El modelo de Price (que lleva el nombre del físico Derek J. de Solla Price ) es un modelo matemático para el crecimiento de las redes de citas . [1] [2] Fue el primer modelo que generalizó el modelo Simon [3] para ser utilizado para redes, especialmente para redes en crecimiento. El modelo de Price pertenece a la clase más amplia de modelos de crecimiento de redes (junto con el modelo Barabási-Albert ) cuyo objetivo principal es explicar el origen de redes con distribuciones de grado fuertemente sesgadas. El modelo recogió las ideas del modelo de Simon que reflejan el concepto de rico se vuelve más rico , también conocido como efecto Matthew .Price tomó el ejemplo de una red de citas entre artículos científicos y expresó sus propiedades. Su idea era que la forma en que un vértice antiguo (artículo existente) obtiene nuevos bordes (nuevas citas) debería ser proporcional al número de bordes existentes (citas existentes) que ya tiene el vértice. Esto se denominó ventaja acumulativa , ahora también conocido como apego preferencial . El trabajo de Price también es significativo al proporcionar el primer ejemplo conocido de una red sin escala (aunque este término se introdujo más adelante). Sus ideas se utilizaron para describir muchas redes del mundo real, como la Web .
El modelo
Lo esencial
Considere una gráfica dirigida con n nodos. Dejardenotar la fracción de nodos con grado k de modo que. Cada nuevo nodo tiene un grado externo determinado (es decir, los artículos que cita) y se fija a largo plazo. Esto no significa que los grados de salida no puedan variar entre los nodos, simplemente asumimos que el grado de salida medio m se fija en el tiempo. Está claro que, en consecuencia, m no está restringido a números enteros. La forma más trivial de vínculo preferencial significa que un nuevo nodo se conecta a un nodo existente proporcionalmente a sus grados. En otras palabras, un artículo nuevo cita un artículo existente en proporción a sus grados de entrada. La advertencia de tal idea es que no se cita ningún artículo nuevo cuando se une a la red, por lo que tendrá cero probabilidades de ser citado en el futuro (que no necesariamente es así). Para superar esto, Price propuso que un archivo adjunto debería ser proporcional a algunos con constante. En general puede ser arbitrario, pero Price propone una , de esa manera se asocia una cita inicial con el artículo en sí (por lo que el factor de proporcionalidad ahora es k + 1 en lugar de k ). La probabilidad de que una nueva arista se conecte a cualquier nodo con un grado k es
Evolución de la red
La siguiente pregunta es el cambio neto en el número de nodos con grado k cuando agregamos nuevos nodos a la red. Naturalmente, este número está disminuyendo, ya que algunos nodos de k grados tienen nuevos bordes, por lo que se convierten en nodos de ( k + 1) grados; pero, por otro lado, este número también está aumentando, ya que algunos nodos de ( k - 1) grados pueden obtener nuevos bordes, convirtiéndose en nodos de k grados. Para expresar este cambio neto formalmente, denotemos la fracción de k- grados nodos en una red de n vértices con:
y
Para obtener una solución estacionaria para , primero expresemos utilizando el conocido método de ecuación maestra , como
Después de alguna manipulación, la expresión anterior cede a
y
con siendo la función Beta . Como consecuencia,. Esto es idéntico a decir quesigue una distribución de ley de potencias con exponente. Normalmente, esto coloca el exponente entre 2 y 3, que es el caso de muchas redes del mundo real. Price probó su modelo comparándolo con los datos de la red de citas y concluyó que el m resultante es factible para producir una distribución de ley de potencia suficientemente buena .
Generalización
Es sencillo generalizar los resultados anteriores al caso cuando . Los cálculos básicos muestran que
que una vez más cede a una distribución de ley de potencia de con el mismo exponente para k grande y fijo.
Propiedades
La diferencia clave con el modelo Barabási-Albert más reciente es que el modelo de Price produce un gráfico con bordes dirigidos mientras que el modelo Barabási-Albert es el mismo modelo pero con bordes no dirigidos. La dirección es fundamental para la aplicación de la red de citas que motivó a Price. Esto significa que el modelo de Price produce un gráfico acíclico dirigido y estas redes tienen propiedades distintivas.
Por ejemplo, en un gráfico acíclico dirigido, tanto las rutas más largas como las más cortas están bien definidas. En el modelo de precio, la longitud de la ruta más larga desde el n-ésimo nodo agregado a la red hasta el primer nodo de la red, escala como [4]
Notas
Para un análisis más detallado, consulte [5] [6] y. [7] [8] Price pudo obtener estos resultados, pero esto fue lo que pudo llegar con ellos, sin la provisión de recursos computacionales. Afortunadamente, el progreso tecnológico reciente ha permitido gran parte del trabajo dedicado a la conexión preferencial y el crecimiento de la red.
Referencias
- ↑ de Solla Price, DJ (30 de julio de 1965). "Redes de artículos científicos". Ciencia . Asociación Estadounidense para el Avance de la Ciencia (AAAS). 149 (3683): 510–515. Código Bibliográfico : 1965Sci ... 149..510D . doi : 10.1126 / science.149.3683.510 . ISSN 0036-8075 . PMID 14325149 .
- ^ de Solla Price, Derek J. (1976), "Una teoría general de los procesos bibliométricos y de otras ventajas acumulativas", J.Amer.Soc.Inform.Sci. , 27 (5): 292–306, doi : 10.1002 / asi.4630270505
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- ^ Krapivsky, PL y Redner, S., Enfoque de ecuación de tasas para redes en crecimiento , en R. Pastor-Satorras y J. Rubi (eds.), Actas de la XVIII Conferencia de Sitges sobre Mecánica Estadística, Lecture Notes in Physics, Springer, Berlín (2003).
Fuentes
- Newman, MEJ (2003). "La estructura y función de redes complejas". Revisión SIAM . 45 (2): 167–256. arXiv : cond-mat / 0303516 . Código bibliográfico : 2003SIAMR..45..167N . doi : 10.1137 / s003614450342480 . ISSN 0036-1445 . S2CID 221278130 .