espectro de un anillo

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En álgebra conmutativa , el espectro primo (o simplemente el espectro ) de un anillo R es el conjunto de todos los ideales primos de R , y generalmente se denota por ; ^[1] en geometría algebraica es simultáneamente un espacio topológico equipado con el haz de anillos . ^[2]${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Especificación} {R}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Para cualquier ideal I de R , se define como el conjunto de ideales primos que contienen a I. Podemos poner una topología definiendo la colección de conjuntos cerrados para ser${\displaystyle V_{I}}$${\displaystyle \operatorname {Especificación} (R)}$

Una base para la topología de Zariski se puede construir de la siguiente manera. Para f ∈ R , defina D _f como el conjunto de ideales primos de R que no contienen a f . Entonces cada D _f es un subconjunto abierto de , y es una base para la topología de Zariski.${\displaystyle \operatorname {Especificación} (R)}$${\ estilo de visualización \ {D_ {f}: f \ en R \}}$

${\displaystyle \operatorname {Especificación} (R)}$es un espacio compacto , pero casi nunca Hausdorff : de hecho, los ideales maximales en R son precisamente los puntos cerrados en esta topología. Por el mismo razonamiento, no es, en general, un espacio T ₁ . ^[3] Sin embargo, es siempre un espacio de Kolmogorov (satisface el axioma T _{0 );} también es un espacio espectral .${\displaystyle \operatorname {Especificación} (R)}$

Dado el espacio con la topología de Zariski, la estructura haz O _X se define en los subconjuntos abiertos distinguidos D _f estableciendo Γ( D _f , O _X ) = R _f , la localización de R por las potencias de f . Puede demostrarse que esto define una gavilla B y, por lo tanto, define una gavilla. Con más detalle, los subconjuntos abiertos distinguidos son la base de la topología de Zariski, por lo que para un conjunto abierto arbitrario U , escrito como la unión de { D _fi } _i${\displaystyle X=\operatorname {Especificación} (R)}$ _{∈ yo} , establecemos Γ( U , O _X ) = lim _{yo ∈ yo} R _fi . Uno puede comprobar que este pregavilla es una gavilla, por lo que es un espacio anillado . Cualquier espacio anillado isomorfo a uno de esta forma se denomina esquema afín . Los esquemas generales se obtienen pegando esquemas afines.${\displaystyle \operatorname {Especificación} (R)}$

De manera similar, para un módulo M sobre el anillo R , podemos definir una gavilla sobre . En los subconjuntos abiertos distinguidos establezca Γ( D _f , ) = M _f , usando la localización de un módulo . Como arriba, esta construcción se extiende a una pregavilla en todos los subconjuntos abiertos y satisface los axiomas de pegado. Una gavilla de esta forma se llama gavilla quasicoherente .${\displaystyle {\tilde {M}}}$${\displaystyle \operatorname {Especificación} (R)}$${\displaystyle {\tilde {M}}}$${\displaystyle \operatorname {Especificación} (R)}$

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