En matemáticas , la esponja de Menger (también conocida como cubo de Menger , curva universal de Menger , cubo de Sierpinski o esponja de Sierpinski ) [1] [2] [3] es una curva fractal . Es una generalización tridimensional del conjunto Cantor unidimensional y la alfombra Sierpinski bidimensional . Fue descrito por primera vez por Karl Menger en 1926, en sus estudios sobre el concepto de dimensión topológica . [4] [5]
Construcción
La construcción de una esponja Menger se puede describir de la siguiente manera:
- Empiece con un cubo.
- Divide cada cara del cubo en nueve cuadrados, como el cubo de Rubik . Esto subdivide el cubo en 27 cubos más pequeños.
- Retire el cubo más pequeño en el medio de cada cara y retire el cubo más pequeño en el centro del cubo más grande, dejando 20 cubos más pequeños. Esta es una esponja Menger de nivel 1 (que se asemeja a un cubo vacío ).
- Repita los pasos dos y tres para cada uno de los cubos más pequeños restantes y continúe iterando hasta el infinito .
La segunda iteración da una esponja de nivel 2, la tercera iteración da una esponja de nivel 3 y así sucesivamente. La propia esponja Menger es el límite de este proceso después de un número infinito de iteraciones.
Propiedades
La a etapa de la esponja Menger, , se compone de cubos más pequeños, cada uno con una longitud lateral de (1/3) n . El volumen total de es así . La superficie total de viene dado por la expresión . [6] [7] Por lo tanto, el volumen de la construcción se acerca a cero mientras que su área de superficie aumenta sin límite. Sin embargo, cualquier superficie elegida en la construcción será perforada completamente a medida que la construcción continúe, de modo que el límite no sea ni un sólido ni una superficie; tiene una dimensión topológica de 1 y, en consecuencia, se identifica como una curva.
Cada cara de la construcción se convierte en una alfombra de Sierpinski , y la intersección de la esponja con cualquier diagonal del cubo o cualquier línea media de las caras es un conjunto de Cantor . La sección transversal de la esponja a través de su centroide y perpendicular a una diagonal espacial es un hexágono regular perforado con hexagramas dispuestos en simetría de seis veces. [8] El número de estos hexagramas, en tamaño descendente, viene dado por, con . [9]
La dimensión de Hausdorff de la esponja esregistro 20/registro 3≅ 2.727. La dimensión de cobertura de Lebesgue de la esponja Menger es una, igual que cualquier curva . Menger mostró, en la construcción de 1926, que la esponja es una curva universal , en el sentido de que cada curva es homeomórfica a un subconjunto de la esponja Menger, donde una curva significa cualquier espacio métrico compacto de Lebesgue que cubre la dimensión uno; esto incluye árboles y gráficos con un número arbitrario contable de aristas, vértices y bucles cerrados, conectados de forma arbitraria. De manera similar, la alfombra Sierpinski es una curva universal para todas las curvas que se pueden dibujar en el plano bidimensional. La esponja Menger construida en tres dimensiones extiende esta idea a gráficos que no son planos y pueden estar incrustados en cualquier número de dimensiones.
La esponja Menger es un conjunto cerrado ; dado que también está acotado, el teorema de Heine-Borel implica que es compacto . Tiene medida de Lebesgue 0. Debido a que contiene caminos continuos, es un conjunto incontable .
Los experimentos también mostraron que para el mismo material, los cubos con una estructura de esponja Menger podían disipar los golpes cinco veces mejor que los cubos sin poros. [10]
Definicion formal
Formalmente, una esponja Menger se puede definir de la siguiente manera:
dónde es el cubo unitario y
MegaMenger
MegaMenger fue un proyecto que tenía como objetivo construir el modelo fractal más grande, iniciado por Matt Parker de la Universidad Queen Mary de Londres y Laura Taalman de la Universidad James Madison . Cada cubo pequeño está hecho de seis tarjetas de visita plegadas entrelazadas, lo que da un total de 960 000 para una esponja de nivel cuatro. Las superficies exteriores se cubren con paneles de papel o cartón impresos con un diseño de alfombra Sierpinski para que sean más agradables estéticamente. [11] En 2014, se construyeron veinte esponjas Menger de nivel tres, que combinadas formarían una esponja Menger distribuida de nivel cuatro. [12]
Uno de los MegaMengers, en la Universidad de Bath
Un modelo de tetrix visto a través del centro del Cambridge Level-3 MegaMenger en el Cambridge Science Festival 2015
Fractales similares
Cubo de jerusalén
Un cubo de Jerusalén es un objeto fractal descrito por Eric Baird en 2011. Se crea perforando recursivamente agujeros griegos en forma de cruz en un cubo. [13] [14] El nombre proviene de una cara del cubo que se asemeja a un patrón de cruz de Jerusalén .
La construcción del cubo de Jerusalén se puede describir de la siguiente manera:
- Empiece con un cubo.
- Corta una cruz a cada lado del cubo, dejando ocho cubos (de rango +1) en las esquinas del cubo original, así como doce cubos más pequeños (de rango +2) centrados en los bordes del cubo original entre cubos de rango +1.
