En la teoría de la probabilidad , la ley de eventos raros o el teorema del límite de Poisson establece que la distribución de Poisson puede usarse como una aproximación a la distribución binomial , bajo ciertas condiciones. [1] El teorema recibió su nombre de Siméon Denis Poisson (1781-1840). Una generalización de este teorema es el teorema de Le Cam.
Teorema
Dejar ser una secuencia de números reales en tal que la secuencia converge a un límite finito . Luego:
Pruebas
- .
Desde
y
Esto deja
Prueba alternativa
Usando la aproximación de Stirling , podemos escribir:
Dejando y :
Como , entonces:
Funciones generadoras ordinarias
También es posible demostrar el teorema mediante el uso de funciones generadoras ordinarias de la distribución binomial:
en virtud del teorema del binomio . Tomando el limite manteniendo el producto constante, encontramos
que es el OGF para la distribución de Poisson. (La segunda igualdad se cumple debido a la definición de la función exponencial ).
Ver también
Referencias
- ^ Papoulis, Athanasios ; Pillai, S. Unnikrishna . Probabilidad, variables aleatorias y procesos estocásticos (4ª ed.).