En la teoría de campos , el teorema del elemento primitivo es un resultado que caracteriza las extensiones de campo de grado finito que pueden ser generadas por un solo elemento. Dicho elemento generador se denomina elemento primitivo de la extensión del campo, y la extensión se denomina extensión simple en este caso. El teorema establece que una extensión finita es simple si y solo si hay solo un número finito de campos intermedios. Un resultado más antiguo, también llamado a menudo "teorema del elemento primitivo", establece que toda extensión separable finita es simple; puede verse como una consecuencia del teorema anterior. Estos teoremas implican en particular que todos los campos numéricos algebraicos sobre los números racionales, y todas las extensiones en las que ambos campos son finitos, son simples.
Terminología
Dejar ser una extensión de campo . Un elementoes un elemento primitivo para Si es decir, si cada elemento de se puede escribir como una función racional en con coeficientes en . Si existe un elemento tan primitivo, entoncesse conoce como una extensión simple .
Si la extensión del campo tiene elemento primitivo y es de grado finito , entonces cada elemento x de E se puede escribir de forma única en la forma
dónde por todo i . Es decir, el conjunto
es una base de E como un espacio vectorial sobre F .
Ejemplo
Si uno se une a los números racionales los dos números irracionales y para obtener el campo de extensión de grado 4, se puede mostrar que esta extensión es simple, lo que significa por un solo . Tomando, las potencias 1, α , α 2 , α 3 se pueden expandir como combinaciones lineales de 1,, , con coeficientes enteros. Uno puede resolver este sistema de ecuaciones lineales para y encima , para obtener y . Esto muestra que α es de hecho un elemento primitivo:
Los teoremas
El teorema clásico del elemento primitivo establece:
- Cada extensión de campo separable de grado finito es simple.
Este teorema se aplica a los campos numéricos algebraicos , es decir, extensiones finitas de los números racionales Q , ya que Q tiene la característica 0 y, por lo tanto, toda extensión finita sobre Q es separable.
El siguiente teorema del elemento primitivo ( Ernst Steinitz [1] ) es más general:
- Una extensión de campo finito es simple si y solo si existen solo un número finito de campos intermedios K con .
Usando el teorema fundamental de la teoría de Galois , el primer teorema se sigue inmediatamente del segundo.
Característica p
Para una extensión no separable de característica p , hay sin embargo un elemento primitivo siempre que el grado [ E : F ] sea p: de hecho, no puede haber subcampos intermedios no triviales ya que sus grados serían factores del primo p .
Cuando [ E : F ] = p 2 , puede que no haya un elemento primitivo (en cuyo caso hay infinitos campos intermedios). El ejemplo más simple es, el campo de funciones racionales en dos indeterminados T y U sobre el campo finito con p elementos, y. De hecho, para cualquier α = g (T, U) en E , el endomorfismo de Frobenius muestra que el elemento α p se encuentra en F , por lo que α es una raíz de, y α no puede ser un elemento primitivo (de grado p 2 sobre F ), sino que F (α) es un campo intermedio no trivial.
Resultados constructivos
Generalmente, el conjunto de todos los elementos primitivos para una extensión separable finita E / F es el complemento de una colección finita de subespacios F propios de E , es decir, los campos intermedios. Esta afirmación no dice nada en el caso de los campos finitos , para los que existe una teoría computacional dedicada a encontrar un generador del grupo multiplicativo del campo (un grupo cíclico ), que es a fortiori un elemento primitivo (ver elemento primitivo (campo finito) ) ). Donde F es infinito, una técnica de prueba del principio de casillero considera el subespacio lineal generado por dos elementos y demuestra que solo hay un número finito de combinaciones lineales.
con c en F , que no genera el subcampo que contiene ambos elementos:
- como es una extensión separable, si existe una incrustación no trivial cuya restricción a es la identidad que significa y así que eso . Esta expresión para c solo puede tomar valores diferentes. Para todos los demás valores de luego .
Esto es casi inmediato como una forma de mostrar cómo el resultado de Steinitz implica el resultado clásico, y un límite para el número de c excepcionales en términos del número de resultados de campos intermedios (este número es algo que puede estar delimitado por la teoría de Galois y a priori ). Por lo tanto, en este caso el ensayo y error es un posible método práctico para encontrar elementos primitivos.
Historia
En su Primera memoria de 1831, [2] Évariste Galois esbozó una prueba del teorema clásico del elemento primitivo en el caso de un campo de división de un polinomio sobre los números racionales. Los vacíos en su boceto podrían ser fácilmente llenados [3] (como señaló el árbitro Siméon Denis Poisson ; Memorias de Galois no se publicó hasta 1846) explotando un teorema [4] [5] de Joseph-Louis Lagrange de 1771, que Galois ciertamente lo sabía. Es probable que Lagrange ya conociera el teorema del elemento primitivo para dividir campos. [5] Galois luego utilizó este teorema en gran medida en su desarrollo del grupo de Galois . Desde entonces se ha utilizado en el desarrollo de la teoría de Galois y el teorema fundamental de la teoría de Galois . Los dos teoremas de los elementos primitivos fueron probados en su forma moderna por Ernst Steinitz, en un influyente artículo sobre teoría de campos en 1910; [1] Steinitz llamó al "clásico" uno Teorema de los elementos primitivos y al otro Teorema de los campos intermedios . Emil Artin reformuló la teoría de Galois en la década de 1930 sin el uso de los teoremas de los elementos primitivos. [6] [7]
Referencias
- ↑ a b Steinitz, Ernst (1910). "Algebraische Theorie der Körper" . Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán). 137 : 167-309. doi : 10.1515 / crll.1910.137.167 . ISSN 1435-5345 .
- ^ Neumann, Peter M. (2011). Los escritos matemáticos de Évariste Galois . Zürich: Sociedad Matemática Europea. ISBN 978-3-03719-104-0. OCLC 757486602 .
- ^ Tignol, Jean-Pierre (febrero de 2016). Teoría de ecuaciones algebraicas de Galois (2 ed.). CIENTÍFICO MUNDIAL. pag. 231. doi : 10.1142 / 9719 . ISBN 978-981-4704-69-4. OCLC 1020698655 .
- ^ Tignol, Jean-Pierre (febrero de 2016). Teoría de ecuaciones algebraicas de Galois (2 ed.). CIENTÍFICO MUNDIAL. pag. 135. doi : 10.1142 / 9719 . ISBN 978-981-4704-69-4. OCLC 1020698655 .
- ^ a b Cox, David A. (2012). Teoría de Galois (2ª ed.). Hoboken, Nueva Jersey: John Wiley & Sons. pag. 322. ISBN 978-1-118-21845-7. OCLC 784952441 .
- ^ Kleiner, Israel (2007). "§4.1 Teoría de Galois" . Una historia del álgebra abstracta . Saltador. pag. 64. ISBN 978-0-8176-4685-1.
- ^ Artin, Emil (1998). Teoría de Galois . Arthur N. Milgram (Reedición de la edición revisada de 1944 de la primera publicación de 1942 de The University Notre Dame Press ed.). Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-62342-4. OCLC 38144376 .
enlaces externos
- Notas del curso de J. Milne sobre campos y teoría de Galois
- El teorema del elemento primitivo en mathreference.com
- El teorema del elemento primitivo en planetmath.org
- El teorema del elemento primitivo en el sitio web de Ken Brown (archivo pdf)