,5} {} × {6} |
Caras | cuadrado {4} hexágono {6} dodecágono {10} |
Figura de vértice | disphenoid fílico |
Grupo Coxeter | , [[3,5,3]] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal icosaédrico omnitruncado , t 0,1,2,3 {3,5,3},, tiene icosidodecaedro truncado y celdas prismáticas hexagonales , con una figura de vértice de esfenoides fílico .
- Centrado en prisma hexagonal
Panales relacionados
Tres panales compactos regulares omnitruncados en H 3 | ||||||||||||
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Panal icosaédrico Omnisnub
Panal icosaédrico Omnisnub | |
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Tipo | Panales uniformes en el espacio hiperbólico |
Símbolo de Schläfli | h (t 0,1,2,3 {3,5,3}) |
Diagrama de Coxeter | |
Células | sr {3,5} s {2,3} irr. {3,3} |
Caras | triángulo {3} pentágono {5} |
Figura de vértice | |
Grupo Coxeter | [[3,5,3]] + |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal icosaédrico omnisnub , h (t 0,1,2,3 {3,5,3}),, tiene células dodecaedro , octaedro y tetraedro chatas, con una figura de vértice irregular. Es transitivo de vértice , pero no se puede hacer con celdas uniformes.
Panal icosaédrico parcialmente disminuido
Nido de abeja icosaédrico parcialmente disminuido Nido de abeja icosaédrico parabidiminado | |
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Tipo | Panales uniformes |
Símbolo de Schläfli | pd {3,5,3} |
Diagrama de Coxeter | - |
Células | {5,3} s {2,5} |
Caras | triángulo {3} pentágono {5} |
Figura de vértice | dodecaedro tetraédrico disminuido |
Grupo Coxeter | 1 / 5 [3,5,3] + |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El nido de abeja parcialmente disminuido icosaédrica o icosaédrica parabidiminished de nido de abeja , pd {3,5,3}, es un nido de abeja no Wythoffian uniforme con dodecaedro y Antiprism pentagonal células, con una tetraédricamente disminuido dodecaedro figura vértice. Las células icosaédricas de {3,5,3} están disminuidas en los vértices opuestos (parabidiminado), dejando un núcleo antiprisma pentagonal ( icosaedro parabidiminado ) y creando nuevas células dodecaedro arriba y abajo. [1] [2]
Ver también
- Panales uniformes convexos en el espacio hiperbólico
- Teselaciones regulares de 3 espacios hiperbólicos
- Espacio Seifert – Weber
- 11 celdas : un policorón regular abstracto que comparte el símbolo {3,5,3} Schläfli .
Referencias
- ↑ Wendy Y. Krieger, Muros y puentes: La vista desde seis dimensiones, Simetría: Cultura y ciencia Volumen 16, Número 2, páginas 171–192 (2005) [1] Archivado el 7 de octubre de 2013en la Wayback Machine.
- ^ http://www.bendwavy.org/klitzing/incmats/pt353.htm
- Coxeter , Politopos regulares , 3er. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Tablas I y II: Politopos y panales regulares, págs. 294–296)
- Coxeter , La belleza de la geometría: Doce ensayos , Publicaciones de Dover, 1999 ISBN 0-486-40919-8 (Capítulo 10: Panales regulares en el espacio hiperbólico, Tablas de resumen II, III, IV, V, p212-213)
- Politopos uniformes de Norman Johnson , manuscrito
- NW Johnson : La teoría de politopos uniformes y panales , Ph.D. Disertación, Universidad de Toronto, 1966
- NW Johnson: Geometrías y Transformaciones , (2018) Capítulo 13: Grupos de Coxeter hiperbólico
- Klitzing, Richard. "Teselación icosaédrica hiperbólica de orden hiperbólico 3 panales H3" .