En matemáticas , una función definida positiva es, según el contexto, uno de los dos tipos de función .
Uso más común
Una función definida positiva de una variable real x es una función de valor complejotal que para cualquier número real x 1 ,…, x n la matriz n × n
es positivo semi definido (que requiere un ser hermitiana , por lo tanto f (- x ) es el complejo conjugado de f ( x )).
En particular, es necesario (pero no suficiente) que
(estas desigualdades se derivan de la condición para n = 1, 2.)
Una función es definida negativa si se invierte la desigualdad. Una función es semidefinida si la desigualdad fuerte se reemplaza por una débil (≤, ≥ 0).
Ejemplos de
Teorema de bochner
La definición positiva surge naturalmente en la teoría de la transformada de Fourier ; se puede ver directamente que para ser positivo-definido es suficiente que f sea la transformada de Fourier de una función g en la línea real con g ( y ) ≥ 0.
El resultado inverso es el teorema de Bochner , que establece que cualquier función definida positiva continua en la línea real es la transformada de Fourier de una medida (positiva) . [1]
Aplicaciones
En estadística , y especialmente en estadística bayesiana , el teorema se suele aplicar a funciones reales. Típicamente, n medidas escalares de algún valor escalar en puntos ense toman y los puntos que están mutuamente cercanos deben tener mediciones que estén altamente correlacionadas. En la práctica, uno debe tener cuidado de asegurarse de que la matriz de covarianza resultante (una matriz n × n ) sea siempre definida positiva. Una estrategia es definir una matriz de correlación A que luego se multiplica por un escalar para dar una matriz de covarianza : esta debe ser positiva-definida. El teorema de Bochner establece que si la correlación entre dos puntos depende solo de la distancia entre ellos (a través de la función f ), entonces la función f debe ser positiva-definida para garantizar que la matriz de covarianza A sea positiva-definida. Ver Kriging .
En este contexto, la terminología de Fourier no se utiliza normalmente y, en cambio, se afirma que f ( x ) es la función característica de una función de densidad de probabilidad simétrica (PDF) .
Generalización
Se pueden definir funciones definidas positivas en cualquier grupo topológico abeliano localmente compacto ; El teorema de Bochner se extiende a este contexto. Las funciones positivas-definidas sobre grupos ocurren naturalmente en la teoría de la representación de grupos en los espacios de Hilbert (es decir, la teoría de las representaciones unitarias ).
Definición alternativa
La siguiente definición entra en conflicto con la anterior.
En los sistemas dinámicos, un verdadero -valued, continuamente diferenciable función f puede ser llamado definida positiva en un barrio D del origen si y por cada distinto de cero . [2] [3] En física, el requisito de quepuede descartarse (ver, por ejemplo, Corney y Olsen [4] ).
Ver también
Referencias
- Christian Berg, Christensen, Paul Ressel. Análisis de armónicos en semigrupos , GTM, Springer Verlag.
- Z. Sasvári, Funciones positivas definidas y definibles, Akademie Verlag, 1994
- Wells, JH; Williams, LR Incrustaciones y extensiones en análisis . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 84. Springer-Verlag, Nueva York-Heidelberg, 1975. vii + 108 pp.
Notas
- ^ Bochner, Salomon (1959). Conferencias sobre integrales de Fourier . Prensa de la Universidad de Princeton.
- ^ Verhulst, Ferdinand (1996). Ecuaciones diferenciales no lineales y sistemas dinámicos (2ª ed.). Saltador. ISBN 3-540-60934-2.
- ^ Hahn, Wolfgang (1967). Estabilidad de movimiento . Saltador.
- ^ Corney, JF; Olsen, MK (19 de febrero de 2015). "Estados puros no gaussianos y funciones de Wigner positivas" . Physical Review A . 91 (2): 023824. arXiv : 1412.4868 . Código Bibliográfico : 2015PhRvA..91b3824C . doi : 10.1103 / PhysRevA.91.023824 . ISSN 1050-2947,1094-1622 Comprobar
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valor ( ayuda ) . S2CID 119293595 .
enlaces externos
- "Función positiva definida" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]