Teorema de cierre de Poncelet
En geometría , el teorema de clausura de Poncelet , también conocido como porismo de Poncelet , establece que siempre que un polígono se inscribe en una sección cónica y circunscribe a otra, el polígono debe formar parte de una familia infinita de polígonos que están todos inscritos y circunscritos en las mismas dos cónicas. [1] [2] Lleva el nombre del ingeniero y matemático francés Jean-Victor Poncelet , quien escribió sobre él en 1822; sin embargo, la caja triangular fue descubierta mucho antes, en 1746 por William Chapple . [3]
El porismo de Poncelet se puede demostrar mediante un argumento que utiliza una curva elíptica , cuyos puntos representan una combinación de una línea tangente a una cónica y un punto de cruce de esa línea con la otra cónica.
Sean C y D dos cónicas planas . Si es posible encontrar, para un n > 2 dado, un polígono de n lados que esté simultáneamente inscrito en C (lo que significa que todos sus vértices están en C ) y circunscrito alrededor de D (lo que significa que todas sus aristas son tangentes a D ), entonces es posible encontrar un número infinito de ellos. Cada punto de C o D es un vértice o tangencia (respectivamente) de uno de esos polígonos.
Si las cónicas son circunferencias , los polígonos que están inscritos en una circunferencia y circunscritos en la otra se denominan polígonos bicéntricos , por lo que este caso especial del porismo de Poncelet se puede expresar de forma más concisa diciendo que todo polígono bicéntrico forma parte de una familia infinita de polígonos bicéntricos. polígonos con respecto a los mismos dos círculos. [4] : pág. 94
Vea C y D como curvas en el plano proyectivo complejo P 2 . Para simplificar, suponga que C y D se encuentran transversalmente (lo que significa que cada punto de intersección de los dos es un cruce simple). Entonces, por el teorema de Bézout , la intersección C ∩ D de las dos curvas consta de cuatro puntos complejos. Para un punto arbitrario d en D , sea ℓ d la recta tangente a D en d . Sea X la subvariedad de C × Dque consta de ( c , d ) tal que ℓ d pasa por c . Dado c , el número de d con ( c , d ) ∈ X es 1 si c ∈ C ∩ D y 2 en caso contrario. Así, la proyección X → C ≃ P 1 presenta a X como una cobertura de grado 2 ramificada por encima de 4 puntos, por lo que X es una curva elíptica (una vez que fijamos un punto base en X ). Sea la involución de Xenviando una general ( c , d ) al otro punto ( c , d ′) con la misma primera coordenada. Cualquier involución de una curva elíptica con un punto fijo, cuando se expresa en la ley de grupo, tiene la forma x → p − x para algún p , por lo que tiene esta forma. De manera similar, la proyección X → D es un morfismo de grado 2 ramificado sobre los puntos de contacto en D de las cuatro líneas tangentes tanto a C como a D , y la involución correspondiente tiene la forma x → q −x para alguna q . Así , la composición es una traslación en X. Si una potencia de tiene un punto fijo, esa potencia debe ser la identidad. Traducido al lenguaje de C y D , esto significa que si un punto c ∈ C (equipado con una d correspondiente ) da lugar a una órbita que se cierra (es decir, da un n -ágono), entonces también lo hace cada punto. Los casos degenerados en los que C y D no son transversales se derivan de un argumento límite.