- Repite el proceso en los cubos de rango 1 y 2.
Cada iteración agrega ocho cubos de rango uno y doce cubos de rango dos, un aumento de veinte veces. (Similar a la esponja Menger pero con dos cubos de diferentes tamaños). Iterar un número infinito de veces da como resultado el cubo de Jerusalén.
Tercera iteración del cubo de Jerusalén
Cubo de Jerusalén modelo impreso en 3D
Copo de nieve de Sierpinski-Menger. Se mantienen ocho cubos de esquina y el cubo central.
Otros
- Un copo de nieve Mosely es un fractal basado en un cubo con las esquinas eliminadas de forma recursiva. [15]
- Una tetrix es un fractal basado en tetraedro formado por cuatro copias más pequeñas, dispuestas en un tetraedro. [dieciséis]
Ver también
- Junta apolínea
- Cubo de Cantor
- Copo de nieve de Koch
- Tetraedro de Sierpiński
- Triángulo de Sierpiński
- Lista de fractales por dimensión de Hausdorff
Referencias
- ^ Beck, cristiano; Schögl, Friedrich (1995). Termodinámica de sistemas caóticos: una introducción . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 97. ISBN 9780521484510.
- ^ Bunde, Armin; Havlin, Shlomo (2013). Fractales en la ciencia . Saltador. pag. 7. ISBN 9783642779534.
- ^ Menger, Karl (2013). Reminiscencias del Círculo de Viena y el Coloquio Matemático . Springer Science & Business Media. pag. 11. ISBN 9789401111027.
- ^ Menger, Karl (1928), Dimensionstheorie , BG Teubner Publishers
- ^ Menger, Karl (1926), "Allgemeine Räume und Cartesische Räume. I.", Comunicaciones a la Academia de Ciencias de Amsterdam. Traducción inglesa reimpresa en Edgar, Gerald A., ed. (2004), Clásicos sobre fractales , Estudios de no linealidad, Westview Press. Programa de libros avanzados, Boulder, CO, ISBN 978-0-8133-4153-8, MR 2049443
- ^ Proyecto de demostraciones Wolfram, volumen y superficie de la esponja Menger
- ^ Grupo de investigación en educación matemática y ciencia de la Universidad de Columbia Británica, geometría matemática: esponja de Menger
- ^ Chang, Kenneth (27 de junio de 2011). "El misterio de la esponja Menger" . Consultado el 8 de mayo de 2017 , a través de NYTimes.com.
- ^ "A299916 - OEIS" . oeis.org . Consultado el 2 de agosto de 2018 .
- ^ a b Dattelbaum, Dana M .; Ionita, Axinte; Patterson, Brian M .; Branch, Brittany A .; Kuettner, Lindsey (1 de julio de 2020). "Disipación de ondas de choque por estructuras porosas dominadas por interfaces" . AIP Advances . 10 (7): 075016. doi : 10.1063 / 5.0015179 .
- ^ Tim Chartier. "Un millón de tarjetas de presentación presentan un desafío matemático" . Consultado el 7 de abril de 2015 .
- ^ "MegaMenger" . Consultado el 15 de febrero de 2015 .
- ^ Robert Dickau (31 de agosto de 2014). "Cross Menger (Jerusalén) Cube Fractal" . Robert Dickau . Consultado el 8 de mayo de 2017 .
- ^ Eric Baird (18 de agosto de 2011). "El cubo de Jerusalén" . Fractales alternativos . Consultado el 13 de marzo de 2013 ., publicado en Revista Tangente 150, "l'art fractal" (2013), p. 45.
- ^ Wade, Lizzie. "Arte fractal plegable de 49.000 tarjetas de visita" . Consultado el 8 de mayo de 2017 .
- ^ W., Weisstein, Eric. "Tetrix" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 8 de mayo de 2017 .
Otras lecturas
- Iwaniec, Tadeusz ; Martin, Gaven (2001), teoría de la función geométrica y análisis no lineal , Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850929-5, Señor 1859913.
- Zhou, Li (2007), "Problema 11208: números cromáticos de las esponjas de Menger", American Mathematical Monthly , 114 (9): 842, JSTOR 27642353
enlaces externos
- Esponja Menger en Wolfram MathWorld
- La 'Esponja Menger de tarjetas de presentación' de la Dra. Jeannine Mosely : una exhibición en línea sobre este fractal gigante de origami en el Institute For Figuring
- Una esponja interactiva de Menger
- Modelos interactivos de Java
- Puzzle Hunt - Video que explica las paradojas de Zeno usando la esponja Menger – Sierpinski
- Esfera de Menger , renderizada en SunFlow
- Esponja Post-It Menger : una esponja Menger de nivel 3 que se construye a partir de Post-its
- El misterio de la esponja Menger. Cortado en diagonal para revelar estrellas
- Secuencia OEIS A212596 (Número de tarjetas necesarias para construir una esponja Menger de nivel n en origami)
- Esponja Menger Woolly Thoughts de nivel 2 por dos "Mathekniticians"
- Dickau, R .: Jerusalem Cube Discusión adicional.