Anillo de identidad polinomial
En la teoría de anillos , una rama de las matemáticas , un anillo R es un anillo identidad polinomial si existe, para algún N > 0, un elemento P ≠ 0 del álgebra libre , Z ⟨ X 1 , X 2 , ..., X N ⟩, sobre el anillo de enteros en N variables X 1 , X 2 , ..., X N tal que
Estrictamente, los X i aquí son "indeterminados que no conmutan", por lo que la "identidad polinomial" es un ligero abuso del lenguaje , ya que "polinomio" aquí significa lo que generalmente se llama un "polinomio no conmutativo". La abreviatura anillo PI es común. De manera más general, se puede usar el álgebra libre sobre cualquier anillo S y da el concepto de PI-álgebra .
Si el grado del polinomio P se define de la forma habitual, el polinomio P se llama mónico si al menos uno de sus términos de mayor grado tiene coeficiente igual a 1.
Cada anillo conmutativo es un anillo PI, que satisface la identidad polinomial XY − YX = 0. Por lo tanto, los anillos PI generalmente se toman como generalizaciones cercanas de los anillos conmutativos . Si el anillo tiene una característica p diferente de cero, entonces satisface la identidad polinomial pX = 0. Para excluir tales ejemplos, a veces se define que los anillos PI deben satisfacer una identidad polinomial mónica. [1]
Entre los anillos no conmutativos, los anillos PI satisfacen la conjetura de Köthe . Las PI-álgebras afines sobre un campo satisfacen la conjetura de Kurosh , el Nullstellensatz y la propiedad de catenaria para ideales primos .
Si R es un anillo PI y K es un subanillo de su centro tal que R es integral sobre K , entonces se cumplen las propiedades ascendentes y descendentes de los ideales primos de R y K. También la propiedad de superposición (si p es un ideal primo de K entonces hay un ideal primo P de R tal que es mínimo sobre ) y la propiedad de incomparabilidad (si P y Q son ideales primos de R y entonces) estan satisfechos.
