descomposición primaria

En matemáticas , el teorema de Lasker-Noether establece que todo anillo de Noether es un anillo de Lasker , lo que significa que todo ideal puede descomponerse como una intersección, llamada descomposición primaria , de un número finito de ideales primarios (que están relacionados, pero no son exactamente iguales). como, potencias de ideales primos ). El teorema fue probado por primera vez por Emanuel Lasker ( 1905 ) para el caso especial de anillos de polinomios y anillos de series de potencias convergentes, y fue probado en toda su generalidad por Emmy Noether ( 1921 ).

El teorema de Lasker-Noether es una extensión del teorema fundamental de la aritmética y, en general, el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados a todos los anillos de Noether. El teorema juega un papel importante en la geometría algebraica , al afirmar que todo conjunto algebraico puede descomponerse únicamente en una unión finita de componentes irreducibles .

Tiene una extensión directa a los módulos que establece que cada submódulo de un módulo generado finitamente sobre un anillo noetheriano es una intersección finita de submódulos primarios. Este contiene el caso de los anillos como un caso especial, considerando al anillo como un módulo sobre sí mismo, por lo que los ideales son submódulos. Esto también generaliza la forma de descomposición primaria del teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal , y para el caso especial de anillos polinómicos sobre un campo, generaliza la descomposición de un conjunto algebraico en una unión finita de variedades (irreducibles) .

El primer algoritmo para calcular descomposiciones primarias para anillos polinómicos sobre un campo de característica 0 ^{[Nota 1]} fue publicado por Grete Hermann ( 1926 ) , estudiante de Noether . ^[1]^[2] La descomposición no se cumple en general para los anillos noetherianos no conmutativos. Noether dio un ejemplo de un anillo noetheriano no conmutativo con un ideal correcto que no es una intersección de ideales primarios.

Sea un anillo conmutativo noetheriano. Un ideal de se llama primario si es un ideal propio y para cada par de elementos y en tal que está en , o alguna potencia de está en ; de manera equivalente, todo divisor de cero en el cociente es nilpotente. El radical de un ideal primario es un ideal primo y se dice que es -primario para . ${\ estilo de visualización R}$ ${\ estilo de visualización yo}$ ${\ estilo de visualización R}$ ${\ estilo de visualización x}$ ${\ estilo de visualización y}$ ${\ estilo de visualización R}$ ${\ estilo de visualización xy}$ ${\ estilo de visualización yo}$ ${\ estilo de visualización x}$ ${\ estilo de visualización y}$ ${\ estilo de visualización yo}$ ${\ estilo de visualización R/I}$ ${\ estilo de visualización Q}$ ${\ estilo de visualización Q}$ ${\mathfrak{p}}$ ${\mathfrak {p}}={\sqrt {Q}}$

Sea un ideal en . Entonces tiene una descomposición primaria irredundante en ideales primarios: ${\ estilo de visualización yo}$ ${\ estilo de visualización R}$ ${\ estilo de visualización yo}$