En matemáticas , la geometría sin puntos es una geometría cuya noción ontológica primitiva es región en lugar de punto . A continuación se exponen dos sistemas axiomáticos , uno basado en la mereología , el otro en la mereotopología y conocido como teoría de la conexión . Un punto puede marcar un espacio u objetos.
La geometría sin puntos fue formulada por primera vez en Whitehead (1919, 1920), no como una teoría de la geometría o del espacio-tiempo , sino de "eventos" y de una " relación de extensión " entre eventos. Los propósitos de Whitehead eran tanto filosóficos como científicos y matemáticos. [1]
Whitehead no expuso sus teorías de una manera que pudiera satisfacer los cánones de formalidad actuales. Las dos teorías formales de primer orden descritas en esta entrada fueron ideadas por otros para aclarar y refinar las teorías de Whitehead. El dominio del discurso para ambas teorías consiste en "regiones". Todas las variables no cuantificadas en esta entrada deben tomarse como tácitamente universalmente cuantificadas ; por lo tanto, todos los axiomas deben tomarse como cierres universales . Ningún axioma requiere más de tres variables cuantificadas; por lo tanto, es posible una traducción de las teorías de primer orden al álgebra de relaciones . Cada conjunto de axiomas tiene solo cuatro cuantificadores existenciales .
Los axiomas G1 a G7 son, excepto por numeración, los de Def. 2.1 en Gerla y Miranda (2008) (ver también Gerla (1995)). Los identificadores de la forma WP n , incluidos en la descripción verbal de cada axioma, se refieren al axioma correspondiente en Simons (1987: 83).
La relación binaria primitiva fundamental es la inclusión , denotada por el infijo "≤", que corresponde a la relación binaria de Parthood que es una característica estándar en las teorías mereológicas . El significado intuitivo de x ≤ y es " x es parte de y ". Suponiendo que la igualdad, denotada por el infijo "=", es parte de la lógica de fondo, la relación binaria Parte Propia , denotada por el infijo "<", se define como:
Definición (Gerla y Miranda 2008: Def. 4.1). Dado algún espacio de inclusión S, una clase abstractiva es una clase G de regiones tales que S\G está totalmente ordenada por inclusión. Además , no existe una región incluida en todas las regiones incluidas en G.