Anillo de poisson
En matemáticas , un anillo de Poisson es un anillo conmutativo en el que se define una operación binaria anticomutativa y distributiva que satisface la identidad de Jacobi y la regla del producto . Esta operación se conoce entonces como el corchete de Poisson del anillo de Poisson.
![[\ cdot, \ cdot]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28dd4c22d60192519c1c12cf645b040f368db9e9)
Muchas operaciones y resultados importantes de la geometría simpléctica y la mecánica hamiltoniana se pueden formular en términos del corchete de Poisson y, por lo tanto, también se pueden aplicar a las álgebras de Poisson . Esta observación es importante en el estudio del límite clásico de la mecánica cuántica -la álgebra no conmutativa de operadores en un espacio de Hilbert ha álgebra de Poisson de las funciones en una variedad simpléctica como un límite singular, y propiedades de la álgebra no conmutativa pasar a propiedades correspondientes del álgebra de Poisson.
Definición
El paréntesis de Poisson debe satisfacer las identidades
- (simetría sesgada)
- (distributividad)
- ( derivación )
- ( Identidad Jacobi )
![{\ Displaystyle [f, g] = - [g, f]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fca41d790d01ae352035e6a15680c369ffe695a)
![{\ Displaystyle [f + g, h] = [f, h] + [g, h]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d14d383916d3fa58ff33908769b1a7e19faa9cc4)
![{\ Displaystyle [fg, h] = f [g, h] + [f, h] g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b5d39004590742d3349958710d6329226221541)
![{\ Displaystyle [f, [g, h]] + [g, [h, f]] + [h, [f, g]] = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f16d4100f7df5af9370ab0ef4c0301145b2d9a60)
para todos en el ring.
Un álgebra de Poisson es un anillo de Poisson que también es un álgebra sobre un campo . En este caso, agregue el requisito adicional
![{\ Displaystyle [sf, g] = s [f, g]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bd1e119ea92e2d680c793fc60ea636c6d4a2daf)
para todos los escalares s .
Para cada g en un anillo de Poisson A , la operación definida como es una derivación . Si el conjunto genera el conjunto de derivaciones de A , entonces A Se dice que es no degenerada .
![{\ Displaystyle ad_ {g} (f) = [f, g]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0742abfb792d57431a194a671b1861e7843dc45)
Si un anillo de Poisson no degenerado es isomorfo como un anillo conmutativo al álgebra de funciones suaves en una variedad M , entonces M debe ser una variedad simpléctica y es el corchete de Poisson definido por la forma simpléctica .
Referencias
- "Si el álgebra de funciones en una variedad es un anillo de Poisson, entonces la variedad es simpléctica" . PlanetMath .
Este artículo incorpora material de Poisson Ring en PlanetMath , que tiene la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License .
