En teoría de campos , un elemento primitivo de un campo finito GF ( q ) es un generador del grupo multiplicativo del campo. En otras palabras, α ∈ GF ( q ) se denomina elemento primitivo si es una raíz primitiva ( q - 1) de la unidad en GF ( q ) ; esto significa que cada elemento distinto de cero de GF ( q ) se puede escribir como α i para algún entero i .
Si q es un número primo , los elementos de GF ( q ) pueden identificarse con los números enteros módulo q . En este caso, un elemento primitivo también se denomina raíz primitiva módulo q
Por ejemplo, 2 es un elemento primitivo del campo GF (3) y GF (5) , pero no de GF (7) ya que genera el subgrupo cíclico {2, 4, 1} de orden 3; sin embargo, 3 es un elemento primitivo de GF (7) . El polinomio mínimo de un elemento primitivo es un polinomio primitivo .
Propiedades
Número de elementos primitivos
El número de elementos primitivos en un campo finito GF ( q ) es φ ( q - 1) , donde φ es la función totient de Euler , que cuenta el número de elementos menores o iguales am que son relativamente primos am . Esto se puede demostrar usando el teorema de que el grupo multiplicativo de un campo finito GF ( q ) es cíclico de orden q - 1 , y el hecho de que un grupo cíclico finito de orden m contiene φ ( m ) generadores.
Ver también
Referencias
- Lidl, Rudolf; Harald Niederreiter (1997). Campos finitos (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-39231-4.