La teoría de la posibilidad es una teoría matemática para tratar ciertos tipos de incertidumbre y es una alternativa a la teoría de la probabilidad . Utiliza medidas de posibilidad y necesidad entre 0 y 1, que van desde lo imposible hasta lo posible y lo innecesario hasta lo necesario, respectivamente. El profesor Lotfi Zadeh introdujo por primera vez la teoría de la posibilidad en 1978 como una extensión de su teoría de conjuntos difusos y lógica difusa . Didier Dubois y Henri Prade contribuyeron aún más a su desarrollo. A principios de la década de 1950, el economista GLS Shackle propuso el álgebra mínimo / máximo para describir los grados de sorpresa potencial.
Formalización de posibilidad
Para simplificar, suponga que el universo del discurso Ω es un conjunto finito. Una medida de posibilidad es una función de a [0, 1] tal que:
- Axioma 1:
- Axioma 2:
- Axioma 3: para cualquier subconjunto disjunto y .
De ello se deduce que, al igual que la probabilidad, la medida de posibilidad está determinada por su comportamiento en singleton:
siempre que U sea finito o numerablemente infinito.
El axioma 1 se puede interpretar como la suposición de que Ω es una descripción exhaustiva de los estados futuros del mundo, porque significa que no se da ningún peso de creencia a los elementos fuera de Ω.
El axioma 2 podría interpretarse como el supuesto de que la evidencia a partir de la cual fue construido está libre de cualquier contradicción. Técnicamente, implica que hay al menos un elemento en Ω con posibilidad 1.
El axioma 3 corresponde al axioma de aditividad en probabilidades. Sin embargo, existe una diferencia práctica importante. La teoría de la posibilidad es computacionalmente más conveniente porque los axiomas 1-3 implican que:
- para cualquier subconjunto y .
Debido a que se puede conocer la posibilidad de la unión a partir de la posibilidad de cada componente, se puede decir que la posibilidad es composicional con respecto al operador de la unión. Sin embargo, tenga en cuenta que no es composicional con respecto al operador de intersección. Generalmente:
Cuando Ω no es finito, Axiom 3 se puede reemplazar por:
- Para todos los conjuntos de índices , si los subconjuntos son disjuntos por pares,
Necesidad
Mientras que la teoría de la probabilidad usa un solo número, la probabilidad, para describir la probabilidad de que ocurra un evento, la teoría de la posibilidad usa dos conceptos, la posibilidad y la necesidad del evento. Para cualquier conjunto, la medida de necesidad se define por
En la fórmula anterior, denota el complemento de , esos son los elementos de que no pertenecen a . Es sencillo demostrar que:
- para cualquier
y eso:
Tenga en cuenta que, contrariamente a la teoría de la probabilidad, la posibilidad no es auto-dual. Es decir, para cualquier evento, solo tenemos la desigualdad:
Sin embargo, se mantiene la siguiente regla de dualidad:
- Para cualquier evento , ya sea , o
En consecuencia, las creencias sobre un evento se pueden representar mediante un número y un bit.
Interpretación
Hay cuatro casos que se pueden interpretar de la siguiente manera:
significa que es necesario. es ciertamente cierto. Implica que.
significa que es imposible. es ciertamente falso. Implica que.
significa que es posible. No me sorprendería en absoluto siocurre. Se va sin restricciones.
significa que es innecesario. No me sorprendería en absoluto sino se produce. Se va sin restricciones.
La intersección de los dos últimos casos es y lo que significa que no creo nada en absoluto sobre . Debido a que permite una indeterminación como esta, la teoría de la posibilidad se relaciona con la graduación de una lógica de muchos valores, como la lógica intuicionista , en lugar de la lógica clásica de dos valores.
Tenga en cuenta que, a diferencia de la posibilidad, la lógica difusa es composicional con respecto a la unión y al operador de intersección. La relación con la teoría difusa se puede explicar con el siguiente ejemplo clásico.
- Lógica difusa: cuando una botella está medio llena, se puede decir que el nivel de verdad de la proposición "La botella está llena" es 0,5. La palabra "lleno" se ve como un predicado difuso que describe la cantidad de líquido en la botella.
- Teoría de la posibilidad: hay una botella, completamente llena o totalmente vacía. La proposición "el nivel de posibilidad de que la botella esté llena es 0,5" describe un grado de creencia. Una forma de interpretar 0.5 en esa proposición es definir su significado como: Estoy dispuesto a apostar que está vacío siempre que las probabilidades sean iguales (1: 1) o mejores, y no apostaría en ningún caso a que esté lleno.
La teoría de la posibilidad como una teoría de la probabilidad imprecisa
Existe una extensa correspondencia formal entre las teorías de probabilidad y posibilidad, donde el operador de suma corresponde al operador máximo.
Una medida de posibilidad puede verse como una medida de plausibilidad consonante en la teoría de la evidencia de Dempster-Shafer . Los operadores de la teoría de la posibilidad pueden verse como una versión hipercautelosa de los operadores del modelo de creencias transferibles , un desarrollo moderno de la teoría de la evidencia.
La posibilidad puede verse como una probabilidad superior : cualquier distribución de posibilidad define un conjunto de credo único de distribuciones de probabilidad admisibles por
Esto permite estudiar la teoría de posibilidades utilizando las herramientas de probabilidades imprecisas .
Lógica de la necesidad
Llamamos posibilidad generalizada a toda función que satisface el axioma 1 y el axioma 3. Llamamos necesidad generalizada al dual de una posibilidad generalizada. Las necesidades generalizadas se relacionan con una lógica difusa muy simple e interesante que llamamos lógica de necesidad . En el aparato de deducción de la lógica de la necesidad, los axiomas lógicos son las tautologías clásicas habituales . Además, solo hay una regla de inferencia difusa que extiende el Modus Ponens habitual. Tal regla dice que si α y α → β se prueban en el grado λ y μ, respectivamente, entonces podemos afirmar β en el grado min {λ, μ}. Es fácil ver que las teorías de tal lógica son las necesidades generalizadas y que las teorías completamente consistentes coinciden con las necesidades (ver por ejemplo Gerla 2001).
Ver también
Referencias
- Dubois, Didier y Prade, Henri, " Teoría de la posibilidad, teoría de la probabilidad y lógica de valores múltiples: una aclaración ", Annals of Mathematics and Artificial Intelligence 32: 35–66, 2002.
- Gerla Giangiacomo, Lógica difusa: herramientas matemáticas para el razonamiento aproximado , Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 2001.
- Ladislav J. Kohout, " Teorías de la posibilidad: meta-axiomática y semántica ", Conjuntos y sistemas difusos 25: 357-367, 1988.
- Zadeh, Lotfi , "Conjuntos difusos como base para una teoría de la posibilidad", Conjuntos y sistemas difusos 1: 3-28, 1978. (Reimpreso en Conjuntos y sistemas difusos 100 (Suplemento): 9-34, 1999.)
- Brian R. Gaines y Ladislav J. Kohout, "Possible Automata" , en Proceedings of the International Symposium on Multiple-Valued Logic, págs. 183-192, Bloomington, Indiana, 13-16 de mayo de 1975.